fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.直线和圆的位置关系


浩浩学习王者数学

直线和圆的位置关系
一、知识梳理:
知识点 1、 直线和圆的三种位置关系:

O d l
d ?r
关系 交点个数 直线名称 知识点 2、 切线的判定和性质: 相交 两个交点 割线

O d l
d ?r
相切

O d l
d ?r
相离 没有交点 不相交线

一个交点 切线

1、判定: (2)当圆心到直线的距离 d 等于半径 r 时,直线是圆的切线; (2)经过半径外端垂直于半径的直线,是圆的切线。 2、性质:如果一条直线与圆相切,另一条满足: (1)过圆心, (2)切点, (3)垂直于半径。 其中任意两个条件,则必满足第三个条件。

D
O d l

A
O B A C

O P B

知识点 3、 弦切角定理:弦切角等于所夹弧对的圆周角。 知识点 4、

在思想与文化中

启迪心智

1

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

切线长定理:从圆外一点所引的两条切线长相等; 知识点 5、 圆幂定理: (1) PA ? PB ? PC ? PD (2) PT 2 ? PA ? PB ? PC ? PD

B

D O A P C B
D T O C

A P

知识点 6、 圆与三角形: (1) ?BIC ? 90? ?

1 1 ?A , S ? ?a ? b ? c ?r 2 2

(2) r ?

1 ?a ? b ? c ? 2

A
A c O a b C

b C

O r a

c

B

B

注意: (1) “连半径证垂直得切线” , “作垂直证半径的切线” 。 (2)见切线要想到它垂直于过切点的半径;若过切点有垂线则比过圆心;过切点有弦,则想 到弦切角定理, 想到圆心角、 圆周角性质, 可再联想同圆或等圆弧、 弦、 弦心距等的性质作用。 (3)任意三角形有且只有一个内切圆,圆心为这个三角形内角平分线的交点。 二、典例精讲 考点 1、切线的性质和判定
在思想与文化中 启迪心智 2 在知识与方法之中 锤炼思维

浩浩学习王者数学

例 1、 (1)如图,已知,△ABC 中,AB=AC,以 BC 的中点 O 为圆心的圆切 AB 于 D。求证: ⊙O 与 AC 也相切。

A D B O C

(2) (2011 广西梧州,25,10)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的切线,切点为 C。延 长 AB 交 CD 于点 E。连接 AC,作∠DAC=∠ACD,做 AF⊥ED 于点 F,交⊙O 于点 G。 (1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)如果⊙O 的半径是 6 cm ,EC=8 cm ,求 GF 的长。

A O B E
考点 2、圆幂定理: 例 2、 (1)如图,已知 PT 是⊙O 的切线,PAB、PCD 是⊙O 的割线,BC∥PT,连接 DA 并延 长交 PT 于 Q。求证:PQ=PT。

G C F D

T B O D

Q A C P

(2)如图,两弦 AB、BG 交于点 E,过 E 作切线 DF 的垂线,垂足为 F,CD 是⊙O 的直径。

在思想与文化中

启迪心智

3

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

求证: AE ? EB ? ED2 ? DF ? DC 。

D

F B

O A C

E G

考点 3、圆和三角形: 例 3、 (2011 黑龙江省大庆)如图, Rt △ABC 的两条直角边 AC 边长为 4,BC 边长为 3,它的 内切圆为⊙O,⊙O 与边 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F,延长 CO 交斜边 AB 于点 G。 (1)求⊙O 的半径长; (2)求线段 DG 的长。

B G D O A F E C

考点 4、圆的综合题型: 例 4、 (1)如图,在半径为 4 的⊙O 中,AB、CD 是两条直径,M 是 OB 的中点,CM 的延长 线交⊙O 于点 E,设 DE ? a ?a ? 0? , EM ? x 。 (1)用含 x 和 a 的代数式表示 MC 的长,丙求证 x 2 ? 64 ? a x ? 12 ? 0 ; (2)当 a ? 15 且 EM>MC 时,求 sin ?EOM 的值; ( 3 )由图形求出 EM 的取值范围,试问: AB 上是否存在一点 E ,使 EM 的长是方程

x 2 ? 64 ? a x ? 12 ? 0 的相等实根。若存在,求出 sin ?EOM 的值;若不存在,请说明理由。

在思想与文化中

启迪心智

4

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

D A O

E M C B

(2)如图,第一象限内半径为 2 的⊙O 与 y 轴相切于点 A,作直线 AD,过点 D 作⊙C 的切 线 l 交 x 轴于点 B,P 为直线 l 上一动点,已知直线的解析式为 y ? kx ? 3 。 (1)设点 P 的纵坐标为 p ,写出 p 随 x 变化的函数关系式; (2)设⊙C 与 PA 交于点 M,与 AB 交于点 N,则不论动点 P 处于直线 l 上(除点 B 以外)的 什么位置时,都有△AMN∽△ABP,请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似,给予证明。 (3)是否存在使△AMN 的面积等于 说明理由。

32 的 k 值?若存在,请求出符合的 k 的值;若不存在,请 25

y M

l P

A

C N

D

O
三、中点链接

B

x

1、 (成都市 2007 B29)如图,A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点,AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 ⊙O 的切线, 与 CA 的延长线相交于点 E, G 是 AD 的中点, 连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F, 延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P。 (1)求证:BF=EF; (2)求证:PA 是⊙O 的切线;

在思想与文化中

启迪心智

5

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

(3)若 FG=BF,且⊙O 的半径长为 3 2 ,求 BD 和 FG 的长度。

E F P B

A G DO C

2、 (成都市 2008 B27)如图,已知⊙O 的半径长为 2,以⊙O 的弦 AB 为直径作⊙M,点 C 是 ⌒上的一个动点(不与点 A,点 B 重合) ⊙O 优弧AB ,连结 AC、BC,分别与⊙M 相交于点 D, 点 E,连结 DE,若 AB ? 2 3 。 (1)求∠C 的度数; (2)求 DE 的长; (3)如果记 tan?ABC ? y , 式表示 y 。

AD ? x?0 ? x ? 3? ,那么在点 C 的运动过程中,使用含 x 的代数 DC

C E D A O M B

3、 (成都市 2009 B27)如图, Rt △ABC 内接于⊙O,AC=BC,∠BAC 的平分线 AD 与⊙O 交于点 D,与 BC 交于点 E,延迟 BD,与 AC 的延长线交于点 F,连结 CD,G 是 CD 的中点,连结 OG。 (1)判断 OG 与 CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE=BF; (3)若 OG ? DE ? 3 2 ? 2 ,求⊙O 的面积。

?

?

在思想与文化中

启迪心智

6

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

F C G E A O B D

⌒ 4、 (成都市 2010 B27)已知:如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为直径,弦 CE⊥AB 于点 F,C 是AD 的中点,连结 BD 并延长交 EC 的延长线于点 G,连结 AD,分别交 CE、BC 于点 P、Q。 (1)求证:P 是△ACQ 的外心; (2)若 tan ?ABC ?

3 ,CF=8,求 CQ 的长; 4
2

(3)求证: ?FP ? PQ? ? FP ? FG 。

G

C A P F E

Q

D B

O

5、 (成都市 2011 B27)已知:如图以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 为圆心,OA 长为半 径作⊙O,⊙O 经过 B、D 两点,过点 B 作 BK⊥AC,垂足为 K。过 D 作 DH∥KB,DH 分别 与 AC、AB、⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E、F、G、H。 (1)求证:AE=CK; (2)如果 AB ? a , AD ?

1 a ( a 为大于零的常数,求 BK 的长; 3

(3)若 F 是 EG 的中点,且 DE=6,求⊙O 的半径和 GH 的长。
在思想与文化中 启迪心智 7 在知识与方法之中 锤炼思维

浩浩学习王者数学

A

D

O K H B C

6、 (成都市 2011 B27)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 H,过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 F,切点为 G,连结 AG 交 CD 于点 K。 (1)求证:KE=GE; (2)若 KG 2 ? KD ? GE ,试判断 AC 与 EF 的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若 sin E ?

3 , AK ? 2 3 ,求 FG 的长。 5

C H O B F G

A K D E

家庭作业 第一部分: 1、如图,PAB 交⊙O 于点 A、B,PC 且⊙O 于点 C,D 不在 PAB 上,且 PD=PC,下面给出 的三个结论: (1) PD 2 ? PA ? PB ; (2)△PAD∽△PDB; (3)PD 与△ABD 的外接圆相切于 点 D。其中正确的结论是( A.只有(1) (2) )

在思想与文化中

启迪心智

8

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

B.只有(1) (3) C.只有(2) (3) D.只有(1) (2) (3)

C O B D

A

P

2、 (2011 安徽)如图,⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1, ED=3,则⊙O 的半径是 。

A

E C B

O D

第二部分: 3、 (2011 四川广安)如图所示,P 是⊙O 外一点,PA 是⊙O 的切线,A 是切点,且 PA=PB, 连结 AO、BO、AB,并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q。 (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)求证: AQ ? PQ ? OQ ? BQ ; (3)设 ?AOQ ? ? ,若 cos? ?

4 ,OQ=15,求 AB 的长。 5

在思想与文化中

启迪心智

9

在知识与方法之中

锤炼思维

浩浩学习王者数学

A

Q

P B
第三部分:

O

4、已知,如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D,切线 CP 交 BA 的 延长线于点 P,AD、DB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? ?4m ? 2?x ? 4m2 ? 0?m ? 0? 的两根,且 AD: DB=1:4,求 PO 和 PC 的长。

C B

P

A

D

O

在思想与文化中

启迪心智

10

在知识与方法之中

锤炼思维


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图