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09.02.28高二理科数学《1.2.1 排列(3)》


长沙市第一中学高二数学备课组

选修 2-3 教案

1.2 排列 第三课时
一、教学目标: 1、熟练掌握排列数公式;2、熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法; 3、能初步掌握有限制条件的排列问题的解法。 二、教学重点与难点 1、分析和解决排列问题的基本方法;2、掌握有限制条件的排列问题的解法。 三、教学过程: 【设置情境】 从上一节课的简单应用题的解法中可以知道,一个问题是否为排列问题,关键是看与元素的顺序 是否有关,在计算中除运用排列数公式外,还要结合分类计数原理与分步计数原理. 在实际中有些问题往往比较复杂,给出了一定的限制条件,如下面的问题: 例 1、用 0 到 9 这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 练习:用数字 0,l,2,3,4,5 组成没有重复数字的数. (l)能组成多少个六位数? (2)能组成多少个六位奇数? (3)能组成多少个能被 5 整除的六位数? (4)能组成多少个比 240135 大的数? 解: (l)第一位不能是 0,有 A1 种方法,其他各位有 A 5 种方法,共有六位数的个数是 A1 ? A5 ? 600 5 5 5 5 (2)六位数为奇数,其个位数字必须是 1 或 3 或 5,所以所求六位奇数的个数是 A1 ? A1 ? A4 ? 288 3 4 4 (3)要使六位数能被 5 整除,个位数字必须是 0 或 5.当个位数字为 0 时有 A 5 个;当个位数字为 5 5 时有 4 A 4 个,因此能被 5 整除的六位数的个数是 A5 ? 4A4 ? 216 4 5 4 (4)要比 240135 大,首先必须是六位数,有以下几类:首位数字是 3 或 4 或 5 时各有 A 5 个; 5 首位数字是 2,第二位数字是 4 或 5,但不包含 240135 在内,有 2A4 ?1 个.
4

因此共有比 240135 大的数的个数是 3A5 ? 2A4 ?1 ? 407 5 4 例 2、 个队员排成一列进行操练, 6 其中新队员甲不能站排头, 也不能站排尾, 问有多少种不同的站法? 分析 1:要使甲不在排头和排尾,可先让甲在中间 4 个位置中任选 1 个位置,有 A4 种站法;
5 然后对其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A5 种站法。根据分步计数原理,共有站法 1 5 A4 ? A5 ? 480(种) 2 分析 2:由于甲不站排头和排尾,这两个位置只能在其余 5 个人中,选 2 个人站,有 A5 种站法; 2 4 对于中间的四个位置,4 个人有 A4 种站法.根据分步计数原理,共有站法 A5 ? A4 ? 480(种)
4 1

6 分析 3:若对甲没有限制条件,共有 A6 种站法,这里面包含下面三种情况: (1)甲在排头; (2)甲在

排尾; (3)甲不在排头,也不在排尾.
5 5 甲在排头有 A5 种站法;甲在排尾有 A5 种站法,这都不符合题没条件,从总数中减去这两种情况

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6 5 的排列数即得所求的站法数,共有 A6 ? 2 A5 ? 480(种)

(l)直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个(或某些)位置、某个(或某些)位置只 能放某些元素,因此进行算法设计时,常优先处理这些特殊要求.便有了:先处理特殊元素或先处理 特殊位置的方法. 本题的方法一就是先处理特殊 “新队员甲” 方法二则是先处理特殊位置 , “排头” 、 “排 尾” .这些统称为“特殊元素(位置)优先考虑法” . (2)间接计算法 先不考虑限制条件,把所有的排列种数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,间接得出符 合条件的排列种数.这种方法也称为“去杂法” .在去杂时,特别注意要不重复,不遗漏(去尽) . 例 3、 5 个人站成一排: (l)共有多少种不同的排法? (2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法? (3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? (4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? (5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排法?
5 解: (1)由于没有条件限制,5 个人可作全排列,共有 A5 ? 120种排法.

(2)由于甲的位置已确定,其余 4 人可任意排列,有 A4 ? 24 种排法.
4

(3)因为甲、乙两人必须相邻,可视甲、乙在一起为一个元素与其他 3 人有 A4 种排法, 而甲、乙又有 A2 种排法,根据分步计数原理共有 A2 ? A4 ? 48 种排法。
2 2 4 2 3 (4)甲、乙两人外的其余 3 人有 A3 种排法,要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置,有 A4

4

5 2 4 3 2 种排法,所以共有 A3 ? A4 ? 72 种排法;或总的排法减去相邻的排法,即 A5 ? A2 ? A4 ? 72 种排法. 2 (5)甲、乙两人不站排头和排尾,则这两个位置可从其余 3 人中选 2 人来站有 A3 种排法,剩下 3 2 3 的人有 A3 种排法,共有 A3 ? A3 ? 36种排法.
4 4

(6)甲站排头有 A4 种排法,乙站排尾有 A4 种排法,但两种情况都包含了“甲站排头,乙站排尾”
5 4 3 3 的情况,有 A3 种排法,故共有 A5 ? 2 A4 ? A3 ? 78种排法.

【演练反馈】 1. 某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课,如果第一节不排体育, 最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 分析 1: “第一节不排体育,最后一节不排数学”可分为以下几种情况: ①体育、数学都既不排在第一节也不排在最后一节,这时的体育、数学有 A4 种排法,其他的课有
4 2 4 A4 种排法,所以有 A4 ? A4 种排法. 2

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4 ②数学排在第一节,但体育不排在最后一节,有 4 A4 种排法. 4 ③体育排在最后一节,数学不排第一节,有 4 A4 种排法. 4 ④数学排在第一节,体育排在最后一节,有 A4 种排法. 2 4 4 4 4 4 因此一共有 A4 ? A4 +4 A4 +4 A4 + A4 =21 A4 =504 种排法.

6 5 分析 2:如果没有限制条件,可以有 A6 种排法,其中不符合条件的排法有:①数学排在最后一节有 A5 5 种;②体育排在第一节有 A5 种.但这两种情况都包含了“体育排在第一节同时数学排在最后一节”
4 4 4 6 5 这种情况,而这种情况的排法有 A4 种.符合条件的排法为 A6 -2 A5 + A4 =21 A4 =504(种) 4

注意:这里去杂时,必须加上多去的 A4 . 2.在 7 名运动员中选出 4 名组成接力队,参加 4×100 米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中间两棒的 安排方法有多少种? 解:可将接力队分为“甲、乙两人都不在内” “甲、乙两人只有一人在内” “甲、乙两人都在内”三 种情况:
4 ①“甲、乙两人都不在内”有 A5 种方法. 1 1 3 ②“甲、乙两人只有一人在内”有 A2 A2 A5 种方法. 2 2 ③“甲、乙两人都在内”有 A2 A5 种方法. 4 1 1 3 2 2 因此,共有 A5 ? A2 A2 A5 ? A2 A5 ? 400种安排方法.

3.有标号为 1,2,3,4,5 的五个红球和标号为 1,2 的两个白球,将这七个球排成一排,使两端都 是红球. (1)如果每个白球的两边都是红球有多少种排法? (2)如果 1 号红球和 1 号白球相邻排在一起有多少种排法? (3)同时满足上述两个条件的排法有多少种?
5 解: (l)红球的排法有 A5 种,要使白球两边都是红球,只有插红球的空档位置,有 A4 种方法, 5 2 所以共有排法 A5 A4 ? 1440(种)
4 2

(2)可分为两种情况:l 号红球在两端时,其余 4 个红球有 A4 种排法,这时 1 号白球只有 1 种排法, 2 号白球有 A4 种排法, 这种情况有 2 A4 A4 种排法; 号红球在中间三个位置时, l 两端的红球有 A4
1 1 1 1 4 2

3 种排法,中间 3 个红球有 A3 种排法,这时 1 号白球有 A2 种排法,2 号白球有 A4 种排法,这种情 1 2 3 1 1 4 1 2 3 1 况有 A2 A4 A3 A4 排法.所以共有排法 2 A4 A4 ? A2 A4 A3 A4 ? 768(种)

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4 1 (3)同样可分为两种情况:l 号红球在两端时有 2 A4 A3 种排法;l 号红球在中间三个位置时有 1 1 3 2 1 4 1 1 3 2 A2 A3 A3 A4 种排法.所以共有排法 2 A3 A4 ? A2 A3 A3 A4 ? 576(种)

【总结提炼】 比较复杂的排列应用题往往都有某些限制条件(一般是对元素或者位置作某些限制) .解题时, 1、 特殊元素或特殊位置优先考虑; 2、 当直接计算比较复杂时, 可从反面考虑先求出不符合条件的所有排列的种数, 从而间接求出符合条 件的排列的种数. 3、 无论是从“元素”考虑还是从“位置”分析,采用直接计算法还是间接计算法,要防止重复或遗漏. 布置作业: 《习案》作业六

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