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武汉二中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


武汉二中 2015——2016 学年上高一年级期中考试数学试卷
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 1. 集合 M ? {x | x( x ? 3) ? 0 , x ? N} 的真子集的个数为( A. 1 2. 函数 y ? e 的反函数是(
x

) D. 4

B. 2 )
?x

C. 3

A. y ? ?e

x

B. y ? e

C. y ?

1 ln x 2 2

D. y ? )

1 ln x 3 3

3. 集合 P ? {3 , log2 a} , Q ? {a , b} , 且 P ? Q ? {0 , 1 , 3} , 则 P ? Q ? ( A. 0 B. ? C. {0} D. {3 , 0} ( D. 9 ) )

4. 设集合 A ? {a , b , c} , B ? {0 , 1} , 则从 A 到 B 的映射的个数有 A. 3 5. 函数 y ? B. 6 C. 8

1 ln[ x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ] 的定义域是 ( x A. [?4 , 0) ? (0 , 1) B. [?4 , 0) ? (0 , 1] C. (?4 , 0) ? (0 , 1)

D. (?? , ? 4] ? [2 , ? ?) C. 0 D.

6. 已知 125x ? 12.5 y ? 1000, 则

y?x ? xy





A. 1

B. 2

1 3

7. 函数 y ? 1 ? x ? 3 ? x 的最大值为 M , 最小值为 N , 则 A.

M 的值为 N
D. 2 ( )





2
0.3

B. 1

C. -1

8. 设 a ? 1.7

, b ? 0.93.1 , c ? 0.91.7 , 则 a , b , c 的大小关系是
C. b ? c ? a

A. a ? b ? c B. b ? a ? c 9. 下列各式中可以得到 m ? n 的个数为 (1) a ? a , 0 ? a ? 1 ; (2) log4 m ? log4 n ;
m n

D. c ? a ? b ( ) (5) m3 ? n3

(3) log0.3 m ? log0.3 n ; (4) logm 5 ? logn 5 ; C. 4 个 D. 5 个

A. 2 个

B. 3 个
a b

10. 已知实数 a. b 满足等式 2015 ? 2016 , 下列五个关系式: ①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ⑤a=b. 其中成立的关系式有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11. 已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数, 且函数图像经过 A(0 , ? 1) , B(3 , 1) 两点, 那么 | f ( x ? 1) |? 1 的解集 的补集 是 ( ) .. A. (?1 , 2) B. (1 , 4) C. (?? , ? 1) ? [4 , ? ?) D. (?? , ? 1] ? [2 , ? ?)

12. 函数 f ( x) ? ?

?1 ??

x ?Q x ? CR Q

, 下列结论不正确 的( ...



A. 此函数为偶函数 B. 此函数不单调 C. 函数值域为 [1 , ? ] D. 方程 f [ f ( x)] ? x 有两解 二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分 13. 已知函数 g ( x) ? a ? b 的定义域和值域都是 [?1 , 0] , 则 a ? b ?
x

.

第 1 页 共 7 页

14. 设函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 1 1 1 , 则 f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f( )+f( )+f( )+f( )= 2 2 1? x 3 5 4
2

.

15. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ln x , 则 f ( x) 在 R 上的表达式为____________. 16. 已 知 集 合 A ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} , B ? [m ? 3 , 2m ? 1] , 若 A ? B ? B , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
2

_______. 三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 定义在 (?b , ? a) ? (a , b) 上的奇函数 f ( x) , 在 (a , b) 上是增函数, 判断 f ( x) 在区间 (?b , ? a) 上的单 调性并证明.

18. (本小题满分 12 分) (1) 计算: [log (2) 已知 x ?
4 3

27 ? log

3

3] ? log 5 [4

1 log2 10 2

? (3 3 ) ? ln e 2 ]

2 3

3 x?x 1 ? 7 ? 24 的值. ? 3 , a ? 0 , b ? 0 , m? R 求 2 x ? x?2 ? 2 x

19. (本小题满分 12 分) 已 知 奇 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (?3 , 3) 上 的 减 函 数 , 不 等 式 f ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? 0 的 解 集 是 A, 集 合
2

B ? A ?{x | 1 ? x ? 5}, 求函数 g ( x) ? 5x 2 ? 21x ? 1 , x ? B 的最大值和最小值.

第 2 页 共 7 页

20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知底角为 45? 的等腰梯形 ABCD, 底边 BC 长为 7cm , 腰长为 2 2cm , 当一条垂直于底边 BC(垂 足为 F) 的直线 l 把梯形 ABCD 分成两部分, 令 | BF |? x ( x ? 0 , 单位: cm ), 求直线 l 左边部分的面积 y 关 于 x 的函数解析式, 并画出图像.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? c , (a ? N , c ? N )满足① f (1) ? 5 ; ② 6 ? f (2) ? 11 .
2 ? ?

(1)求函数 f ( x)

的解析表达式; (2) 若对任意 x ? [1 , 2] , 都有 f ( x) ? 2m x? 1 成立, 求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) 满足 :①对任意实数 m , n 都有 f (m ? n) ? f (m ? n) ? 2 f (m) ? f (n) ; ②对任意 m ? R , 都有

f (1 ? m) ? f (1 ? m) 恒成立; ③ f ( x) 不恒为 0, 且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 .
(1) 求 f (0) , f (1) 的值; (2) 判断函数 f ( x) 的奇偶性, 并给出你的证明 (3) 定义: “若存在非零常数 T, 使得对函数 g ( x) 定义域中的任意一个 x , 均有 g ( x ? T ) ? g ( x) , 则称 g ( x)

1 2 3 2017 ) 为以 T 为周期的周期函数”.试证明: 函数 f ( x) 为周期函数, 并求出 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 3 3 3 3
的值.

第 3 页 共 7 页

参考答案: 二、填空题.

一、选择题. CDCCA

DCCBC

DC

3 13. ? 2
三、解答题

14. 0

? x 2 ? ln x ? 15. f ( x) ? ? 0 2 ?? x ? ln(? x) ?

x?0 x?0 x?0
16. 2 ? m ?

7 2

17. f ( x) 在上为 (?b , ? a) 增函数. ??? 2 分,

证明如下: 对于 ? b ? x1 ? x2 ? ?a

有 b ? ? x1 ? ? x2 ? a , 因为 f ( x) 在 (a , b) 上为增函数, 所以有 f (? x1 ) ? f (? x2 ) . . . .(1) ??? 4 分, 又 f ( x) 为奇函数, 所有对于任意 x ? (?b , ? a) ? (a , b) 恒有

f (? x) ? ? f ( x) , 所以 f (? x1 ) ? ? f ( x1 ) , f (? x2 ) ? ? f ( x2 ) ??? 6 分,
代入(1)得: ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ??? 8 分, 由增函数的定义可知, f ( x) 在区间 (?b , ? a) 上为增函数. ??? 10 分. 18. (1). ?

1 ??? 6 分 2

(2).

6 ?1 ??? 6 分, 45

7 ? 24 没有化简的, 扣 2 分.

19. 解: 由题意可得:

??3? x?3?3 ? 0? x?6 ? ? 2 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3??3分 ? ? 0 ? x ? 6 ? 2 ? x ? 6 ??? 6 分 ? x ? 3 ? 3 ? x2 ? x ? ?3 , or x ? 2 ? ?
故 A ? {x | 2 ? x ? 6} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ??? 8 分, 由 二 次 函 数 的 图 像 和 性 质 得

g ( x)max ? g( 5) ? 26 ? 21 5 ??? 10

分 ,

g ( x) min ? g (

21 421 ??? 12 分. )?? 10 20

0 20. 解: 过 A , D 分别作 AG ? BC 于 G, DH⊥BC 于 H, 因为 ABCD 是等腰梯形, 底角 45 ,

AB= 2 2 cm 所以 BG=AG=DH=HC=2cm, 又 BC=7cm, 所以 AD=GH=3cm, ……2 分

1 2 x ……………4 分 2 (2)当点 F 在 GH 上时, 即 x ? (2,5] 时, y=2+2(x-2)=2x-2 ……………6 分 1 1 1 (3)当点 F 在 HC 上时, 即 x ? ?5,7? 时, y= (3 ? 7) ? 2 ? ( x ? 7) 2 ?? ( x ? 7) 2 ? 10 2 2 2
(1)当点 F 在 BG 上时, 即 x ? (0,2] 时, y=

……8 分

1 2 ? x ? 2 ? ∴函数的解析式为 y ? ? 2x ? 2 ? 1 2 ?? 2 ( x ? 7) ? 10 ?

x ? ?0,2? x ? ?2,5? x ? ?5,7?
………………10 分

函数图像如下: (图像没有标明关键点的坐标的, 灵活处理)……12 分
第 4 页 共 7 页

21. 解: (1)∵ f (1) ? 5 ∴ 5 ? a ? c ? 2 ? c ? 3 ? a ……1 分, 又∵

6 ? f (2) ? 11? 6 ? 4a ? c ? 4 ? 11……2 分, 所以有: ?
a ? 1 , c ? 2 , 所以 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ……6 分

1 4 ? a ? , 又a? N?, 3 3

(2)法一: 设 g ( x) ? f ( x) ? 2mx ? 1 ? x ? 2(m ? 1) x ? 1 , x∈[1, 2], 则由已知得:
2

当 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 时, g ( x)min ? g (1) ? 4 ? 2m ? 0 , 此时 m≤2; ……2 分 当 1 ? m ? 1 ? 2 ? 2 ? m ? 3 时, g ( x) min ? g (m ? 1) ?

4 ? 4(m ? 1)2 ? 0 , 此时无解; ……2 分 4

当 m ? 1 ? 2 ? m ? 3 时, g ( x)min ? g (2) ? 9 ? 4m ? 0 , 此时无解. 综上所述, m 的取值范围为 ? ? , 2] (用不等式表示也可).……2 分 法二: 由已知得, 2( m ? 1) ? x ? 以2 ? x ?

1 1 在 x ? [1 , 2] 上恒成立.由于函数 y ? x ? 在[1, 2]上单调递增, 所 x x

1 5 ? , 故 2(m ? 1) ? 2 ? m ? 2 (参照上面解法给分) x 2

22. 解: (1)由于 f ( x) 不恒为 0, 故存在 x0 , 使 f ( x0 ) ? 0 , 令 m ? x0 , n ? 0 , 则 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 2 f ( x0 ) f (0) , 所以 f (0) ? 1 , ……2 分 令 m ? n ? 1 ? f (2) ? f (0) ? 2 f (1) ,
2

由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 并令 m ? 1 得: f (2) ? f (0) ,

第 5 页 共 7 页

结合以上结果可得 f 2 (1) ? 1……3 分 又令 m ? n ?

1 1 1 , f (1) ? f (0) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? 2 2 2 2

(因为 f ( ) ? 1 )

1 2

所以, f (1) ? 1 , 故 f (1) ? ?1 ; ……4 分 (2)令 m ? 0 , n ? x , 得: f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) f ( x) , 以及有 f (0) ? 1 即有 f (? x) ? f ( x) , 即有 f ( x) 为偶函数; ……6 分 (3)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 并取 1 ? m ? ? x 得 f (? x) ? f (2 ? x) , 又 f ( x) 为偶函数, 则 f ( x ? 2) ? f ( x) , 即 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数; ……8 分

1 2 1 2 1 ? f ( ) ? f (0) ? 2 f 2 ( ) ? f ( ) ? 1 ? 2 f 2 ( ) , 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 1 2 1 再令 m ? ,n ? ? f (1) ? f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 2 f ( ) f ( ) . 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 2 1 而 f ( ) ? 1 , 解得, f ( ) ? , f ( ) ? ? , ……10 分 3 2 3 2 3 1 5 2 4 由 f (1 ? m) ? f (1 ? m) 得, f ( ) ? f ( ) , f ( ) ? f ( ) , 所以 3 3 3 3 1 2 3 4 5 6 f( )? f( )? f( )? f( )? f( )? f( )?0 3 3 3 3 3 3
令m ? n ? 又由于 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,

1 2 3 2017 2017 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? 336 ? 0 ? f ( )? f( )? 3 3 3 3 3 3 2
……12 分

第 6 页 共 7 页

1.一已知 f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且有 f ( x ) + g ( x ) ?

1 , 求 f ( x) , g ( x) . x ?1

2. 已知 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x ) 为偶函数

2 3. 奇函数 f ( x ) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 的实数 m 的取值范围。

4.如果 f ( x ) = ax ? bx ? c 对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大小
2

5. 已知函数

的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 ,求:

6. 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 (1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。

7. 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式:f(x+

f ( a ) ? f (b ) >0. a?b

1 1 )<f( ); 2 x ?1

第 7 页 共 7 页


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