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辽宁省五校协作体2013届高三二模数学


辽宁省五校协作体 2013 届高三第二次联合模拟考试

数学学科试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 1.(理)已知全集 U = R , M ? {x | x ? 0 或 x ? 2} , N ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0} ,则图中阴影部分所表示 的集合是( ) B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | x ? 2} ) D. (2,-1) A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2}
x ?1

2.函数 y ? 2a (0 ? a ? 1 的图象一定过点( ) A. (1,1) B. (1,2) C. (2,0)

3. ( 理 ) 点 P ( x0 , y0 ) 是 曲 线 y ? 3 l n x ? x ? k (k ? R) 图 象 上 一 个 定 点 , 过 点 P 的 切 线 方 程 为 0 0

4 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 k 的值为( )
?2 ?1 D. ?4 A. 2 B. C. 4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(
A. )

y ? sin( x ? ) 6

?

B.

y ? 2x

C.

y?x

D.

y ? ?x3

5.有下列说法: (1) p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件; “ (2) p ? q ”为假是“ p ? q ” “ 为真的充分不必要条件; “ p ? q ”为真是“ ? p ”为假的必要不充分条件; “ ? p ”为真是“ p ? q ” (3) (4) 为假的必要不充分条件。其中正确的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边,设 A ? 60? , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B ? ( ) A. 7.
45? 或 135?

B.

135 0

C.

45?

D.

以上都不对

1 ? 2sin(? ? ? )sin(

3? ?? ? ? ? ) ? ( )其中 ? ? ? , ? ? 2 ?2 ?
B. cos ? -sin ? C. ±(sin ? -cos ? ) D. sin ? +cos ?

A. sin ? -cos ?

2 8.设映射 f : x ? ? x ? 2x ?1 是集合 A ? ?x | x ? 2? 到集合 B ? R 的映射。若对于实数 p ? B ,在 A 中不

存在对应的元素,则实数 p 的取值范围是( A. ?1,?? ? B.

) D.

??1, ???
?
6

C.

? ??, ?1?
? 7?
6 , 6

? ??, ?1?


9.(理)使函数 y ? 2 sin(

? 2 x) ( x ? [?

]) 为增函数的区间是(

1

A.

[0 ,

?
3

]

B.

? 7? [ , ] 12 12

C.

[

?
3

,

5? ] 6

D.

[

5? ,?] 6

10.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x 2 ? mx ? (2m ?1) 的两个零点分别在区间 (?1, 0) 和区间 (1, 2) 内, 则实数 m 的 取值范围是 A. ? ( B. ? , ? 4 2 )

?1 1? , ? ?4 2?

?1 1? ? ?

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 4?

D. ? ?

? 1 1? , ? ? 4 2?

11.定义行列式运算:

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 .

若将函数 f ( x) ?

-sinx cos x 1 - 3

的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则

m 的最小值是( )
A.

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D. ?

5 6

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在区间 [0, ??) 上为增函数,且 f ( ) ? 0 ,则不等式 f (log 1 x) ? 0
8

1 3

的解集为( ) A.

1 ( , 2) 2

B.

(2, ??)

C.

1 (0, ) ? (2, ??) 2

D.

1 ( ,1) ? (2, ??) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.函数 y ?

log 1 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为
3



14.(理)函数 f ( x) ? ? 15.给出下列命题:

? x ? 2, ?? x ? 2,

x?0 2 ,则不等式 f ( x) ? x 的解集是 x?0
3 ; 2

① 存在实数 x ,使 sin x ? cos x ?

② 若 ? 、 ? 是第一象限角,且 ? > ? ,则 cos ? <cos ? ; ③ 函数 y ? sin( x ?

) 是偶函数; 2 ④ A、B、C 为锐角 ?ABC 的三个内角,则 sin A ? cos B
其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) 16.(理)函数 y ? x 与函数 y ? x 的图象围成的封闭图形的面积为
2 2

2 3

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤.

2

17.(本小题满分 10 分)风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树,记做 A、B、 Q,欲测量 P、Q 两棵树和 A、P 两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁丝 不能靠近,现在可以方便的测得 A、B 两点间的距离为 AB ? 100 米,如图,同 也能测量出 ?PAB ? 75 , ?QAB ? 45? , ?PBA ? 60 , ?QBA ? 90? ,则 P、Q

P、 网 时 两

?

?

棵树和 A、P 两棵树之间的距离各为多少?

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,设内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 向量 m ? (cos A, sin A ),向量

??

?? ? ? n ? ( 2 ? sin A , cosA ),若 m ? n ? 2
(1)求角 A 的大小 ; (2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

2a ,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题 12 分)鑫隆房地产公司用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48x (单 位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建 筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
购地总费用 ) 建筑总面积

3

20(.本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?2sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 (1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在(0, ? )内有两个零点 x1、x2 ,求 x1 ? x2 的值; (2)若把函数 y ? f ( x) 的图像向左移动 m (m ? 0) 个单位, 再向下平移 2 个单位, 使所得函数的图象关于 y 轴对称,求 m 的最小值。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ?x? ? x2 ? 2x .现已画 出函数 f ?x ? 在 y 轴左侧的图像,如图所示,并根据图 (1)写出函数 f ?x ? 像

?x ? R? 的增区间; (2)写出函数 f ?x ? ?x ? R ? 的解析式; (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? 2( x ??1,2?) ,求函数
g ( x) 的最小值。

22.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1)已知函数 h(x)=g(x)+ax3 的一个极值点为 1,求 a 的取值; (2) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (3)对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

答案: 1.(理)C 2.B 3.(理)A 4.D 5. B6.C 7. A 8.B 9.(理)C 10.A 11.C 12.C 13. ? ? ,? ? ? , 0 1? 15. ③④

? 1 ? ? 4 ?

?3 ? ?4 ?

14.(理) [?1,1]

16.(理)

1 3

17.解析: △PAB 中, ?APB ? 180? ? (75? ? 60? ) ? 45? , (1)

AP 100 ? ? AP ? 50 6, ????4 分 ? sin 60 sin 45? (2) ?QAB 中, ?ABQ ? 90? ,
由正弦定理: ∴ AQ ? 100 2,

?PAQ ? 75? ? 45? ? 30? , ????6 分
由余弦定理: PQ2 ? (50 6)2 ? (100 2)2 ? 2 ? 50 6 ?100 2 cos30?

? 5000,
∴ PQ ? 5000 ? 50 2 .????9 分 答:P、Q 两棵树之间的距离为 50 2 米,A、P 两棵树之间的距离为 50 6 米。??10 分 18.解析: (1) m ? n ? (cos A ? 2 ? sin A)2 ?(sin A ? cos A)

?? ? 2

2

? 4 ? 2 2(cos A ? sin A) ? 4 ? 4 cos(
? 4 ? 4 cos(

? ? A) 4

??????3 分

?
4

? A) ? 4, cos( ?

?
4

? A) ? 0

? A ? (0, ? ) , ?

?
4

? A?

?
2

,? A ?
2 2

?
4

??????6 分
2

(2) 由余弦定理知: a ? b ? c ? 2bc cos A 即 a ? (4 2) ? ( 2a) ? 2 ? 4 2 ? 2a cos
2 2 2

?
4

,解得 a ? 4 2,?c ? 8 ????10 分

1 2 ? S?ABC ? ? 4 2 ? 8 ? ? 16 ????????12 分 2 2
19.解析:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,则

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? N ? ? ??3 分 2000 x x 10800 方法一: f ? ? x ? ? 48 ? , ????5 分 x2 f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ?
5

令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15 ????7 分
;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0 ,

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时, f ( x ) 取最小值????10 分 (方法二: f ? x ? ? 560 ? 48 x ? 当且仅当 48x ?

10800 ? 560 ? 2 48 ?10800 ? 2000 ,??8 分 x

10800 时成立,即 x ? 15 时,??10 分) x

f ?15? ? 2000 。
答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。??????12 分 20.解析:(1) 由题设 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? ∵ f ( x) ? 1 ? 0 ,∴ 2 cos(2 x ? ∴ cos(2 x ? 由 2x ?

?
4

2 cos(2 x ? ) ? 2 ?2 分 4

?

) ? 2 ?1,

?
4

)??

2 ,?????????????????????3 分 2

?

3 ? 5 ? 2k? ? ? 或 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 4 4 4 4

得 x ? k? ?

?

4

或 x ? k? ?

?

∵ x ? (0, ? ) ,∴ x1 ? ∴ x1 ? x2 ?

?
4

2

,????????????????????5 分

, x2 ?

? 2

3 ? ??????????????????6 分 4 2 cos(2 x ?

(2) 由题意 g ( x) ?

?

4

? 2m) .????????????????8 分

∵ y ? g ( x) 图象关于 y 轴对称,则函数 g ( x) 为偶函数,需使 ∴ 2m ? ∴m ?

?
4

? k? , k ? Z ,????????????????10 分

k? ? ? ,k ?Z , 2 8

∵ m ? 0 ,∴当 k ? 1 时, m 取最小值为

3? ???????????????12 分 8

0 21.解析:(1) f ?x ? 在区间 ?? 1, ? , (1, ??) 上单调递增。????3 分

? 函数 f ?x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ?x? ? x2 ? 2x
? f ?x? ? f ?? x? ? ?? x? ? 2 ? ?? x? ? x 2 ? 2x
2

(2)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0

?x ? 0?
6

?x 2 ? 2x ? f ?x ? ? ? 2 ?x ? 2x

?x ? 0? ?x ? 0? ????7 分

(3) g ( x) ? x2 ? 2 x ? 2ax ? 2 ,对称轴方程为: x ? a ? 1 , 当 a ? 1 ? 1 时, g (1) ? 5 ? 2a 为最小;??8 分 当 1 ? a ? 1 ? 2 时, g (a ?1) ? ?a2 ? 2a ? 1 为最小;??9 分 当 a ? 1 ? 2 时, g (2) ? 10 ? 4a 为最小??10 分

?5 ? 2a (a ? 2) ? ? 综上有: g ( x) 的最小值为 ??a 2 ? 2a ? 1 (2 ? a ? 3) ??12 分 ? ?10 ? 4a (a ? 3) ?
22.解析: (1)h?( x) ? ?2x ? a ? 3ax2 , 因为 1 为极值点, 则满足 h?(1) ? ?2 ? a ? 3a ? 0 , 所以 a ? 4分 (2) f '( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 当 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ??????6 分 ① 0 ? t ? t ? 2 ? ,t 无解;

1 .?????? 2

1 e

1 e

1 e

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 ③ ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ; e e 1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? 所以 f ( x) min ? ? . ??????8 分 ?t ln t,t ? 1 ? e ? 3 3 (3) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2ln x ? x ? ,设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,???10 分 x x ( x ? 3)( x ? 1) 则 h '( x) ? , x2 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增,所以 h( x) ? h(1) ? 4 , 因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x)min ? 4 ; ????12 分
② 0?t ?

7


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