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安徽省滁州市定远县西片区2018_2019学年高二数学上学期期中试题理

2018-2019 学年度上学期期中考试 高二理科数学

2018. 11 考生注意: 1、本卷考试范围:人教 A 版必修 2。满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息; 3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置,在非答题区位置作答无效。

第 I 卷 (选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求。)

1.光线沿着直线 y ? ?3x ? b 射到直线 x ? y ? 0 上,经反射后沿着直线 y ? ?ax ? 3 射出,

则由( )
A. a ? 1 , b ? ?9 3
D. a ? ?3, b ? 1 9

B. a ? ? 1 , b ? 9 3

C. a ? 3 , b ? ? 1 9

2. 若 圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 0 的 圆 心 到 直 线 x ? y ? a ?0 的 距 离 为 2 , 则 a 的 值 为 2

( ).
A. ?2 或 2 D. ?2 或 0

B. 1 或 3 22

C. 2 或 0

3.在三菱柱 ABC ? A1B1C1 中, ABC 是等边三角形, AA1 ? 平面 ABC , AB ? 2 ,

AA1 ? 2 ,则异面直线 AB1 和 BC1 所成角的正弦值为( )

A. 1

B. 7 7

C. 1 2

1 / 18

D. 3 2
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A. 4? 3
2 ? 2? 3

B. 5? 3 D. 4 ? 2? 3

5.在四面体

中,

底面





C.







的重心, 为线段 上一点,且

平面

,则线段 的长

为( )

A.

B.

C.

D.

6.如图 4,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长都相等,则二面角 A1 ? B ? A 的平面角的正

切值为( )

A. 6 2
C. 1 7.如图,三棱柱

D. 2 3 3

中,侧棱

底面

2 / 18

,底面三角形

B. 3
是正三角形,

是 中点,则下列叙述正确的是(



A. 与 是异面直线

B.

平面

C. D.

平面

8.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方

程为( )

A. ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

B.

? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

C. ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

D.

? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

9.在三棱锥 A ? BCD 中, ?ABC 与 ?BCD 都是边长为 6 的正三角形,平面 ABC ? 平面 BCD ,则该三棱锥的外接球的体积为( )

A. 5 15?

B. 60?

C.

60 15?

D. 20 15?

3 / 18

10.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最大的侧面的面积为 ()

A.1

B.

C.

D.2

11.若直线 是( )

与曲线

有两个交点,则实数 的取值范围

A.

B.

C.

D.

12.设?, ? 为两个不重合的平面, l, m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:

①若? / /? , l ? ? ,则 l / /? ;②若 m ? ? , n ? ? , m / /? , n / /? ,则? / /? ;

③若 l / /? , l ? ? ,则? ? ? ;④若 m ? ? , n ? ? ,且 l ? m , l ? n ,则 l ? ? .

其中正确命题的序号是( ) A. ①③
D. ②④

B. ①②③

C. ①③④

第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

4 / 18

13.如图,半球内有一内接正四棱锥

面积为



,该四棱锥的体积为 ,则该半球的表

14.已知 ?ABC 的顶点都在球 O 的球面上, AB ? 6, BC ? 8, AC ?10 ,三棱锥 O ? ABC 的

体积为 40 3 ,则该球的表面积等于_________.

15.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆上一动点,

圆 O 所在平面,且 PA=AB=2,

过点 A 作平面

=



,交 PB,PC 分别于 E,F,当三棱锥 P-AEF 体积最大时,

16.在平面直角坐标系中,

分别是 轴和 轴上的动点,若以 为直径的圆

与直线

相切,则圆 面积的最小值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

17.(10

分)直线过点

P

? ??

4 3

,

2

? ??

且与

x

轴、y

轴的正半轴分别交于

A,B

两点,O

为坐标原点,

是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB 的周长为 12;②△AOB 的面积为 6.若存在,求

出方程;若不存在,请说明理由.

18. (12 分)在平面直角坐标系中,圆 O : x2 ? y2 ? 4 与 x 轴的正半轴交于点 A ,以 A 为
5 / 18

圆心的圆 A : ? x ? 2?2 ? y2 ? r2 ( r ? 0 )与圆 O 交于 B , C 两点.
(1)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D , E ,当直线 DE 长最小时,求 直线 l 的方程; (2)设 P 是圆 O 上异于 B , C 的任意一点,直线 PB 、 PC 分别与 x 轴交于点 M 和 N , 问 OM ?ON 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
19. (12 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 OB ? 底面 ABCD,且侧棱 OB 的长是 2 ,点 E, F,G 分别是 AB,OD, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: OD ? 平面 EFG ; (Ⅱ)求三棱锥 O ? EFG 的体积. 20. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ?平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为 直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? ? , PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1 .
2
(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时,求线段 BQ 的长.
6 / 18

21. ( 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 A ? CDFE 中 , 四 边 形 CDFE 为 直 角 梯 形 , CE / /DF, EF ? FD, AF ? 平面 CEFD , P 为 AD 的中点, EC ? 1 FD .
2 (1)求证: CP / / 平面 AEF ; (2)设 EF ? 2, AF ? 3, FD ? 4 ,求点 F 到平面 ACD 的距离. 22. (12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1 、CD 的中点,(1) 证明: AD ? D1F ;(2)求异面直线 AE 与 D1F 所成的角;(3)证明:平面 AED ? 平面 A1FD1 。
7 / 18

2018-2019 学年度上学期期中考试 高二理科数学参考答案
1.A
【解析】在直线 y ? ?3x ? b 上任意取一点, A?1,b ? 3? ,则点 A 关于直线 x ? y ? 0 的对

称点 B??b ? 3, ?1? 在直线 y ? ?ax ? 3 上,故有 ?1? ?a??b ? 3? ? 3 ,即 ab ?3a ? 4 ? 0 ,
结合所给的选项,只有 a ? 1 , b ? ?9 合题意,故选 A. 3
2.C

【解析】圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 0 ,

化成标准方程为 ? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 5 , 圆心 ?1, 2? 到直线的距离 d ? 1? 2 ? a ? 2 ,
12 ? ??1?2 2
解得 a ? 0 或 2 ,故选 C .
3.A

【解析】如图,作 BD / / AB1 交 A1B1 的延长线于 D ,连接 DC1 ,则 ?DBC1 就是异面直线 AB1
? ?2
和 BC1 所成的角(或其补角),由已知 BD ? 22 ? 2 ? 6 , BC1 ? 6,C1D ? 2 3 , 由 BD2 ? BC12 ? C1D2 ,知 ?DBC1 ? 90 ,?异面直线 AB1 和 BC1 所成的角为直角,正弦值 为1,故选 A.
4.B 【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成,根据图中所给数据得该几何

体的体积为

1 2

? ??

4? 3

? 2?

? ??

?

5? 3

,故选 B.

5.A

【解析】

如图,延长 AG 交 BC 于点 H,过点 G 作 GE//BC 交 AC 于点 E,过点 E 作 EF//DC,

8 / 18

交 AD 于点 F,则平面 EFG//平面 BCD,又 FG 平面 BCD,所以 FG//平面 BCD,又

,所以

,

,所以

. 6.D

【解析】设棱长为 a, BC 的中点为 E ,连接 A1E, AE ,

由正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,个棱长都相等,

可得 A1E ? BC, AE ? BC , 所以二面角 A1 ? BC ? A 的平面角为 ?A1EA ,

在 Rt?ABC 中,

AE ?

3 2

a

,所以 tan?A1EA ?

AA1 AE

?

a ?2 3, 3a 3

2

即二面角

A1

?

BC

?

A 的平面角的正切值为

23 3

,故选

D.

7.C

【解析】 中, 与 在侧面

,又不平行,故相交, 错误;

中, 与面

斜交,夹角为 , 错误;

中, , 是异面直线,且



,所以

,故 正确;

中, 与平面 有公共点 ,所以 与平面 相交, 错误.故选 . 8.B
【解析】直线 x ? y ? 0 和 x ? y ? 4 ? 0 的斜率均为 1,所以两直线平行.

因为圆 C 与直线 x? y ?0 和 x? y?4?0 都相切,所以两平行线直线 x? y ?0 和

0 ? ??4?

x ? y ? 4 ? 0 间的距离即为所求圆 C 的直径,即 d ?

? 2 2 ? 2r ,所以半径

12 ? ??1?2

r? 2.
因为圆心在直线 x ? y ? 0 上,则可设圆心 C 为 ?a, ?a? ,

圆 C 与直线 x?y?0 相切,所以圆心 C 到直线 x?y?0 的距离等于半径,即

9 / 18

a ???a?

d?

? 2 a ?r,

2

解得 a ? 1,依题意可知 a ? 0 ,所以 a ?1,则圆心为 ?1, ?1? ,

所以圆 C 方程为 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2 .故 B 正确.

9.D
【解析】取 AD,BC 中点分别为 E,F ,连接 EF,AF,DF ,根据题意知:

AF ? DF,AF ? CF ? 3 3

? EF ? 1 AD ? 3 6

2

2

易知三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上,

连接 OA,OC ,有 R2 ? AE2 ? OE2

R2 ? DF 2 ? OF 2

? R2

?

? ???

36 2

?2 ???

?

OE 2



R2

?

32

?

? ???

36 2

?

OE

?2 ???

? R ? 15 ?三棱锥的外接球的体积为 4 ? R3 ? 20 15? 。故答案选 D
3
10.C 【解析】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直,底面是正方形,四棱锥的高为 2,底

面正方形的对角线的长为 2, 四棱锥的 4 个侧面面积分别为:

=;

=;

=;

最大侧面面积为: .故选:C.

=.

10 / 18

11.C

【解析】曲线方程可化为

其中

.又直线

过定点

,其图像为半圆(如图所示), ,若直线与半圆有两个不同交

点,则

故实数



故答案为:C.

,当直线与 相切时,有

,解得



12.A
【解析】①若? / /? , l ? ? ,则平面? 内任意直线都与平面 ? 平行,∴ l / /? ,故①正
确;
②若 m ? ? , n ? ? , m / /? ,则 m 也可以平行于 ? 与? 的交线,此时两平面不平行,
故②错误;
③ l ?,l ? ? ,根据面面垂直的判定定理,可得? ? ? ,故③正确; ④若 m ? ? , n ? ? ,若 m n,l ?m,l ?n ,l 可以与面斜? 交,不一定垂直,故④不
正确;故选 A 13.
11 / 18

【解析】设所给半球的半径为 ,则四棱锥的高

,则

,所以 所以答案是:6 π .

,所以半球的表面积为

.

14. 400?
【解析】依题意知△ABC 为直角三角形,其所在圆面的半径为 1 AC ? 5 ,设三棱锥 O-ABC 2
的高为 h,则由 1 ? 1 ? 6?8h ? 40 3 得 h ? 5 3 ,设球 O 的半径为 R,则由 h2 ? 52 ? R2 得 32
R ?10 ,故该球的表面积为 400? .

15.

【解析】

平面

,则

,又

平面



平面

,设

,在

中,

,在 ,

中,



时,三棱锥 P-AEF 体积最大为 ,此时,



.故答案为: .

16.

【解析】由题意,圆心 到原点的距离与到直线的距离相等,所以面积最小时,圆心在原

点到直线的垂线中点上,则

,则





17. x + y =1. 43
【解析】设直线的方程 x ? y ? 1(a ? 0,b ? 0) ,若满足(1)可得 ab
a ? b ? a2 ? b2 ? 12, 4 ? 2 ? 1,联立可解 a, b ,即可得方程; 3a b
(2)若满足,可得 ab ? 12, 4 ? 2 ? 1,同样可得方程,它们公共的方程即为所求. 3a b

试题解析:

12 / 18

设直线方程为 + =1(a>0,b>0),

若满足条件(1),则 a+b+

=12,①

又∵直线过点 P( ,2),∵ + =1.② 由①②可得 5a2-32a+48=0,

解得 ,或

.

∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则 ab=12,③

由题意得, + =1,④ 由③④整理得 a2-6a+8=0,

解得 ,或 .

∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0. 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为 3x+4y-12=0.

18.(1) x ? y ? 2 2 ? 0 (2)是定值,定值为 4

【解析】(1)设直线 l 的方程为 x ? y ? 1(a ? 0,b ? 0) ,即 bx ?ay ?ab ? 0 ,由直线 l 与圆 ab

? ? O 相切,得

ab a2 ? b2

?

2

,即

1 a2

1 ? b2

? 1 , DE2 4

? a2 ? b2

?

4

? ??

1 a2

?

1 b2

? ??

a2 ? b2

? 16 ,

当且仅当 a ? b ? 2 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 .

(2)设 B? x0, y0 ? , P? x1, y1 ?? y1 ? ?y0 ? ,则 C ? x0, ?y0 ? , x02 ? y02 ? 4 , x12 ? y12 ? 4

直线 PB 的方程为:

y?

y1

?

y0 x0

? ?

y1 x1

?

x

?

x1

?

直线 PC 的方程为:

y

?

y1

?

? y0 ? y1 x0 ? x1

?

x

?

x1 ?

13 / 18

分别令 y ? 0,得 xM

?

x1

y0 y0

? ?

x0 y1 y1

,

xN

?

x1 y0 ? x0 y1 , y0 ? y1

? ? ? ? 所以OM ?ON ?

xM xN

?

x12 y02 ? x02 y12 y02 ? y12

?

4 ? y12

y02 ? 4 ? y02 y02 ? y12

y12 ? 4 为定值.

19.(Ⅰ)证明: 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, E 是 AB 的中点, ? DE ? 5

又 侧棱 OB ?底面 ABCD, AB ? 面 ABCD ? OB ? AB

又 OB ? 2, EB ?1 ? OE ? 5 ? DE ? OE ? 5,

? ?ODE 是等腰三角形, F 是 OD 的中点, ? EF ? OD .

同理 DG ? DG ? 5, ? ?ODG 是等腰三角形, F 是 OD 的中点,

?FG ? OD

EF ? FG ? F EF, FG ?面 EFG

OD ? 平面 EFG (Ⅱ)侧棱 OB ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD ? OB ? BD

OB ? 2, DB ? 2 2 ? OD ? 2 3

由(Ⅱ)知: OD ? 平面 EFG , 是三棱锥 O 到平面 EFG 的距离 F 分别是 OD 的中点, OF ? 3 , DE ? OE ? 5, EF ? OD ,? EF ? 2
DG ? DG ? 5, FH ? OD ? FG ? 2 四边形 ABCD是边长为 2 的正方形, E,G 是 AB, BC 的中点

? EG ?

2

?三角形 EFG 是等边三角形?

S EFG ?

3 2

VG ? EOF

? V0?EFG

?

1 Sh ? 3

1 2

20.(1) 3 (2) BQ ? 2 BP ? 2 5

3

5

5

【解析】以

为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ,则各点的坐

标为 B?1,0,0?,C ?1,1,0?, D?0,2,0?, P?0,0,2?.

14 / 18

(1) 因为 AD ? 平面 PAB ,所以 是平面 PAB 的一个法向量,



因为



设平面 PCD的法向量为 m ? ? x, y, z? ,则



即{ x ? y ? 2z ? 0 ,令 y ? 1,解得 z ? 1, x ? 1. 2y ? 2z ? 0

所以 m ? ?1,1,1? 是平面 PCD的一个法向量,从而

所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 3 . 3

(2) 因为

,设



,则







从而



设1? 2? ? t,t ??1,3? ,

, ,





当且仅当 t ? 9 ,即 ? ? 2 时,

5

5

的最大值为 3 10 . 10

因为

y

?

cosx



? ??

0,

? 2

? ??

上是减函数,此时直线

CQ



DP

所成角取得最小值.

15 / 18

又因为 BP ? 12 ? 22 ? 5 ,所以 BQ ? 2 BP ? 2 5 .

5

5

21. (1)证明:

(方法一)设线段 FD 的中点为 Q ,连接 PQ、CQ .
∵ P 为 AD 的中点,∴ PQ / / AF ∵ EC ? 1 FD ,且 EC / /FD ,∴四边形 CEFQ 为平行四边形,∴ CQ / / EF .
2 又 CQ PQ ? Q, AF EF ? F ,∴平面 PCQ / / 平面 AEF .
∵ CP ? 平面 PCQ ,∴ CP / / 平面 AEF . (方法二)设线段 AF 的中点为 G ,连接 PG、EG .

∵ P 为 AD 的中点, ∴ PG / /FD,且 PG ? 1 FD .
2 又 ∵ E C ? 1 F D, 且 EC / /FD , ∴ PG/ /EC , ∴ 四 边形 GECP 为 平 行四 边 形, ∴
2 PC / /EG . ∵ EG ? 平面 AEF, PC ? 平面 AEF , ∴ CP / / 平面 AEF (2)(方法一)∵四边形 CDFE 为直角梯形, EF ? 2, FD ? 4, EC ? 1 FD ? 2 .
2 ∴四边形 CEFQ 为正方形, ?CDQ 为等腰直角三角形.
16 / 18

∴ ?FCD ? 900 ,即 CD ? FC .

又∵ AF ? 平面 CEFD ,∴ AF ? CD . 又 FC AF ? F ,∴ CD ? 平面 AFC ,面 CD ? 平面 ACD , ∴平面 ACD ? 平面 AFC 过 F 作 FH ? AC 于点 H ,则 FH ?平面 ACD ,即 FH 为点 F 到平面 ACD 的距离.

∵ AF ? 3, FC ? 2 2 ,∴ AC ? 17 ,∴ FH ? AF FC ? 3? 2 2 ? 6 34 ,点 F 到平

AC

17 17

面 ACD 的距离为 6 34 17
(方法二)设点 F 到平面 ACD 的距离为 d .

∵VF ? ACD

?

VA?

PCD

,∴

1 3

S?ACD

d

?

1 3

S?FCD

AF ,∴ d ? S?PCD AF . S?ACD

由方法一得, CD ? 平面 AFC ,∴ CD ? AC,CD ? FC ,

∴d

?

1 2

FC

CD

AF

?

FC

AF ? 2

2?3 ? 6

34 .

1 AC CD

AC

17

17

2

22.

【解析】(1)因为 AD ? 平面 CDD1C1 ,所以 AD ? D1F ;

(2)取 AB 中点 G,连接 A1G, FG ,
因为 F 是 CD 的中点, 所以 GF、AD 平行且相等,

可证 GFD1A1 是平行四边形,所以 A1G / / D1F ,

设 A1G 与 AE 相交于点 H,则 ?AHA1是 AE 与 D1F 所成的角,

因为 E 是 BB1 的中点,

所以 ?AHA1 ? 90 , 即 AE 与 D1F 所成的角是 90 ; (3)由上可知 AD ? D1F , AE ? D1F ,
17 / 18

所以 D1F ? 平面 AED, 从而得平面 A1FD1 ? 平面 AED .
18 / 18


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