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临猗县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

临猗县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 D 为△ABC 所在平面内一点, A. C. B. D. ) C. D.1 ,则( )

姓名__________

分数__________

2. sin45°sin105°+sin45°sin15°=( A.0 B.

3. 棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应截面面积 为 S1 、 S2 、 S3 ,则( A. S1 ? S2 ? S3 ) B. S1 ? S2 ? S3 ) C. 垂直 ,则有( C.A=B ) D.A∩B=φ ) D.相交但不垂直 C. S2 ? S1 ? S3 D. S2 ? S1 ? S3

4. 设 a, b, c 分别是 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对边的边长,则直线 sin A?x ? ay ? c ? 0 与

bx ? sin B?y ? sin C ? 0 的位置关系是(
A.平行 B. 重合 5. 已知集合 A={y|y=x2+2x﹣3}, A.A?B B.B?A

6. 已知等比数列{an}的公比为正数,且 a4?a8=2a52,a2=1,则 a1=( A. B.2 C. D.

7. 如图,棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 是侧面对角线 BC1 , AD1 上一点,若 BED1F 是菱形,则其在底面 ABCD 上投影的四边形面积( A. ) C.

1 2

B.

3 4

2 2

D. )

3? 2 4

8. 若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : f ( x) ? x ? 1 ? A.-1 B.

1 没有公共点,则实数 k 的最大值为( ex

1 2

C.1

D. 3

【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算 求解能力. 9. 如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别为( )

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A.10 13

B.12.5

12 C.12.5 13 D.10 15

10.函数 y=f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,且函数 y=f(x)在点 p(x0,f(x0))处的切线为 l:y=g(x) =f′(x0)(x﹣x0)+f(x0),F(x)=f(x)﹣g(x),如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示, 且 a<x0<b,那么( )

A.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0 不是 F(x)极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0 是 F(x)极值点 11.已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 cos x 关于直线 x ? ? A、

?
6

对称 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4 ,则 x1 ? x2 的最小值为

5? 2? D、 6 3 6 3 2 12.(m+1)x ﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是(
B、 C、 A.(1,+∞) C. B.(﹣∞,﹣1) D.

?

?



二、填空题
13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

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… 照此规律,第 n 个等式为 .
2 )an+sin

14.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2

,则该数列的前 16 项和为



15.如图所示是 y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题: ①f(x)在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中真命题为 (填写所有真命题的序号).

16.如图,正方形 O ' A ' B ' C ' 的边长为 1 cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的 周长为 .

1111] 17. 将曲线 C1: y ? 2sin(? x ? 最小值为_________.

?
4

), ? ? 0 向右平移

? 个单位后得到曲线 C2 , 若 C1 与 C2 关于 x 轴对称, 则? 的 6

18.在 ?ABC 中,有等式:① a sin A ? b sin B ;② a sin B ? b sin A ;③ a cos B ? b cos A ;④

a b?c ? .其中恒成立的等式序号为_________. sin A sin B ? sin C

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)

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如图四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面为菱形,AA1⊥底面 ABCD,M 为 A1A 的中点,AB=BD=2,且△BMC1 为 等腰三角形. (1)求证:BD⊥MC1; (2)求四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积.

20.已知 (Ⅰ)讨论 a=1 时,函数 f(x)的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+ .

,其中 e 是自然常数,a∈R

21.已知椭圆 C:

=1(a>2)上一点 P 到它的两个焦点 F1(左),F2 (右)的距离的和是 6.

(1)求椭圆 C 的离心率的值; (2)若 PF2⊥x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q,求点 Q 的坐标.

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22.已知函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). (Ⅰ)若直线 l:y=k1x 是函数 y=f(﹣x)的图象的切线,直线 m:y=k2x 是函数 y=g(x)图象的切线,求证: l⊥m; (Ⅱ)设 a,b∈R,且 a≠b,P=g( 大小,并说明理由. ),Q= ,R= ,试比较 P,Q,R 的

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3sin x cos x ? cos2 x ?

3 . 2

? ? ?? (1)当 x ? ? ? , ? 时,求函数 y ? f ? x ? 的值域; 3? ? 6 ?? ? ?x ? ? ? 2? ? ? ,若函数 g ? x ? 在区间 ? ? , ? 上是增函数,求 ? 的最大值. (2)已知 ? ? 0 ,函数 g ? x ? ? f ? 6? ? 2 12 ? ? 3

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24.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域.

(a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

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临猗县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:由已知得到如图 由 故选:A. = = = ;

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量 2. 【答案】C 【解析】解:sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15° =cos(45°﹣15°) =cos30° = .

表示为



故选:C. 【点评】本题主要考查了诱导公式,两角差的余弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应 用,考查了转化思想,属于基础题. 3. 【答案】A 【解析】

考 点:棱锥的结构特征. 4. 【答案】C 【解析】

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试题分析:由直线 sin A?x ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B?y ? sin C ? 0 , 则 sin A ? b ? a ? (? sin B) ? 2R sin A sin B ? 2R sin A sin B ? 0 ,所以两直线是垂直的,故选 C. 1 考点:两条直线的位置关系. 5. 【答案】B
2 2 【解析】解:∵y=x +2x﹣3=(x+1) ﹣4,

∴y≥﹣4. 则 A={y|y≥﹣4}. ∵x>0, ∴x+ ≥2 ∴B={y|y≥2}, ∴B?A. 故选:B. 【点评】本题考查子集与真子集,求解本题,关键是将两个集合进行化简,由子集的定义得出两个集合之间的 关系,再对比选项得出正确选项. 6. 【答案】D 【解析】解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q>0,
2 2 2 ∵a4?a8=2a5 ,∴a6 =2a5 , 2 ∴q =2,∴q=

=2(当 x= ,即 x=1 时取“=”),

, = .

∵a2=1,∴a1= 故选:D 7. 【答案】B 【解析】

试题分析:在棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BC1 ? AD1 ? 2 ,设 AF ? x ,则 2 ? x ? 1 ? x2 ,

2 3 2 2 ,即菱形 BED1F 的边长为 2 ? ,则 BED1F 在底面 ABCD 上的投影四边形是底边 ? 4 4 4 3 3 为 ,高为的平行四边形,其面积为 ,故选 B. 4 4
解得 x ? 考点:平面图形的投影及其作法. 8. 【答案】C 【解析】令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

1 ,则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : y ? f ? x ? 没有公共点, ex

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1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 .又函 ? k ?1 ? e k ?1 数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没
等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解.假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? 有实数解”矛盾,故 k ? 1 .又 k ? 1 时, g ? x ? ? 为 1 ,故选 C. 9. 【答案】C 【解析】解:众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标, ∴中间的一个矩形最高,故 10 与 15 的中点是 12.5,众数是 12.5 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是 0.2,第三个矩形的面积是 0.3,故将第二个矩形分成 3:2 即可 ∴中位数是 13 故选:C. 【点评】用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积=组距 × ,各个矩形面积之和等于 1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的最大值 ex

10.【答案】 B 【解析】解:∵F(x)=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0)﹣f(x0), ∴F'(x)=f'(x)﹣f′(x0) ∴F'(x0)=0, 又由 a<x0<b,得出 当 a<x<x0 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)<0, 当 x0<x<b 时,f'(x)<f′(x0),F'(x)>0, ∴x=x0 是 F(x)的极小值点 故选 B. 【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即当函数取到极值时导函数一定等于 0,反之当导函数 等于 0 时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值. 11.【答案】D 【解析】: f ( x) ? a sin x ? 3 cos x ? a 2 ? 3 sin( x ? ? )(tan ? ?

3 ) a

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? f ( x)对称轴为x ? ?

?
6

?? ? k ? ?

?
3

,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4
? 2? 3
y
5 4

? x1 ? ?

?
6

? 2k1? , x2 ?

5? ? 2k2? ,? x1 ? x2 6

min

12.【答案】C
2 即(m+1)x ﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切 x∈R 恒成立

x=m y=2x

3 2 【解析】解:不等式(m+1)x ﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切 x∈R 恒成立, 2 1

P

x 2y 3=0
2 3 4 5

若 m+1=0,显然不成立 若 m+1≠0,则 解得 a 故选 C. .

O

1

x

x+y 3=0

【点评】本题的求解中,注意对二次项系数的讨论,二次函数恒小于 0 只需



二、填空题
13.【答案】 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 .

【解析】解:观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 12,32,52,72…第 n 个应该是(2n﹣1)2 左边的式子的项数与右边的底数一致, 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的, 照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2, 故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之 间的关系,本题是一个易错题. 14.【答案】 546 .
* 【解析】解:当 n=2k﹣1(k∈N )时,a2k+1=a2k﹣1+1,数列{a2k﹣1}为等差数列,a2k﹣1=a1+k﹣1=k;

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当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=2a2k,数列{a2k}为等比数列, ∴该数列的前 16 项和 S16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16) =(1+2+…+8)+(2+22+…+28) = =36+29﹣2 =546. 故答案为:546. +

*



【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“分类讨论方法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 15.【答案】 ① 【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增, ∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确, x=3 是 f(x)的极小值点,②④不正确; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确, 故答案为:①. 16.【答案】 8cm 【解析】

考点:平面图形的直观图. 17.【答案】 6 【解析】解析:曲线 C2 的解析式为 y ? 2sin[? ( x ?

?

) ? ] ? 2sin(? x ? ? ? ) ,由 C1 与 C2 关于 x 轴对 6 4 4 6

?

?

?

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称知 sin(? x ?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? sin(? x ? ) , 即 ?1 ?c o s ( )? s i n (? ?x ) ?s i n ( ? )c o s ( ? ) 0 ? x ? ? 对一切 4 6 4 6 ? 4 6 4 ? ? ? 1 ? cos( ? ) ? 0 ? ? ? 6 x ? R 恒成立,∴ ? ∴ ? ? (2k ? 1)? ,∴ ? ? 6(2k ? 1), k ? Z ,由 ? ? 0 得 ? 的最小值为 6. 6 ?sin( ? ? ) ? 0 ? 6 ?
?

?

?

18.【答案】②④ 【解析】 试题分析:对于①中,由正弦定理可知 a sin A ? b sin B ,推出 A ? B 或 A ? B ?

?

2 形或直角三角形,所以不正确;对于②中, a sin B ? b sin A ,即 sin A sin B ? sin B sin A 恒成立,所以是正
确的;对于③中, a cos B ? b cos A ,可得 sin( B ? A) ? 0 ,不满足一般三角形,所以不正确;对于④中,由 正弦定理以及合分比定理可知

,所以三角形为等腰三角

a b?c ? 是正确,故选选②④.1 sin A sin B ? sin C

考点:正弦定理;三角恒等变换.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)证明:如图,连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 E, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BD⊥AC, 又 AA1⊥平面 ABCD,

BD? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD; 又 A1A∩AC=A,∴BD⊥平面 A1ACC1, 又 MC1? 平面 A1ACC1,∴BD⊥MC1. (2)∵AB=BD=2,且四边形 ABCD 是菱形, ∴AC=2AE=2 AB2-BE2=2 3, 又△BMC1 为等腰三角形,且 M 为 A1A 的中点, ∴BM 是最短边,即 C1B=C1M.

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则有 BC2+C1C2=AC2+A1M2, C 1C 2 即 4+C1C2=12+( ), 2 4 6 解得 C1C= , 3 所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 V=S 菱形 ABCD×C1C 1 1 4 6 = AC×BD×C1C= ×2 3×2× =8 2. 2 2 3 即四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 8 2. 20.【答案】 【解析】解:(1)a=1 时,因为 f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ , ∴当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. 当 1<x≤e 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)=1. (2)因为函数 f(x)的极小值为 1,即函数 f(x)在(0,e]上的最小值为 1. 又 g′(x)= ,所以当 0<x<e 时,g′(x)>0,此时 g(x)单调递增.

所以 g(x)的最大值为 g(e)= , 所以 f(x)min﹣g(x)max> , 所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ . 【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题,考查函数的极值问题,本题属于中档题..

21.【答案】 【解析】解:(1)根据椭圆的定义得 2a=6,a=3; ∴c= ∴ ; ; ; ; 带入椭圆方程 ). 得,y= ;

即椭圆的离心率是 (2) ∴x=

所以 Q(0,

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22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x).
x ∴g(x)=e .,f(﹣x)=ln(﹣x),

则函数的导数 g′(x)=e ,f′(x)= ,(x<0), 设直线 m 与 g(x)相切与点(x1, 则切线斜率 k2= = ),

x

,则 x1=1,k2=e, = ,则 x2=﹣e,k1=﹣ ,

设直线 l 与 f(x)相切与点(x2,ln(﹣x2)),则切线斜率 k1= 故 k2k1=﹣ ×e=﹣1,则 l⊥m. (Ⅱ)不妨设 a>b, ∵P﹣R=g( ∵P﹣Q=g( = )﹣ )﹣ = = = ﹣ ﹣ =﹣

<0,∴P<R,



x x x x 令 φ(x)=2x﹣e +e﹣ ,则 φ′(x)=2﹣e ﹣e﹣ <0,则 φ(x)在(0,+∞)上为减函数,

故 φ(x)<φ(0)=0, 取 x= ,则 a﹣b﹣ ? 令 t(x)= ﹣1+ 则 t′(x)= ﹣ , = ≥ 0, + <0,∴P<Q, = =1﹣

则 t(x)在(0,+∞)上单调递增, 故 t(x)>t(0)=0, 取 x=a﹣b,则 ∴R>Q, ﹣1+ >0,

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综上,P<Q<R, 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小,考查学生的运算和推理能力,综合性 较强,难度较大.
?3 ? 23.【答案】(1) ? ,3? ;(2). ?2 ?

【解析】
1 ?? ?? ? ?3 ? ? 试题分析: (1)化简 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 ,结合取值范围可得 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ?值域为 ? ,3? ; (2) 6? 2 6? ? ? ?2 ? ?? ? ? 2?? ? ?? ? ? ?? ? ?x ? ? ? ? 2? ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 和 ? x ? ? ? ? ? , ? ?, , ? 上是增函 易得 g ? x ? ? f ? 由 g ? x ? 在 ?? 3? 3 ? 3 3 6 3? 6? ? 2 12 ? ? ? 3

? ? 2?? ? ?? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ,k ? Z ? 数 ? ?? 3 3 6 3 2 2 ? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? 2k? ? ? 1 5 ? 3 ?? ? ? 3k 3 2 ?? ? ? ? k ? , k ? Z ? k ? 0 ? ? ? 1 ? ? 的最大值为. 4 ? 12 12 ? ?? ? ? ? ? ? 2k? ? ?? ? 1 ? 12k ? 3 2 ? 6

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考 点:三角函数的图象与性质. 24.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴ , 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 (7 分) ,∵b=0,

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当 x>0 时, 即 时取等号(10 分)

,当且仅当



当 x<0 时, 当且仅当 ,即

,∴ 时取等号(13 分) (12 分)

综上可知函数 f(x)的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键.

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