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改 2.2.2《直线与椭圆的位置关系》(二)课件(人教A版选修2-1)


直线与椭圆的位置关系
y

O

x

1.点与椭圆的位置关系
x2 y 2 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的位置关系 a b x2 y 2 点 P 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b 2 2 x y 点 P 在椭圆内部 ? 2 ? 2 ? 1 a b x2 y 2 点 P 在椭圆外部 ? 2 ? 2 ? 1 a b

2.交点问题即直线与椭圆的位置关系问题
x y 设椭圆的方程为: 2 ? 2 ? 1 a b y 直线的方程为: ? kx ? b
如何求椭圆与直线的交点呢?
2 2

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 联立椭圆与直线的方程得:? a b ? y ? kx ? b ?
方程组无解 方程组有一组解 方程组有两组解 <0 =0 >0

相离 相切 相交

? [例1]

当m取何值时,直线l:y=x+m与 椭圆9x2+16y2=144(1)无公共点;(2)有且 仅有一个公共点;(3)有两个公共点.

[解析]

?y=x+m ? ? 2 ?9x +16y2=144. ?

① ②

①代入②得 9x2+16(x+m)2=144, 化简整理得,25x2+32mx+16m2-144=0, Δ=(32m)2-4×25(16m2-144)=-576m2+14400. 当 Δ=0 时,得 m=± 5,直线 l 与椭圆有且仅有一个公共 点. 当 Δ>0 时,得-5<m<5,直线 l 与椭圆有两个公共点; 当 Δ<0 时,得 m<-5,或 m>5,直线 l 与椭圆无公共点.

题型一:公共点问题
x y 例2:判断直线kx-y+3=0与椭圆 ? ? 1 的 16 4
2 2

位置关系

?y ? kx? 3 ? 2 解 :由? x 2 ? ?4 x 2 ? 1?x 2 ? 24 k x ? 20 ? 0 y ?16 ? 4 ? 1 ? ? ? ? 16 ?16 k 2 ? 5? 5 (1) ? ? 0,即k ? 或k ? 4 5 ( 2) ? ? 0,即k ? 或k 4 5 (3) ? ? 0,即 ?k ? 4 5 ? 时,相交 4 5 ?? 时,相切 4 5 时,相离 4

求m的取值范围。
? y ? kx ? 1 ? 2 解: ? x y2 ?1 ? ? m ?5

x y ? 1恒有公共点, 4、直线y=kx+1(k∈R)与椭圆 ? 5 m
2 2

? (m ? 5k 2 ) x2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 ? m2 ? (5k 2 ?1)m ? 0

2 △ ? 10k)? 4(m ? 5k 2( ? 5m) 0 ( )5 ?

? 1 ? 5k 2 即m ? 1 ? 5 k 2 恒成立得 m ? 1 由m 又 m ? 0且 m ? 5

所以 m ? 1且 m ? 5

例2.
x y ? ? 1 ,直线l: ? 5 y ? 40 ? 0 4x 已知椭圆 25 9
2 2

椭圆上是否存在一点,它到直线距 离最小?最小距离是多少?

思考:最大的距离是多少?

' 解:设与已知直线平行且与椭圆相切的直线L方程为4x-5y+c=0

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程组 ? 25 9 ?4 x ? 5 y ? c ? 0 ? 消去y整理得25x 2 ? 8cx ? c 2 ? 225 ? 0

? ? (8c) 2 ? 4 ? 25 ? (c 2 ? 225) ? ?36c 2 ? 22500 ? 0 ? c ? 25
' L方程为4 x ? 5 y ? 25 ? 0

15 41 直线L与直线L的距离为 ? ? 41 A2 ? B2 42 ? 52
'

40-25

15

?

练习: 如图所示,已知椭圆x2+8y2= 8,在椭圆上求一点P,使P到直线l:x-y +4=0的距离最小,并求出最小值.

? [分析]

本题的基本思路是利用直线与椭 圆的位置关系,求出与l平行且与椭圆相切 的两直线方程,两直线与l的距离中取最小 者,即为所求的最小值.

[解析] 为

设与直线 x-y+4=0 平行且与椭圆相切的直线 得,

?x2+8y2=8 ? x-y+a=0,由? ?x-y+a=0 ?

9y2-2ay+a2-8=0, Δ=4a2-36(a2-8)=0,解得 a=3 或 a=-3. 与直线 l 距离较近的切线方程为 x-y+3=0.

|4-3| 2 最小距离为 d= =2. 2 8 ? ?x2+8y2=8 ?x=-3, ? 此时,由? 得,? ?x-y+3=0 ? ?y=1. ? 3 8 1 即 P(- , ). 3 3

3.弦长问题 x2 y 2 若直线 l : y ? kx ? m与椭圆 2 ? 2 a b
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
? ( x1 ? x2 )2 ? [( kx1 ? b) ? ( kx2 ? b)]2

? 1(a ? b ? 0) 的

交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。

? 1 ? k 2 x1 ? x2

A(x1,y1)
2

? 1? k


2

( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2
B(x2,y2)

AB ? 1 ? 12 y1 ? y2 k
借助韦达定理求弦长

? 例3

如图所示,已知斜率为1的直线l过椭圆 x2 /4+y2=1的右焦点,交椭圆于A、B两点, 求弦AB的长.

[解析]

设 A、B 坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2).

由椭圆方程知 a2=4,b2=1,c2=3, ∴F( 3,0),直线 l 方程为 y=x- 3. 将其代入 x2+4y2=4,化简整理得 5x2-8 3x+8=0. 8 3 8 ∴x1+x2= 5 ,x1·2=5. x ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 (8 3)2-4×5×8 8 = 2× =5. 5

x 2 练习:已知直线y=x+1与椭圆 ? y ? 1 4
相交于A,B两点,求弦AB的长。

2

典型例题

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2

3x ? 4x ? 0
2
2

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
2 2

4 ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ∴ AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ? 3 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ? 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB ? ? d ? AB = ? 2 ? 2 2 3 3

0 ? ( ?1) ? 1

= 2

4 答: △F1 AB 的面积等于 3

[例 5]

x2 y2 P(1,1)为椭圆 4 + 2 =1 内一定点,经过 P 引

一弦,使此弦在 P 点被平分,求此弦所在的直线方程.
? [分析]

本题涉及弦的中点,属于中点弦 问题,采用点差法求解.

[解析]

解法一: 易知此弦所在直线的斜率存在, 所以设

其方程为 y-1=k(x-1),弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2) ?y-1=k(x-1) ? 2 2 由?x y 消去 y 得, ? 4 + 2 =1 ? (2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, 4k(k-1) ∴x1+x2= 2 2k +1

4k(k-1) 1 又∵x1+x2=2,∴ 2 =2,得 k=-2.故弦所在直线 2k +1 1 方程为 y-1=-2(x-1),即 x+2y-3=0.

解法二:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 x2 y2 x2 1 1 2 k,且设弦的两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则 + =1, 4 2 4 y2 2 + 2 =1,两式相减得 (x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) + =0 4 2 ∵x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2 y1-y2 1 ∴ +(y1-y2)=0,∴k= =- . 2 2 x1-x2 1 ∴此弦所在直线方程为 y-1=- (x-1), 2 即 x+2y-3=0.

? 已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、

B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直 线AB的方程.

[解析] +1,

设通过点 M(1,1)的直线 AB 的方程为 y=k(x-1)

代入椭圆方程,整理得(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k2) -36=0. x1+x2 -18k(1-k) 设 A、 的横坐标分别为 x1、 2, B x 则 2 = = 2(9k2+4) 1. 4 4 解得 k=-9.故 AB 方程为 y=-9(x-1)+1. ∴所求直线方程为 4x+9y-13=0.

3.中点弦问题常用“点差法”求解,即 P(x0,y0)是 弦 AB 的中点,A(x1,y1)、B(x2,y2),将 A、B 坐标代入椭 y2-y1 圆方程, 并两式相减结合 x1+x2=2x0,1+y2=2y0, y 及 x2-x1 =k 求解.


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