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1.3.1空间几何体的表面积与体积


一、柱体、锥体、台体的表面积

复习回顾
? (1)矩形面积公式:

S ? ab __________。

1 S ? ah 2 ? (2)三角形面积公式:_________。

? 2 S ? ?r ? (3)圆面积面积公式:_________。 C ? 2? r ? (4)圆周长公式: _________。 ? (5)扇形面积公式: ? (6)梯形面积公式:
1 s ? lr 2 __________。
1 S ? ( a ? b) h 2 __________

3 2 S? a 4 正三角形面积公式:_______。

几何体的分类

多面体

旋转体

柱体

锥体

台体



在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道 正方体和长方体的表面积怎样得到的

几何体表面积 空间问题

展开图

平面图形面积 平面问题

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的多面体,它们的展开图是什么? 如何计算它们的表面积?

正棱柱的侧面展开图是什么?

h

正棱柱的侧面积如何计算? 表面积如何计算?

正棱锥的侧面展开图是什么?

侧面展开
h'

正棱锥的侧面积如何计 算?表面积如何计算?

h'

正棱台的侧面展开图是什么?

h'

侧面展开
h'

正棱台的侧面积如何计算? 表面积如何计算?

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体,它们的展开图是什么? 如何计算它们的表面积? 它们的侧面展开图还是平面图形, 计算它们的表面积就是计算它的各个 侧面面积和底面面积之和.

例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形 的四面体S-ABC,求它的表面积 .
S

A

B

C

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 .
解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC S 交BC于点D. 因为 BC ? a 2 3 ?a? 2 2 2 SD ? SB ? BD ? a ? ? ? ? a 2 ?2? 所以:S?SBC B D C
1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

A

因此,四面体S-ABC 的表面积.

3 2 S ? 4 ? a ? 3a 2 4

思考
? 求多面体的表面积可以通过求 各个平面多边形的面积和得到, 那么旋转体的表面积该如何求 呢?

r
l
2?r
2

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )

2?r

l

r O

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )
2

2?r '

r ' O’

2?r

l

S ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )
2 2

1 S ? ?r ? ? ?r ? ?2?r ? ? 2?r ?l 2
2 2

r O

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r O?
l
O

r ' O’

r’=r
上底扩大

l

r’=0
上底缩小

l

r O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) S ? ?r (r ? l ) S ? ? (r

典型例题

S圆台表面积

?2 ? r 2 ? r?l ? rl ) ? ? (r

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15 cm
15 cm

? 999(cm2 )
cm2 . 答:花盆的表面积约是999

小结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) r ? r? 圆柱、圆锥、 圆台
?? 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
圆锥 S ? ?r (r ? l )

棱柱、棱锥、 棱台

展开图

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题转化成平面问题

二、柱体、锥体、台体的体积

面积是相对于平面图形而言的,体 积是相对于空间几何体而言的.你知道面 积和体积的含义吗? 面积:平面图形所占平面的大小

体积:几何体所占空间的大小

柱体体积
h a a b a a h

长方体体积:V ? abh

? 正方体体积: ? a3 ? a 2 ? a ? V ? 圆柱的体积: ? ? r h V
2

V ? Sh
底 面 积



柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为:

V ? Sh
柱体(棱柱、圆柱)的体积公式:

V ? Sh
(其中S为底面面积,h为柱体的高)

锥体体积
h

椎体(圆锥、棱锥)的体积公式:

1 V ? Sh 3
(其中S为底面面积,h为高)

由此可知, 棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高; 棱锥与圆锥的体积公式类似,都是 1 底面面积乘高的 .
3

台体体积

台体(棱台、圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? 0

S ? ? S V ? 1 Sh 1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3

S为底面面积, h为锥体高

S ?, S 分别为上、下

底面面积,h 为台体 高

S为底面面积, h为柱体高

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S '? 0
1 锥体V ? Sh 3

1.已知圆锥的表面积a m2 , 且它的侧面展开图 是一个半圆,求这个圆锥的底面直径。

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 mm3 ) (
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多 少平方厘米?

20cm

15 cm
15 cm

半径为R的球的表面积公式

S ? 4? R

2

半径为R的球的体积

4 3 V ? ?R 3

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 2

3
2 1

1

(二)柱体、锥体、台体的体积
思考:取一些书堆放在桌面上(如图所示) , 并改变它们的放置方法,观察改变前后的体 积是否发生变化?

从以上事实中你得到什么启发?

思考3:关于体积有如下几个原理: (1)相同的几何体的体积相等; (2)一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和; (3)等底面积,等高的两个同类几何体 的体积相等; (4)体积相等的两个几何体叫做等积体.

棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方 向得到,因此,两个底面积相等、高也相等的 棱柱(圆柱)应该具有相等的体积.

V柱体=sh
h h

S

S

S

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥, 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三 棱柱的体积有什么关系?
A1 B1 C1 A1 B1 C1

A

C

A

C

B

B

1 棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的 3
1 V锥体= sh 3

台体(棱台、圆台)的体积

V台体

1 ? h( S ? SS ? ? S ?) 3

V ? V大锥 ? V小锥

x
S?

1 1 = S ? x ? h ? ? S ?x 3 3
1 1 = Sh ? ? S ? S ? ? x 3 3 2 1? x ? 1 S ? S ?h ??Sh ? ? S ? ? ? ? ? ? S S S ? S? 3 ? x?h? 3 x 1 1 ? S? ? ? x? h S ? S ? S ?h Sh ? S 3 3 1 ?x ? S ?S ?h ? ? S ? h SS ? S ? S? 3

h
S

x?

S ?h S ? S?

?

?

?

?

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 上底扩大 上底缩小

V ? Sh

S' ? S

1 ' ' V ? ( S ? S S ? S )h 3

S' ? 0

1 V ? Sh 3

总结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱 S ? 2?r (r ? l ) 圆柱、圆锥、 圆台
棱柱、棱锥、 棱台
?? 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

圆锥 S ? ?r (r ? l )
展开图 各面面积之和

柱体、锥体、台体的体积
柱体V ? Sh 柱体、锥体、 台体的体积
1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 台体 3 1 锥体V ? Sh 3

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积

棱台(圆台)的体积公式 1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台 (棱台)的高.

典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 mm3 ) (
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S '? 0
1 锥体V ? Sh 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略).
A?

P
D?

S?
B?

C?

h
A

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S

C
B

知识小结
柱体、锥体、台体的表面积

圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图 圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题转化成平面问题

锥体体积
经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3
一般椎体的体积也是:
1 V ? Sh 3
其中S为底面面积,h为椎体的高.


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