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江苏省涟水中学2013高二暑假作业1-10(有答案版)

江苏省涟水中学 2013 高二暑假作业 1 集合与逻辑
一、填空题: 1.设 i是虚数单位, 集合M ? {1, i}, N ? {

(1 ? i)2 1 , ? }, 则M ? N = 2 i



2. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 已知命题 p :“正 数 a 的平方不等于 0”,命题 q :“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,则 p 是 q 的________.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否 定”中选一个填空) 3.设全集 U=R, M ? {x | x2 ? 4}, N ? {x | x2 ? 3 ? 4x} ,则 图中阴影部分所表示的集合是 . 4. 已知集合 A ? {?1,1} ,B ? {x | m x ? 1} , A ? B ? A , m 且 则 的值为 . 5.已知集合 c

第3题

? 2a cos B

,则实数 a 的取值范围是
2



6.已知命题 p : ?m ? R, m ? 1 ? 0 ,命题 q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 恒成立.若 p ? q 为 假命题,则实数 m 的取值范围为 . 7 . 已 知 全 集 U ?R ,

A ? { y | y ? 2x ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} , 则

(CU A) ? B ?
2



8. (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题 ) 设 a ? R ,s: 数列

?(n ? a) ? 是递增数列;t:a ? 1 ,则 s 是 t 的____________条件
2

1 9.设有两个命题:p:不等式?3?x+4>m>2x-x2 对一切实数 x 恒成立;q:f(x)=-(7- ? ? 2m)x 是 R 上的减函数,如果 p 且 q 为真命题,则实数 m 的取值范围是 . 10.设 n ? N ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 n ? . 1 11.在集合 M={0, ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合 A,该集合恰满足条件“对 2 ? x∈A, 1 则 x∈A”的概率是 . 12. 集合 A ? {( x, y ) | y ? 1 ? x }, B ? {( x, y) | y ? x ? b} ,若 A ? B 的子集有 4 个, b 的 则 取值范围是 . 13. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁) 2013 届高三第二次调研 考试数学试卷) 由命题 “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a ,??) ,则实数 a 的值是 14.给出下列四个结论: ①命题“ ? x∈R,x2-x>0”的否定是“ ? x∈R,x2-x≤0” ②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真; a ③已知直线 l1:ax+2y-1=0,l2:x+ by+2=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-2; b ④对于任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)且 x>0 时,f ′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时, f ′(x)>g′(x). 其中正确结论的序号是 . (填上所有正确结论的序号).
2

二、解答题: 15.设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B.
[来源:学科网]

16. 已知集合 A= x x 2 ? 9 x ? 14 ? 0 ,B= x x 2 ? 13x ? 30 ? 0 ,C={x | x<a },全集为实数集 R. (1)求 A∪B,(CRA)∩B; (2)如果 A∩C≠ ? ,求 a 的取值范围. 17.命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根, 命题 q : 方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根.若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围. 18 已知 c>0.设命题 P:函数 y=logcx 为减函数. 1 1 1 命题 Q:当 x∈?2,2?时,函数 f(x)=x+ > 恒成立.如果 P 或 Q 为真命题,P 且 Q 为假 ? ? x c 命题, 求 c 的取值范围.
2
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网]

?

?

?

?

19.已知 p :|1 ?

x ?1 |? 2 ; q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 若 ? 3
[来源:学_科_网]

p 是 ? q 的必要非充分条
x ? (m 2 ? 1) <0}. x?m

件,求实数 m 的取值范围.

20. 已知函数 y ? ln(2 ? x)[ x ? (3m ? 1)] 的定义域为集合 A,集合 B={ x | (1)当 m ? 3 时,求 A ? B; (2)求使 B ? A 的实数 m 的取值范围.

一参考答案
一、填空题: 1 . 答 案 : { 1i ,?i ,

? M ? N ? {1, i, ?i} . 2 2. 答案:若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1 解析: “若 p 则 q”的逆否命题是 “若非 q 则非 p” . 3.答案: {x |1 ? x ? 2} 解析:阴影部分的集合是 N ? (CR M ) 4.答案: 1 或 ?1 或 0 解析: A ? B ? A , ∴ B ? A , ∴ B ? ? 或 B ? {1} 或 B ? {?1} . 5.答案: [0, 4] 解析:当 a ? 0 时,1<0 不成立;当 a ? 0且? ? 0 ,即 0 ? a ? 4 时也为 空集,综上 0 ? a ? 4 . 2 6.答案: (??, ?2] ? (?1, ??) 解析: p : m ? ?1 , q : ? ? 0 ,即 m ? 4,??2 ? m ? 2 , ? m ? ?1 ??2 ? m ? ?1 , 所 以 p ? q 为 假 时 m 的 范 围 为 若 p?q 为真,则 ? ??2 ? m ? 2 (??, ?2] ? (?1, ??) .
7.答案: (0,1) 解析: ? y ? 2 ? 1 ? 1,?A ? (1, ?? ), U A ? (??,1] ,又 B ? (0,1), C
x

(1 ? i ) 2 ?2i 1 ? ? ?i, ? ? i , ? N ? {i, ?i} , } 析 : 解 2 2 i

?(CU A) ? B ? (0,1) .
8.答案:既不充分也不必要 解析:如:不 等式 x ? x ? 2 ? 0 与 ? x ? x ? 2 ? 0 中
2 2

a1 b1 c1 2 2 ? ? ,但它们的解集 M,N 不等;再如:不等式 x ? x ? 1 ? 0 与 x ? x ? 2 ? 0 的 a 2 b2 c 2 a b c 解集 M ? N ,但 1 ? 1 ? 1 显然不成立. a 2 b2 c 2 1 9.答案:(1,3) 解析:∵?3?x+4>4, 2x-x2=-(x-1)2+1≤1, ? ? 1 ∴要使?3?x+4>m>2x-x2 对一切 x∈R 都成立,应有 1<m≤4;由 f(x)=-(7-2m)x 在 R 上 ? ? 是单调减函数得,7-2m>1 ,∴m<3,∵p 且 q 为真命题,∴p 真且 q 真,∴1<m<3. 10. 答案: 或 3 或 4 解析: x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? n ? N , 0 所以方程有整数根只可能为 0,4 ?
或 1,3 或 2,2,所以 n 为 0 或 3 或 4. 3 1 11. 答案: 解析: 集合 M 的非空子集有 25-1=31 个, 而满足条件“对?x∈A, ∈A” 则 31 x 1 1 1 的集合 A 中的元素为 1,2 或 ,且 ,2 要同时出现,故这样的集合有 3 个:{1},{ ,2}, 2 2 2 1 3 {1, ,2}.因此,所求的概率为 . 2 31 12.答案: 1 ? b ?

2 解析:由题意可知, A ? B 中有两个元素,所以 B 中的直线与 A 中的半圆要有两个不同的交点,结合图形可以求出 b 的范围为 1 ? b ? 2
13.答案:π-2 解析:由题中三角形为钝角三角形可得①a2 +b2<22 ;②a+b>2; ③0<a<2,0<b<2,于是集合 P 中的点组成由条件①②③构成的图形,如图所示, π×22 1 则其面积为 S= - × 2=π-2 2× 4 2 14.答案:①④ 解析:①显然正确.②中命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题 是“若 a<b,则 am2<bm2”,当 m=0 时不成立,故为假命题;③中 l1⊥l2?a+2b a a =0,但 a+2b=0 与 =-2 不等价,∵当 a=b=0 时, =-2 不成立,故③错; b b ④由条件知,f(x)为奇函数,在 x>0 时单调增,故 x<0 时单调增,从而 x<0 时,f ′(x)>0;g(x) 为偶函数,x>0 时单调增,从而 x<0 时单调减,∴x<0 时,g′(x)<0,∴x<0 时,f ′(x)>g′(x), 故④正确. 二、解答题: 15.解:由 9∈A,可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=±3 或 x=5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素违背了互异性,舍去; 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故 A∪B={-7,-4,-8, 4,9}; 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9}与 A∩B={9}矛盾,故舍去. 综上所述,x=-3 且 A∪B={-8,-4,4,-7,9}. 16.解: (1)? A ? [2,7], B ? (??,3) ? (10, ??) ? A ? B ? (??,7] ? (10, ??) ,

又 CR A ? (??, 2) ? (7, ??) ,?(CR A) ? B ? (??, 2) ? (10, ??) (2)? A∩C≠φ ,结合数轴上两集合的范围可得 a ? 2 。 17.解:“ p 或 q ”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 q 和 p 都是真命题

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 当 p 为真命题时,则 ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ?2 ; ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 当 q 为真命题时,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0, 得 ? 3 ? m ? ?1 当 q 和 p 都是真命题时,得 ?3 ? m ? ?2 ? m ? ?1
18.由 y=logcx 为减函数得 0<c<1 1 1 当 x∈?2,2?时,因为 f ′(x)=1- 2, ? ? x 1 故函数 f(x)在?2,1?上为减函数,在(1,2]上为增函数. ? ? 1 1 ∴f(x)=x+ 在 x∈?2,2?上的 最小值为 f(1)=2 ? ? x 1 ? 1 1 1 1 当 x∈?2,2?时,由函数 f(x)=x+ > 恒成立.得 2> ,解得 c> ? x c c 2 1 如果 P 真,且 Q 假,则 0<c≤ ;如果 P 假,且 Q 真,则 c≥1, 2 1 所以 c 的取 值范围为(0, ]∪[1,+∞). 2
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x ?1 ? 2, x ? ?2 或 x ? 10 ,设 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 10} , 3 ?q : x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0, x ? 1 ? m, 或 x ? 1 ? m ,设 B ? {x | x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m} . 1 ? m ? ?2 ? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B A ,即 ? ? m ? 9,? m ? 9 . ? ?1 ? m ? 10 20.解: (1)当 m ? 3 时, A ? ?x | 2 ? x ? 10? B ? ? x| 3 ? x ? 1? 0
19.解: ?p : 1 ?

? A ? B={ x |3< x <10}
(2)? m ? 1 ? m
2

?B={ x | m < x < m 2+1}

1?若 m ?

1 时,A=Ф,不存在 m 使 B ? A 3

1 2?若 m > 时, A ? ?x | 2 ? x ? 3m ? 1? 3

要使 B ? A,必须 ?

?m ? 2
2 ?m ? 1 ? 3m ? 1

解得 2≤ m ≤3

1 3?若 m < 时, A ? ?x | 3m ? 1 ? x ? 2? , 3

要使 B ? A,必须 ?

?m ? 3m ? 1 ?m ? 1 ? 2
2

解得 ?1 ? m ? ?

1 2

1 故 m 的范围 [?1,? ] ? [2,3] 2

江苏省涟水中学 2013 高二暑假作业 2---函数(1)
一、填空题: 1.已知集合 A ? ??1,1, 2, 4? , ??1,0, 2? ,则 A ? B ? .

2 2 2 . 已 知 函 数 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? ? m ? 2 ? x ? m ? 7 m ? 12 为 偶 函 数 , 则 m 的 值

?

?





? 1 ? . ? 1? ,则 A ? B ? ? x ? 4.设集合 A ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,若 A ? B ? B , 则实数 a 的值为 . 5. 函 数 f ? x ? 在 R 上 为 奇 函 数 , 且 f ? x ? ? x ? 1, x ? 0 , 则 当 x ? 0 时 ,
2 3.若集合 A ? x 3 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,集合 B ? ? x

?

?

6. 若函数 f ? x ? ? 4x2 ? kx ? 8 在 ?5,8? 上是单调函数,则 k 的取值范围是 7. 已知函数 f ? x ? ? ?

f ? x? ?

. .

? 2x ? x ? 0? ? ,则 f ? 5? ? ? f ? x ? 3?? x ? 0 ? ?

. .

8. 已知 f ( x ) = x5 + ax3 – bx - 8,且 f (-2) = 10,则 f (2) = 9. 函数 f ? x ? ?
2 2

x 的值域为 . x ?1 10.定义在 R 上的偶函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? 1? ? ? f ? x ? ,且在区间 ? ?1,0? 上为递增,


f

? 2 ? , f ? 2? , f ?3? 的大小关系是

. (请用不等号连接).

11. 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 , f ?1? ? 2 , f (2013) = 若 则 . 12.设定义在[-3,3]上的偶函数 f ( x )在[0,3]上是单调递增,当 f ( a – 1 ) < f ( a )时,则 a 的取 值范围是 . 13. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)设 f (x)是定义 x 在 R 上的奇函 数 ,当 x < 0 时,f (x)=x + e (e 为自然对数的底数),则 f ? ln6 ? 的值为 14.设函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x 在区间 的值域为 ? ?2,6? ,则函数 g ? x ? 在 ? ?12,12? 上的值域为 二、解答题: 15.判断下列函数的奇偶性:

? 2,3? 上



(1) f ? x ? ?

?? x 2 ? x ? x ? 0 ? 1 ? x2 ? ; (2) f ? x ? ? ? 2 . x?2 ?2 ? x ? x ? x ? 0? ?

16(江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)已知 ?ax 2 ? 2 x ? 1 x 0, ,≥ ? 函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次 ? x ? bx ? c,x ? 0 ? 交 于四个不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,求实 数 t 的值. 17 已知函数 f ? x ? ? x ?

(1)作出函数 f ? x ? 的图象,并写出 f ? x ? 的值域;

1 ? x ? 0? . x

(2)用定义证明函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是减函数. 18 已知函数 f ( x ) = x2 - 2ax + a2 -1. (1)若函数 f ( x )在区间[0,2]上是单调的,求实数 a 的取值范围; (2)当 x∈ [-1,1]时,求函数 f ( x )的最小值 g ( a ),并画出最小值函数 y = g ( a )的图象. 19 已 知 函 数 f ? x ? 定 义 域 为 ??1 , ?1 , 若 对 于 任 意 的 x, y ?? ?1,1? , 都 有
f ? x ? y? ? f ? x? ? f ? y ? ,

且 x ? 0 时,有 f ? x ? ? 0 . (1)证明: f ? x ? 为奇函数; (2)证明: f ? x ? 在 ??1,1? 上为单调递增函数;
2

(3)设 f ?1? ? 1,若 f ? x ? ? m ? 2am ? 1 ,对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围. 20(2011?上海高考理科)

设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函 数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,求 f ( x) 在区 间 [?10,10] 上的值域
版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

作业 2 参考答案
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 3.

??1, 2? .

解析:略.

m ? 2 . 解析:依据偶函数的定义 f ? ?x ? ? f ? x ? 即可求得.

? 1 ? ? 1 ? A ? B ? ? x ? x ? 1? . 解 析 : ?A ? ? x ? ? 1? , B ? ? x 0 ? x ? 1? , ? x ? 3 ? ? 3 ? ? 1 ? A ? B ? ? x ? x ? 1? ? 3 ? 1 1 ? 4. 0 或 ? 或 ? . 解析: A ? B ? B,? B ? A .① a ? 0 时,B ? ? , 当 满足 B ? A ; 3 2

② a ? 0 时, B ? ?? ? ,由 B ? A 得 a ? ? 当 5. 解 析

? 1? ? a? f ? x ? ? ? ? x ?1 .

1 1 1 1 或 ? ,综上 a 的值为 0 或 ? 或 ? . 2 3 3 2




x?0





?x ? 0



f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? ? x ? 1? ? ? ? x ? 1 ? ?
6. 称轴 x ? 7.

k ? 40 或 k ? 64 . 解析: f ? x ? 是开口向上的二次函数,由题可知,区间 ?5,8? 在对

k k k 的同侧,从而 ? 5 或 ? 8 ,即 k ? 40 或 k ? 64 . 8 8 8

8. ∴ - 2b = -50 ∴f ( 2 ) = 25 + 23a - 2b – 8 = 8a - 2b + 24 = -50 + 24 = -26 8a 法二:令 g ( x ) = f ( x ) + 8 易证 g ( x )为奇函数 ∴g ( -2 ) = - g ( 2 ) ∴ f ( -2 ) + 8 = - f ( 2 ) - 8 ∴f ( 2 ) = - f ( -2 ) – 16 = - 10 – 16 = -26. 9.

1 1 . 解析: f ? 5 ? ? f ? 5 ? 3? ? f ? 2 ? ? f ? 2 ? 3? ? f ? ?1? ? 2?1 ? 2 2 5 3 ?26 . 解析: 法一: f (-2)=(-2) +(-2) a-(-2)b-8 = -32-8a + 2b – 8 = -40 - 8a + 2b = 10 ∵

1 x2 1 ?1, ? 1 ? 2 ,? x 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ? 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 1 x2 y 2 2 ?0 ? 1? 2 ? 1, f ? x ? 的值域为 ?0,1? ; 即 法二: y ? 2 设 , x ? 则 , x ?0 由 x ?1 x ?1 1? y y ? 0 , ? 0 ? y ? 1 ,即 f ? x ? 的值域为 ?0,1? . 可以推得 1? y

?0,1? .

解析:法一: f ? x ? ?

10. f ? 3? ? f

? 2 ? ? f ? 2?

.









f ? x ? 1? ? ? f ? x ?





对称, 由周期知图象也关于直线 x ? 2 对称. 由 f ? x ? 在区间 ? ?1,0? 上为递增得 f ? x ? 在区 间 ?1, 2? 上递增,在区间 ? 2,3? 上递减,从而 f ? 3? ? f 11.

f ? x ? 2? ? ? f ? x ?1? ? f ? x ? ,?

T ? 2 ,又 f ? x ? 是偶函数,其图象关于直线 x ? 0

? 2 ? ? f ? 2? .


13 2

.









f ? ?x ?

?

f 2? x 1 得 ? ? 3

f ? x ? 2? ?

13 f ? x?



? f ? x ? 4? ?

13 ? f ? x? f ? x ? 2?

? T ?4

f ? 2011? ? f ? 4 ? 502 ? 3? ? f ? 3? ? f ?1 ? 2 ? ?
12.

13 13 ? . f ?1? 2

1 ? a ? 3 . 解析:∵f ( a – 1 ) < f ( a ) ∴ f ( | a – 1 | ) < f ( | a | ) 2

而 | a – 1 | ,| a | ∈[ 0,3 ]

? a ?1 ? a ? ? ??3 ? a ? 1 ? 3 ? ?3 ? a ? 3 ?

1 ? ? a ? 3. 2

13. a ? 2 . 解析:作出函数图象,可以看出要确保函数 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增, 必须有 a ? 1 ? 1 ,故有 a ? 2 . 14. 解 析 : 由 题 可 设 g ? x ?min ? f ? a ? ? 2a ? ?2 , ??20,34? . g ?b?max ? f ?b? ? 2b ? 6 , a, b?? 2,3? 由 周 期 性 可 知 , x???12, ?11? , a ?14 ???12, ?11? , g ? x ? ??26,34? , 同 理 x?? ? 1, ? 1?0, a ? 3 ???11, ?10? , 1 g ? x ? ??24,32? ,…, x ??11,12? , a ? 9 ??11,12? , g ? x ? ???20, ?12? ,故函数 g (x)

在 [?12, 12] 上的值域为 [?20, 34] 。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解: (1)由 ?

? 1 ? x2 ? 0 ? 可得函数的定义域为 ? ?1,0? ? ? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , ? x?2 ?2? 0 ?

f ? x? ?


1 ? x2 x


f ? ? x? ? ? f? ? x

f ? x? ?

1 ? x2 为奇函数. x

(2)∵x∈ R,f ( x ) = - x | x | + x ∴ ( - x ) = - ( - x ) | - x | + ( - x ) = x | x | - x = - f ( x ),∴ ( x )为奇函数; f f 16. 解: A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ? ?1,2?
2

(1)? A ? B ? A
2

? B? A

B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0} ? x ? x ? 1? ? x ? ? a ? 1?? ? 0 ? ?
① a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时, B ? ?1? ,满足 B ? A ; 当

?

?

② a ? 1 ? 1 , a ? 2 时, ? ?1, a ?1? , B ? A 得 a ? 1 ? 2 , a ? 3 .故 a ? 2 或 a ? 3 . 当 即 由 即 B (2)? A ? C ? C (3)? A ? C ? C

? A?C 所以 C ? ?1,2? ,从而 m ? 3

? 1, 2 ? C ,而 C 集合最多两个元素,

? C?A

2 ① C ? ? ,则 ? ? m ? 8 ? 0 ,解得 ?2 2 ? m ? 2 2 ; 若

② C ? ?1? ,则 ? 若

?m ? ?2 2 ? ??0 ? ,即 ? ,无解; ? m?3 ?1 ? m ? 2 ? 0 ?
?m ? ?2 2 ? ??0 ? ,即 ? ,无解; ? m?3 ? 4 ? 2m ? 2 ? 0 ?

③ C ? ?2? ,则 ? 若

④ C ? ?1,2? ,则 m ? 3 . 若

综上所述, m 的取值范围为 ?2 2 ? m ? 2 2 或 m ? 3 . 17. 解: (1)图象略;值域为 ? ??, ?2? ? ?2, ??? ; (2)证明:设 x1,x2 是区间 ? 0,1? 上的任意实数,且 x1<x2,则

? ?1 1? x x ?1 1? ? 1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? 1 2 x1 ? ? x2 ? x1 x2 ? ? x1 x2 ? x x ?1 ∵ 0 < x1 < x2 ≤ 1 ∴x1 - x2 < 0,0 < x1x2 < 1 ?? x1 ? x2 ? 1 2 ?0 x1 x2
即 f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 ∴ x1 < x2 时有 f ( x1 ) > f ( x2 )

1 函数 f ? x ? ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是减函数. x
18. 解:(1) ∵f ( x ) = ( x – a )2 – 1 ∴a ≤ 0 或 a ≥ 2 (2)1° a < -1 时,如图 1,g ( a ) = f ( -1 ) = a2 + 2a 当 2° 当-1 ≤ a ≤ 1 时,如图 2,g ( a ) = f ( a ) = -1 3° a > 1 时,如图 3,g ( a ) = f ( 1 ) = a2 - 2a 当

? a 2 ? 2a, a ? ?1 ? ? g ? a ? ? ??1, ?1 ? a ? 1 , ? a 2 ? 2a, a ? 1 ?

函数 g ? a ? 的图象如右图 19. 解:(1)令 x ? y ? 0 ,? f ? 0? ? 0 , 令 y ? ? x , f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,? f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,? f ? x ? 为奇函数; (2)? f ? x ? 是定义在 ??1,1? 上的奇函数, 令 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则

? f ? x ? 在 ??1,1? 上为单调递增函数;

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0

(3) f ? x ? 在 ??1,1? 上为单调递增函数, f ? x ?max ? f ?1? ? 1, f ? x ? ? m2 ? 2am ? 1 对 使 所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立,只要 m ? 2am ? 1 ? 1,即 m ? 2am ? 0
2 2

令 g ? a ? ? m2 ? 2am ? ?2am ? m2 , 要 使 g ? a ? ? 0 恒 成 立 , 则 ?

?m ? ? ??, ?2? ? ? 2, ???
江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 3.
一、填空题: 1.已知幂函数 f (x) 的图象过 (2, 2.已知函数 f ( x) ? ?

? g ? ?1? ? 0 ? , ? g ?1? ? 0 ?

函数(2)
. . . .

2 ) ,则 f (4) ? 2

,则 f ( f (?1)) ? ?? 2 x, x ? 0 3.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点
2

?x 2 ? 1, x ? 0

4.二次函数 y ? x ? ax ? 5 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数,则 a 的取值范围是 5.方程 log 1 x ? 2 ? x 的解的个数为
2 2



6. 如图, 已知奇函数 f (x) 的定义域为 x x ? 0, x ? R?, f (2) ? 0 则不等式 f ( x) ? 0 的 且 解 集为
2

?


2

y

7.函数 y = log 1 ( x ? 4 x ?12) 的单调递增区间是 . 8.在区间(1.5,2)(0.3,1)(1,1.5)和(2,+ ? )中, , , 函数 f ( x) ? 2? x ? log0.3 x 的零点所在区间是 . . 0 2 x

2 9.设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ?a,2a? ,都有 y ? a, a 满足方程

?

?

loga x ? loga y ? c ,这时, a 的取值的集合为
10. 已知函数 f ( x) ? ?

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x2 ) 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0 x1 ? x2 (a ? 3) x ? 4a( x ? 0) ?


成 立,则 a 的取值范围是

11.(2011?重庆高考文科?)设 a ? log 1
3

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log3 , 则 a, b, c 的大小关系 2 3 2 3
x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ), 大小关系 2 2

是 12.对于幂函数 f ( x) ? x ,若 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( 是 .
2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? x , x ? [?2,2] 和 g ( x) ? ax ? 1, x ? [?2,2] , 若 对 于 任 意 的

1 2

x1 ? [?2,2] 总存在 x0 ? [?2,2] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是 . 14.设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2,0] 1 x ( x ? 2) 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 ,若在区间 (?2,6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ? 0 (a ? 1) 恰有 2 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是 .
二、解答题: 15. (1) (2011?四川高考理科)计算 (lg
1 3 ?3 4 1 2 ?1 3 6

1 ? 1 ? lg 25) ?100 2 ; 4
2 3 ?1 4

(2)化简: (?2a b ) ? (?a b ) ? (?3a b ) . 16.已知函数 f ? x ? ?

2x ? 1 . 2x ? 1

(1)求函数的值域; (2)判断并证明函数的单调性. 17. 已知定义域在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . (1)求 f (0) ; (2)判断函数的奇偶性,并证明之; (3)解不等式 f (a ? 4) ? f (2a ? 1) ? 0 .
2

18.已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) . (1)若 f (x) 的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围及 f (x) 的值域;
2

(2)若 f (x) 的值域是 R ,求实数 a 的取值范围及 f (x) 的定义域. 19.2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。据科学测算,跳水运动员进 行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐 标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件) ,且在跳某个规定的翻腾动作时,正常情况 2 下运动员在空中的最高点距水面 10 米,入水处距池边 4 米,同时运动员在距水面 5 米或 3 5 米以上时,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误。 (1)求这个抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线,且运动员在空中调 3 整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误?请通过计算说明理 5 由; (3)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势时, 距池边的水平距离至多应为多大? 20.已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2) 若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 的取值范围;学

1 求 x ? b 没有交点, b 2

(3)设 h(x) ?log

9

?a ?3

x

? 4a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 3

?

a 的取值范围. 版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

作业 3 参考答案
一、填空题:

1 2 ?4 2.答案: 3.答案: (2,1) 4.答案: a ? ?4
1.答案: 5.答案:2 个 解析:数形结合易得 6.答案: x ? 2 ? x ? 0或x ? 2 7 . 答 案 : (??,?6)

?

?

解析:由奇偶函数的性质可得

? y ? log 1 u ? 2 解析:可看作复合函数 ? 先求定义域 2 ?u ? x ? 4 x ? 12 ?

(??,?6) ? (2,??) 再求 u 的减区间 (??,?2) ,最后求他们的交集得到 (??,?6)
8.答案: ? 0.3,1? 9.答案:{2} 解析:由题意可得 xy ? a c ,所以 y 是关于 x 的减函数

?a 3 ? a c ? ?? 2 ? c ? 3, a ? 2 ?2 a ? a c ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 10.答案: (0, ] 解析:由 x1 ? x2 , 都有 ? 0 ? f (x) 为减函数, 4 x1 ? x2

?0 ? a ? 1 1 ? ? ?a ? 3 ? 0 ? (0, ] 4 ?a 0 ? 4 a ? 1 11.答案: 解析:对数和二次函数的复合,可以令 lg x ? t ,求出 t1 ? t 2 ? mn 15 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 12.答案: f ( 1 解析:由凹凸函数的性质可得如下结论:凸函 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? )? 数有 f ( 1 ,而凹函数有 f ( 1 2 2 2 2 5 5 13. 答案:( ?? ,? ] ? [ ,?? ) 解析: x1 ? [?2,2] 时,有 f ( x1 ) ? [0,4] ,当 x0 ? [?2,2] 当 2 2 时,有 g ( x0 ) ?[?2 a ? 1,2 a ? 1] ,由题意可得 [0,4] ? [?2 a ? 1,2 a ? 1] ,则有

?? 2 a ? 1 ? 0 5 5 ? 解得 ( ?? ,? ] ? [ ,?? ) ? 2 2 ?2 a ? 1 ? 4 ?
14.答案: (4 ,2) 解析:由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) 得到周期为 4,结合 f (x) 是偶函数,且 当 x ? [?2,0] 时, f ( x ) ? ( ) ? 1 ,可作出 f (x) 的大致图像,记 g ( x) ? loga
x

1 3

1 2

( x ? 2)

,在区



(?2,6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? log(x ? 2) ? 0 (a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则函数

?a ? 1 1 ? f (x) 和 g (x) 在 (?2,6] 有 3 个不同的实数根,作出图像,则 ? f (2) ? g (2) ? (4 3 ,2) ? f (6) ? g (6), ?
二、解答题: 15.解: (1) 解:原式 ? (2)
1

lg 9 lg 32 ? ?1? 2 lg 8 lg 3

解:原式 ? (?2a 3 b

?3

3 ? ?2 4

2

) ? (?3a 3 b 4 )

?

3

?

1? y x , 又 2 ? 0 ,??1 ? y ? 1 ,函数 f ? x ? 的值域为 ? ?1,1? 1? y (2)函数 f ? x ? 在 x ? R 上为单调增函数
16.解: (1)? 2 ?
x

2 lg 3 4 lg 2 ? ?1 3 lg 2 lg 3 8 11 ? ?1 ? 3 3

?

2 3 ?2 a b 3

8

5

2 2x ?1 =1 ? x x 2 ?1 2 ?1 在定义域中任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2
证明: f ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

?2

2 ? 2 x1 ? 2 x2 ?
x1

? 1?? 2 x2 ? 1?

? x1 ? x2 , ?2x1 ? 2x2 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
所以函数 f ? x ? 在 x ? R 上为单调增函数。 17. (1)解:取 x ? y ? 0 则 f (0) ? 2 f (0) ,? f (0) ? 0 ; (2) f (x) 是奇函数,证明:对任意 x ? R ,取 y ? ? x 则 f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) ? f (x) 是 R 上的奇函数 (3)任意取 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? ?x (其中 ?x ? 0 )

? f ( x2 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? 0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,? f (x) 是 R 上的增函数

对于不等式 f (a 2 ? 4) ? f (2a ? 1) ? 0 , ? f (2a ? 1) ? ? f (a 2 ? 4) ? f (4 ? a 2 )

? 2a ? 1 ? 4 ? a 2 即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ,? ? 3 ? a ? 1
18.解: (1)因为f(x)的定义域为R,所以ax2+2x+1>0对一切x ? R成立.

?a ? 0, 1 1 解得a>1. 又因为ax2+2x+1=a(x+ )+1- >0, a a ?? ? 4 ? 4a ? 0, 1 所以f(x)=lg(a x2+2x+1) ? lg(1- ),所以实数a的取值范围是(1,+ ? ) , a
由此得 ? f(x)的值域是 ?lg?1 ? 1 ?,?? ? ? ? ?
? ? ? a? ? ?

( 2 ) 因为f(x)的值域是R,所以u=ax2+2x+1的值域 ? (0, + ? ). 当a=0时,u=2x+1的值域为R ? (0, + ? ); a ? 0, 当a≠0时,u=ax2+2x+1的值域 (0, + ? )等价于 ?

?

? ? 4a ? 4 ? 4 a ? 0. ?

解之得0<a ? 1. 所以实数a的取值范围是[0.1] f (x)的定义域是(-

当a=0时,由2x+1>0得x>-

1 , 2

1 ? ,+ ); 当0<a ? 1时,由ax2+2x+1>0 2
a

解得 x ? ? 1 ? 1 ? a 或x ? ? 1 ? 1 ? a
a

? ? ? ? f (x)的定义域是 ? ? ?,? 1 ? 1 ? a ? ? ? ? 1 ? 1 ? a ,?? ? . ? ? ? ? a a ? ? ? ?

19.解:(1) 由题设可设抛物线方程为 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 ? ∴ c ? 0 , b ? ?5 ? 2a ; 即 y ? f ( x) ? ax ? (5 ? 2a) x ? a( x ?
2

? f (0) ? 0 ? f (2) ? ?10

∴ [ f ( x)]max

5 ? 2a 2 (5 ? 2a) 2 ) ? (a ? 0) 2a 4a 5 ? 2a (5 ? 2a)2 2 ? 0 , 得 (6a ? 25)(2a ? 3) ? 0 且 ?? ? (a ? 0) 且 2a 4a 3

a??

5 2

25 10 25 10 , b ? ,所以解析式为: y ? ? x 2 ? x 6 3 6 3 3 3 8 (2) 当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时,即 x ? 3 ? 2 ? 时, 5 5 5 8 25 8 2 10 8 16 y ? f ( ) ? ? ?( ) ? ? ? ? 5 6 5 3 5 3 16 14 ? ? 5 ,故此次跳水会出现失误 所以此时运动员距水面距离为 10 ? 3 3
∴a ? ?

(3) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m (m ? 2) ,则

f (m ? 2) ? ?5 .
25 10 12 ? 34 (m ? 2) 2 ? (m ? 2) ? ?5 ,即 5m2 ? 24m ? 22 ? 0 ∴ 2 ? m ? 6 3 5 12 ? 34 所以运动员此时距池边的水平距离最大为 米。 5
∴? 20.解:(1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 于是 2kx ? log9 (9? x ? 1) ? log9 (9x ? 1) ? log9 9 ? 1 ? log9 (9x ? 1) ? ? x 恒成立, 9x 而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 . 2 x (2)由题意知方程 log9 (9 ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log9 (9x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 x 令 g ( x) ? log9 (9 ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.

x 因为 g ( x) ? log9 9 ? 1 ? log9 ?1 ? 1 ? ? ? 9x ? 9x ?

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 9 x1 ? 9 x2 ,从而 11 ? 12 . 9x 9x 于是 log9 ?1 ? 1 ? ? log9 ?1 ? 1 ? ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , ? ? ? ? ? 9x1 ? ? 9x2 ? 所以 g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数.因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log9 ?1 ? 1x ? ? 0 . ? ? 9 ? 9 ? 所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?. (3)由题意知方程 3x ? 1 ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3x 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 3 ,不合, 舍去;若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 若 a=1,则 t ? ? 4 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 由? ?0?a ? 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1 , ? ?) .

江苏省涟水中学高二数学暑假作业 4、函数与导数
一、填空题: 1.曲线 y ? sin x ? e x 在点(0,1)处的切线方程为
x 3



2. (2012 年高考(天津理) 函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是. ) 3. (2012 年高考(辽宁文) 函数 y= )

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2

4. 已知曲线 f ( x) ? a ln x ? bx ? 1 在点 (1,f (1)) 处的切线斜率为-2, x ? 且

2 是函数 y ? f ( x) 3

的极值点,则 a ? b ? . 5. (2012 年高考 (湖南文) 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x ) ) 是 f ( x ) 的 导 函 数 , 当 x ??0, ? ? 时 , 0 ? f ( x) ? 1 ; 当 x ? (0, ? ) 且 x ? 时 , (x ?

?
2

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 [?2? , 2? ] 上的零点个数为
2

f ?? x? f x ? 3x ? 2xf ? ? 2? 6 . 已 知 函 数 f ?x ? 的 导 函 数 为 ,且满足 ? ? ,则 f ? ? 5? ? . 从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形,做成一个无盖 的盒子,盒子容积的最大值是 . ( 7.函数 f (x) 在定义域 R 内可导, f ( x) ? f (2 ? x) , 若 且当 x ? (??,1) 时, x ? 1) f ?( x) ? 0 , 1 设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 a, b, c 的大小关系为 . 2 1 1 9.已知函数 f ( x) ? x3 ? (2 ? a) x2 ? 2ax ? b(a, b ? R) .若函数 f ( x) 在区间(-1,1)上不 . 3 2

单调,则实数 a 的取值范围为 . .. 1 2 10.设函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx.若 x=1 是 f ( x) 的极大值点,则实数 a 的取值范围 2 是 . 11.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有相异的三个公共点,则实数 a 的取值范围 是 . f (x) 的定义域为 R. f (?1) ? 2 ,对任意的 x? R , f ?( x) ? 2 ,则 f (x) ? 2 x ? 4 12.函数 的解集为 . 13.已知函数 f ( x) ? kx, g ( x) ? 则实数 k 的取值范围是

ln x ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, ??) 上恒成立, x

3 2

14 .( 2012 年 高 考 ( 福 建 文 )) 已 知 f ( x) ? x ? 6x ? 9x ? abc, a ? b ? c , 且

f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 . 现 给 出 如 论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 .
其中正确结论的序号是 二、解答题: .





? 15.已知函数 f ( x)

(1)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x ) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,求实数 m 的取值范围. 1 16.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x , g ( x) ? lnx .(1)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ?? ) 上是单调函 2 数,求(1) a 的取值范围;

1 3 x ? mx2 ? 3m2 x ? 1 (m ? 0) . 3

1 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有两个不同 e x 的零点?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

(2) 是否存在正实数 a , 使得函数 h ? x ? ?

17 某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为 2m. (1)过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A,B 两点,且与走廊的一边的夹角为

2 (2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通 过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计) .
18.设 f ( x) ? ln x.g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) .

? ? (0 ? ? ? ) ,将线段 AB 的长度 l 表示为 ? 的函数;

C P

θ

B 2m

(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;
1 (2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; x
(3)求使得 g (a) ? g ( x) ? 19

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

A

2m

1 对任意 x ? 0 恒 成立的实数 a 的取值范围. a ?? x3 ? x 2 , x ? 1 已知函数 f ( x) ? ? . ?a ln x, x ? 1

(1)求 f ( x) 在 [ ?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (2)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P , Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上? 20(2012 年高考(天津文) 已知函数 f ( x) ? ) (I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; 作业 4 参考答案 一、填空题: 1.答案: 2 x ? y ? 1 ? 0 解析:依题意得 y? ? cos x ? e x ,曲线 y ? sin x ? e x 在点(0,1)处的 切线的斜率等于 2,因此该切线方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 . 2.答案: (0, )

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a(a ? 0) 3 2

1 a

解析: f ( x) 的定义域为 (0, ??), f ?( x) ?

1 ? ax ' ,则由 f ( x) ? 0 得 x

x?

1 1 1 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, ? f ( x) 在 (0, ) 上单调递增. a a a

e2 ? 2e 解析:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . 2 1 ( x ? 1)2 因为 f ?( x) ? ? x ? 2 ? ? 0 , 所以函数 f ( x) 在区间 [1, e ] 上单调递增,则当 x ? e 时, x x
3.答案: 1 ?

函数 f ( x) 取得最大值 1 ? 4.答案:10

e2 ? 2e . 2

a 3 ? b ,故 a ? b ? ? 2, a ? b ? 0 ,解得 a ? 4, b ? ?6 . x 2 3 5 .答案:-2 解析:∵ f ?( x) ? 4ax ? 2bx ,∴ f ?( x) 为奇函数,∴ f ?( ? 1) ? ? f ?(1) ? ?2. 6.答案:6 解析:由题意得 f ? ? x ? ? 6 x ? 2 f ? ? 2 ? , f ? ? 2? ? 12 ? 2 f ? ? 2? ,? f ?(2) ? ?12 ,
解析:由题意得 f ?( x) ?

? f ? x ? ? 3x2 ? 24x , f ? ? 5? ? 6 .
7.答案:144cm3 解析:设小正方形边长为 xcm,则盒子容积 V(x)=x(10-2x)(16-2x) =4(x3-13x2+40x)(0<x<5).V′(x)=4(3x2-26x+40)=4(3x-20)(x-2).令 V′(x)=0, 20 20 解得 x=2 或 x ? .但 ? (0,5) ,∴x=2,∵极值点只有一个,可判断该点就是最大值 3 3 点.∴当 x=2 时,V(x)最 大,V(2)=4(8-52+80)=144.8.答案:c<a<b 解析:依题意得, 1 当 x ? 1 时,有 f ?( x ) ? 0 , f ( x) 为增函数;又 f (3) ? f (?1) ,且 ?1 ? 0 ? ?1 ,因此有 2 1 1 f (? 1) ? f (0)? f ( ), 即 有 f (3) ? f (0) ? f ( ) . 9. 答 案 : ( - 1,1) 解 析 : 2 2 2 f ?( x) ? x ? (2 ? a) x ? 2a=( x+2)( x ? a)=0 的两根为 x1=-2,x2=a.若 f (x)在(-1,1)上不 单调,则-1<a<1. 10.答案: ( ?1, ?? ) 解析: f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 得 b ? 1 ? a .∴ f ?( x) ?
学科网]

1 ? ax ? b ,由 f ?(1) ? 0 , x
[来源:

1 ?(ax ? 1)( x ? 1) . ? ax ? a ? 1 ? x x

①若 a≥0,由 f ?( x) ? 0 ,得 x=1.

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x ) 单调递增;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x ) 单 1 1 ) ? 调递减.满足题意; ②若 a<0, f ?( x 0 , x=1, x ? ? .由题意知 ? ? 1 , ?1 ? a ? 0 . 由 得 即 a a 11.答案:(-2,2) 解析:令 f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ,得 x=±1,可求得 f(x)的极大值为 f(-1) =2,极小值为 f(1)=-2,-2<a<2 时,恰有三个不同公共点. 12.答案: (?1, ?? ) 解析:设 h( x) ? f ( x) ? 2 x , h?? x ? ? f ?( x) ? 2 ? 0 ,故 h ( x ) 在 R 上 为增函数.又 h(?1) ? f (?1) ? 2 ? 4 ,由 f (x) ? 2 x ? 4 ,即 h(x) ? h( ?1) h( x) ? h( ?1) ,得 x ? ?1. ln x ln x ln x 1 13 . 答 案 : [ , ??) 解 析 : ? x ? 0, kx ? , ? k ? 2 , 令 h( x) ? 2 , 又 2e x x x
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

‘ h ( x) ?

1 - 2 ln x ‘ , h ( x) ? 0 解得 x ? e , 令 所以 h ( x ) 在 (0, e ) 上单调增; ( e , ??) 上 在 3 x
1 . 2e
x x

单调减, k ? h( x)max ?

2 14 .答 案: (3e2 , ??) 解 析 : F ( x) ? f? ( x)? a ? x a ? 3 e ? 2 e( x ? 0) . 当 a ? 3e2 时 ,则 ?

a ? 3e2 F ( x) ? x ? ? 2e ? 2 a ? 3e2 ? 2e ,当且仅当 x ? a ? 3e2 时等号成立, x
故 F ( x) 的最小值 m ? 2 a ? 3e2 ? 2e ? 2e ,符合题意;

当 a ? 3e2 时,函数 F ( x) ? x ? 2e 在区间 (0, ??) 上是 增函数,不存在最小值,不合题意;

a ? 3e2 ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小值,不合 x 题意.综上,实数 a 的取值范围是 (3e2 , ??) . 二、解答题:
当 a ? 3e2 时,函数 F ( x) ? x ?

? 15.解: (1)当 m ? 1时, f ( x)

1 3 8 5 x ? x 2 ? 3x ? 1 , f (2) ? 4 ? 6 ? 1 ? . ? 3 3 3
???3 分 ???5 分

? f ?( x) x2 ? 2x ? 3 , f ?(2) 4 ? 4 ? 3 ? 5 . ? 所以所求切线的方程为 15x ? 3 y ? 25 ? 0

? ? (2) f ?( x) x2 ? 2mx ? 3m2 令 f ?( x) 0 得 x1 ? ?3m, x2 ? m , 由于 m ? 0 , f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?3m)

?3m

(?3m, m)

m

(m, ??)

f ?( x)

[来源:学科网 ZXXK]

+ 单调增

0 极大值

— 单调减

0 极小值
…………9 分

+ 单调增

f (x)

所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?3m) 和 (m, ??) .

1 要使 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增, 应有 m ? 1 ? ?3m 或 2m ? 1 ? m , 所以 m ? ? 或 4 ,又 m ? 0且m ? 1 ? 2m ? 1 ,所以 1 ? m ? 2 . ????14 分 m ?1
16.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ?? ) 上是单调增函数,符合题意.??2 分 2 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? , a 2 由于 y ? f ( x) 在 [1, ?? ) 上是单调函数,所以 ? ? 1 ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 , a 综上, a 的取值范围是 a ? 0 ,或 a ? ?2 . ??????6 分 1 lnx ( 2 ) h ? x? ? ? (ax ? 2) ? (2a ? 1) , 因 h ? x ? 在 区 间 ( , e )内 有两 个 不 同的 零 点 ,所 以 e x 1 2 h ? x ? ? 0 ,即方程 ax ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 在区间( , e )内有两个不同的实根.???7 分 e 设 ? ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ,

1 2ax ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? ???9 分 x x x 1 1 令 ? ?( x) ? 0 , 因为 a 为正数, 解得 x ? 1或 x ? ? (舍) x ? ( ,1) 时, ? ?( x) ? 0 , 当 2a e 减函数;当 x ? (1, e) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x ) 是增函数.????11 分
2

??( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

? ( x) 是

1 为满足题意,只需 ? ( x ) 在( , e )内有两个不相等的零点, e 1 ? ?? ( e ) ? 0, ? e2 ? e ? 故 ?? ( x) min ? ? ?1? ? 0, 解得 1 ? a ? ??14 分. 2e ? 1 ?? (e) ? 0, ? ? ? 2 2 ? 17.解:(1) 根据图得 l (? ) ? BP ? AP ? ? ,? ? (0, ) ???? 6 分 sin ? cos? 2 2(sin3 ? ? cos3 ? ) (2) 铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下: l?(? ) ? ???? 9 分 sin 2 ? cos2 ?

[来源:学科网 ZXXK]

令 l ?(? ) ? 0 得, ? ? 所以当 ? ?

?

?
4

??

?
4

.所以 l (? ) 在 (0, ) 上单调递减;在 ( , ) 上单调递增, ? 12 分 4 4 4 2 时, l (? ) l (? ) 有最小值 4 2 .

?

? ?

因为 4 2 ? 5 ,所以铁棒能水平通过该直角走廊. ???? 14 分 1 x ?1 18.解: (1)由题设知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ? ,∴ g ?( x) ? 2 , 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 , x x 当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间(0,1)上单调减; 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间(1,+∞)上单调递增, ???? 4 分 因此, x ? 1 是 g ( x) 的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以最小值为 g (1) ? 1. ????5 分

1 1 1 ( x ? 1)2 (2) g ( ) ? ? ln x ? x 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2ln x ? x ? ,则 h?( x) ? ? , x x x x2 当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h?( x) ? 0 ,因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, ????7 分 1 1 当 x ? 1 时, h(1) ? 0 即 g ( x) ? g ( ) ;当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 即 g ( x) ? g ( ) ; x x 1 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 即 g ( x) ? g ( ). ????11 分 x 1 1 (3) (1) g ( x) 的最小值为 1, 由 知 所以, (a) ? g ( x) ? , 对任意 x ? 0 恒成立 ? g (a) ? 1 ? , g a a 即 ln a ? 1, 从而得 0 ? a ? e . ??????????16 分

?? x3 ? x 2 , x ? 1, 19.解: (1)因为 f ( x) ? ? ①当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? x(3x ? 2) , ?a ln x, x ? 1. 2 2 解 f ?( x) ? 0 得到 0 ? x ? ;解 f ?( x) ? 0 得到 ?1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 . 3 3 2 2 所以 f ( x) 在 ( ?1, 0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增, 3 3 2 2 4 从而 f ( x) 在 x ? 处取得极大 值 f ( ) ? . 又 f (?1) ? 2, f (1) ? 0 , 3 3 27 所以 f ( x) 在 [ ?1,1) 上的最大值为 2. ??????????4 分

②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e ] 上单调递 增,所以 f ( x) 在 [1, e ] 上的最大值为 a .所以当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 a ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在 [ ?1, e] 上的最大值为 2. ??? ???????8 分 (2)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P , Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 则 P , Q 只能在 y 轴的两侧,不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1.因为 ?POQ ??? ???? ? 是 以 O 为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形 , 所 以 OP ? OQ ? 0 , 即 :

?t 2 ? f (t ) ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 .

(1)是否存在点 P , Q 等价于方程(1)是否有解.若

0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入方程(1)得: t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无实数解.若 t ? 1, 1 则 f (t ) ? a ln t , 代 入 方 程 ( 1 ) 得 到 : ? (t ? 1)ln t , 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) , 则 a 1 在 h?( x) ? ln x ? ? 0 [1, ?? ) 上恒成立. x 1 所以 h ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增, 从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,所以当 a ? 0 时, 方程 ? (t ? 1)ln t 有 a
解,即方程(1)有解. ??????????14 分 所以,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P , Q ,使得 ?POQ 是 以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边 中点在 y 轴上.?????16 分

江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 5
一、填空题:

三角函数(1)
____.

3 ? 4 ,cos =- ,那么 ? 的终边在____ _ 5 2 5 2 2.设 cos ? =t,则 tan(π- ? )等于____ _ ____.
1.已知 sin

?

=

3. ? 是第二象限角,P(x, 5 )为其终边上一点且 cos ? = ____. 4.化简 1 ? sin 8 =____ _ ____. 5.角 ? 的终边过点 P(-8m,-6cos60° )且 cos ? =- 6.已知 sin ? +cos ? =

2 x,则 x 的值为____ _ 4

4 ,则 m 的值是____ _ 5

____.

1 ,那么角 ? 是第____ _ ____象限的角. 5 7.已知 tan110° =a,则 tan50° =____ _ ____. 8. 已知扇形 AOB 的周长是 6cm, 该扇形中心角是 1 弧度, 则该扇形面积为____ _ ____. ? ?? 4 ? 9. 2012 年高考(江苏) 设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____ ( ) 6? 5 12 ?

sin 10. 已知: ? ? sin ? ? ?
11.

1 1 ( ) ,cos ? ? cos ? ? , cs ? ? ? 的值为____ _ 则o 3 2
____.

____.

1 1 ? 的值为____ _ ? sin 20 tan 40?
2

12.函数 f ( x) ? 2a sin x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b, x ? [0,

?
2

] ,值域是 ?? 5,1? ,

则a=

, b =____ _

____.

13.已知函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 点 P 最近的一个最高点是 Q (

?
2

) 的图象经过点 P (
____.

?
12

,0) ,图象上与

?
3

,5) ,则函数的解析式为____ _

14 . 已 知 : cos ? ? cos ? ?

4 2 ? , tan(? ? ? ) ? ? , 则 sin? ? sin 的 值 为 ____ _ 3 4

____. 二、解答题: 15 求 sin21° +sin22°+…+sin290° 的值. 1? a 3a ? 1 16.已知 sinθ= ,cosθ= ,若 θ 是第二象限角,求实数 a 的值. 1? a 1? a 17.
(2012 年高考(江西文) 若 )

sin ? ? cos ? 1 ? , sin ? ? cos ? 2

求(1)tan2α (2)sin2α+sin2α+cos2α 的值 18.已知 sinα+cosβ=1,求 y=sin2α+cosβ 的取值范围. 19. 已知 f ( x) ? sin(? x ? ? )( ? ? 0 ,0 ≤ ? ≤ ? )是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 对称,且在区间 [0, 20.

?
2

3? ,0 ) 4

] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值.

π ? ? ?? 是否存在 α、β, ? ? ? ? , ? , ? ? ? 0, ? ? ,使等式 sin(3π - α)= 2 cos( -β) , 2 ? 2 2?
3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α、β 的值;若不存在,请说明 理由. 版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

作业 5 参考答案
一、填空题: 1.答案: ? 终边在第四象限.
2

2 7 cos ? =cos -sin = >0,∴? 终边在第四象限. 2 2 25

解析:sin ? =2sin

?

cos

?
2

=-

?

2

?

24 <0, 25

2.答案:±

1? t2 t

解析:tan(π- ? )=-tan ? =-

sin ? . cos ?

∵ ? =t,又∵ ? =± 1 ? t 2 ,∴ cos sin tan(π- ? )=± 3.答案:- 3 解析:∵ ? = cos

1? t2 . t

2 x x = = x, 4 r x2 ? 5

∴ x=0(舍去)或 x= 3 (舍去)或 x=- 3 .
2 4.答案:sin4-cos4 解析: 1 ? sin 8 = (sin 4 ? cos 4) =|sin4-cos4|=sin4-cos4. ?8 m 1 4 1 1 5.答案: 解析:P(-8m,-3) ,cosα= =- .∴ m= 或 m=- (舍 2 5 2 2 64m 2 ? 9

去) . 6.答案:第二或第四 解析:两边平方得 1+2sinαcosα= ∴? 是第二或第四象限角. 7.答案:
a? 3 1 ? 3a

1 12 ,∴ ? cos ? =- <0. sin 25 25

解析:tan50° =tan(110° -60° )=

tan110? - tan 60? a ? 3 = . 1 ? tan110? tan 60? 1 ? 3a

?2r ? l ? 6, 1 ? ? l ? r ? 2, S ? lr ? 2 . 8.答案:2 解析: ? l 2 ? r ? 1. ? 1 ? 1 ? 9. 答案: y ? ?3sin( x ? ) 解析: ( x, y ) 为 y ? 3sin( x ? ) 关于直线 x ? 2? 对 设 2 6 2 6
称的 函数的图像上的任意一点,则该点关于直线 x ? 2? 的对称点应为 (4? ? x, y ) ,故与 1 ? y ? 3sin( x ? ) 关 于 直 线 x ? 2? 对 称 的 函 数 解 析 式 2 6 1 ? 1 ? y ? 3sin[ (4? ? x) ? ] ? ?3sin( x ? ) . 2 6 2 6 10.答案:



59 72

解析:∵sin ? ? sin ? ? ?

1 3

① ,

cos ? ? cos ? ?

1 2



13 59 . ∴cos(? ? ? ) ? . . 36 72 2 cos20? cos40? 2 cos(60? ? 40? ) ? cos40? ? ? 11.答案: 3 解析:原式= sin 40? sin 40? sin 40? cos40? ? 3 sin 40? ? cos40? ? ? 3. sin 40? ?a ? ?2, ? a ? 2, ? 12. 答案: 或? 解析:f ( x) ? ?2a cos( 2 x ? ) ? 2a ? b , a ? 0 时, 当 ? 3 ?b ? ?5. ? b ? 1.
2 2 ① +② 得, 2 ? 2 cos(? ? ? ) ?

?a ? ?2, ? a ? 2, ;当 a ? 0 时, ? . ?b ? ?5. ? b ? 1. ? ? ? 13.答案: y ? 5sin(2 x ? ) 解析:依题意得: A ? 5 ,周期 T ? 4( ? ) ? ? ,故 6 3 12 2? ?? ? 2. ? ? ? ? 所以 y ? 5 sin(2 x ? ? ) ,又图象过点 P ( ,0) ,所以 5 sin( ? ? ) ? 0 , ? ? ? , 12 6 6
得?

所以 y ? 5 sin( 2 x ?

). 6 2 2 ? ?? ? ?? cos 14 . 答 案 : ? 或 解 析 : 设 x ? sin ? ? sin ? ? 2sin , 2 2 8 2 2 ? cos ? ? cos ? 4 ? ?? 4 ? ?? ? ?? ? 2 2 x ,代入 tan(? ? ? ) ? ? , ? 2cos cos ,得到 tan 2 3 2 2 2 2 得到: x ? ? ,或 x ? . 2 8
二、解答题: 15.解:设 S=sin20° 21° 22°+…+sin290° +sin +sin , S=sin290° 289° 288°+…+sin20° +sin +sin , ∴ 2S=(sin20° +sin290° )+…+(sin290° +sin20° )=1×91.∴ S=45.5. ? 1? a ?0 ? 1 ? a ? 1, ? 1 1 3a ? 1 ? 16.解:依题意得 ?? 1 ? 解得 a= 或 a=1(舍去).故实数 a= . ? 0, 9 9 1? a ? ? 1? a 2 3a ? 1 2 ( ( ? 1 ? a ) ? 1 ? a ) ? 1. ? π 1 ? tan ? 1 17. (1)解:tan( + ? )= =2,∴ ? = . tan 4 ? ? tan ? 3 (2)解法一:sin2 ? +sin2 ? +cos2 ? =sin2 ? +sin2 ? +cos2 ? -sin2 ? =2sin ? cos ? +cos2 ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 sin? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? ? 3 = = = = . ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? ? 2 解法二:sin2 ? +sin2 ? +cos2 ? =sin2 ? +sin2 ? +cos2 ? -sin2 ? =2sin ? cos ? +cos2 ? . ① 1 ∵ tanα= ,∴ 为第一象限或第三象限角. α 3 1 3 3 当 α 为第一象限角时,sinα= ,cosα= ,代入① 2sinαcosα+cos2α= ; 得 2 10 10 1 3 3 当 α 为第三象限角时,sinα=- ,cosα=- ,代入① 2sinαcosα+cos2α= . 得 2 10 10 3 综上所述 sin2α+sin2α+cos2α= . 2 1 3 18. 解:y=sin2α-sinα+1=(sinα- )2+ . 2 4 ?? 1 ? 1 ? sin? ? ?, ∵ sinα+cosβ=1,∴ cosβ=1-sinα. ∴? ?? ? ? sin? ? ??

?

3 ,1]. 4 19.解:由 f (x) 是偶函数得, f ( x) ? f (? x) ,故 sin(?x ? ? ) ? sin(??x ? ? ) ,
∴ sinα∈ [0,1]. ∴ [ y∈

即 sin ?x cos? ? cos?x sin ? ? ? sin ?x cos? ? cos?x sin ? ,所以 2sin ? x cos ? ? 0 , 又 ? ? 0 , x ?R,所以, cos? ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 由 f (x) 的 图 象 关 于 点 M (

?
2



3? 3? ? x) ? ? f ( ? x) , 4 4 3? 3? 3? 3?? ? ? ) ? 0, 取 x ? 0 ,得 f ( ) ? ? f ( ) ,所以 f ( ) ? 0 ,即 sin( 4 4 4 4 2 3?? 3?? ? ? 0 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? k? , k ? 0,1,2,…. 所以 cos 4 4 2 2 2x ? ? ? ) 在区间 [0, ] 上是增函数; 当 k ? 0 时, ? ? , f ( x ) ? sin( 3 2 3 2 f(
当 k ? 1 时, ? ? 2 , f ( x ) ? sin( 2 x ? 当 k ≥ 2 时, ? ≥ 综上得, ? ?

3? ,0 ) 对 称 , 得 对 任 意 实 数 x ? R , 都 有 4

?

10 ? ? , f ( x ) ? sin(?x ? ) 在区间 [0, ] 上不是单调函数. 2 3 2

) 在区间 [0, ] 上是减函数; 2 2

?

2 ,或 ? ? 2 . 3
① ②

?sin? ? 2 sin ?, ? 20.解:由条件得 ? ? 3 cos ? ? 2 cos ? ? ? 1 2 2 ① +② 得 sin2α+3cos2α=2,∴ 2α= . cos 2 π π π π ∵ (- , ) α= 或 α=- . α∈ ,∴ 2 2 4 4 3 π 将 α= 代入② cosβ= 得 .又 β∈ (0,π) , 2 4 π ∴ β= ,代入① 可知,符合. 6 π π 将 α=- 代入② β= ,代入① 得 可知,不符合. 4 6 π π 综上可知 α= ,β= . 4 6

江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 6

三角函数(2)

一、填空题: 1 ? 1.函数 y ? sin(3 x ? ) 的定义域是__________,值域是________,周期是________, 5 3 振幅是________,初相是 . 2.要得到函数 y ? 3sin(2 x ? 个

?
4

) 的图像,只需将函数 y ? 3sin 2 x 的图像向

平移

单位. 3.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos x 的定义域是 . 4.函数 y ? sin x ? cos x 的图象可以看成是由函数 y ? sin x ? cos x 的图象向右平移得到的, 则平移的最小长度为 . 5.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 部分图象如下图所示,则 A= 6.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ?

?=

? )的 2


?=

?

位后与原图像重合,则 ? 的最小值为 . ? 7.函数 y ? log2 sin(2 x ? ) 的单调递减区间是 6 8.函数 y ? sin(

4 ) ? 2 的图像向右平移 ? 个单 3 3


1 . ? x), x ?[ ?2? , 2? ] 的单调递增区间为 3 2 ? 9.把函数 y = cos(x+ )的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 3
的最小 值是 . 10.函数 y ? 2 cos 2 x ? sin 2 x 11. (2012 年高考(重庆文) )

?

的最小值是



sin 47? ? sin17? cos 30? cos17? =
. .

12.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 13.函数 y ? sin x ? cos x 的单调递增区间是
4 4

14.已知函数 f ( x) ? 3 sin( ?2 x ? ①该函数图象关于直线 x ? ?

?
4

) 的图象,给出以下四个论断:
②该函数图象的一个对称中心是 ( 7? ,0) ;
8

5? 对称; 8

? ? 3? ? ③函数 f (x) 在区间 ? , ? 上是减函数; ④ f (x) 可由 y ? ?3 sin 2 x 向左平移 ? 个单位得 8 ?8 8 ? 到.以上四个论断中正确的个数为 . 二、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x , ( x ? R ) (13 分) (1)求最小正周期; (2)单调增区间;

(3) x ? ? 0,

? ? ? 时,求函数的值域. ? 2? ?

16. (2012 年高考(湖南文) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? ) 分图像如图 5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

?
2

的部

(Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

17 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1.

(1)写出函数 f ? x ? 的单调递增区间;

? ? ? ? 求函数 f ?x ? 的最值及对应的 的值; x ?4 , 2? ? ? ? ? ? ? 恒成立,求实数 的取值范围. (3)若不等式 f ?x ? ? m ? 1 在 x ? m ?4 , 2? ? ?
(2)若 x ? 18

2

2012








2

















f ( x) ? sin ?x ? 2 3sin ?x cos ?x ? cos ?x ? ?( x ? R) 的图像关于直线 x ? ? 对称, 1 其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) 2 (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; ? (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( , 0) ,求函数 f ( x ) 的值域. 4
19.已知 f ( x) ? cos 2 x ? sin x(sin x ? 2 3 cos x), x ? R. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

8 ? ? , 且x ? [ , ] ,求 sin 2x 的值. 5 4 2 3 1 2 , ]. 20.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin ? ?1, x ? [? 2 2
(2)若 f ( x) ? (1)当 ? ?

?

6

时,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ? [0, 2? ) ,求 ? 的取值范围. 2 2 江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 7 正弦定理、余弦定理及其应用 2 2 2 1.已知 ?ABC三边长分别为 , b, c且a ? b ? c ? ab ,则 ?C ? a 2. 在△ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ?B ? .
(2)若 f ( x ) 在 x ? [?

a?b?c = . sin A ? sin B ? sin C 4. 在 ?ABC 中,已知 c ? 2 a cos B ,则 ?ABC 为 三角形.
3. 在 ?ABC 中,若 A ? 60? , a ? 3 ,则

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 c ? 2 3, b ? 6, C ? 30? ,则此三角形有 几解? 6. ?ABC 的 三 内 角 A , B , C 所 对 边 长 分 别 是 a, b, c , 设 向 量

m ? (a ? b, sin C), n ? ( 3a ? c, sin B ? sin A) ,若 m // n ,则角 B 的大小为
7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点 A(?4 , 0) 和 C (4 , 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 sin A ? sin C ? ? 1 上,则 = 25 9 sin B



8.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 tan B ? 大小是

3ac ,则角 B 的 a ? c 2 ? b2
2

9. 在 ?ABC 中,设 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,已知 a ? b ? b ? c ? c ? a ,那么 ?ABC 的形状 为 . 10. 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .则边 AB 的长为 11. 在 ? ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 3 ,面积为 12. ?ABC 中, A ?

??? ?

. ??? ?

??? ?

?
3

3 3 ,那么 BC 的长度为 2



, BC ? 3, 若. ?ABC 的周长可表示为 C?ABC ? 6sin( B ? k ) ? 3 ,其中

D C

? ? ?? k ? ? ? , ? 则实数 k ? ? 2 2?

13.2012 年高考(四川文) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 )

BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? (sin x ? cos x) sin 2 x 14 2012 年高考 ( (北京理)已知函数 f ( x) ? ) . sin x E 则 f ( x ) 的单调递增区间是
cosB 15.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且满足cosC =- (1)求角 B 的度数;(2)若 b= 19,a+c=5,求 a 和 c 的值.

A

B

b . 2a+c
2

16 在 △ABC 中 , a,b,c 依 次 是 角 A , B , C 所 对 的 边 , 且 4sinB· ( sin

π 4

+ 2 )+cos2B=1+ 3 . (1)求角 B 的度数; (2)若 B 为锐角,a=4,sinC=2sinB,求边 c 的长.
17 在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围. 18 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航 行.当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A1 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B1 处,此时两船 相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
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B

1

1 3 , tan B ? . 4 5 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求
19 在 △ ABC 中, tan A ? 最小边的边长.

20(2012 年高考(福建文) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 )

一个常数. (1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2 2 2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? (3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12? (4) sin 2 (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48? (5) sin 2 (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 作业 7 答案 1. 120? ; 2.

3. 2; 4. 等腰 解析: 法 1. 条件即 sin C ? 2sin A cos B 又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ;

π ; 3

?sin A cos B ? cos A sin B ? sin( A ? B) ? 0 从而 A=B

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? a 2 ? b2 , a ? b 法 2. c ? 2a? 2ac c b c 6 2 3 3 5. 即 sin B ? ? ? ? 2 sin B sin C sin B sin 30? 又 b ? c ? B ? C ,C 为锐角,所以两解
6.由 m // n

?(a ? b) ( s i n ? s iA ? ) B n

s i n a? 3 ?, ) C ( c
2 2 2

0

由正弦定理有 (a ? b)(b ? a) ? c( 3a ? c) 即 a ? c ? b ? ? 3ac ,

3 ? B ? 150? 2 BC ? BA 7.由正弦定理,原式= ,又由椭圆定义知: BC ? BA ? 10, AC 2 2 2 8. 解析: 由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B .则 3 3ac 3ac 3 ,即 sin B ? . tan B ? 2 2 2 ? ? 2 a ?c ?b 2ac cos B 2cos B ? 2? 所以 B 的大小是 或 . 3 3
再由余弦定理得 cos B ? ?

AC ? 8 ? 原式=

5 4

[来源:Ks5u.com]

cosB sinB 15. 解析:(1)由题设,可得 cosC =- ,则-sinBcosC=2cosBsinA+ 2sinA+sinC cosBsinC. sinBcosC+cosBsinC+2cosBsinA=0,sin(B+C)+2cosB sinA=0,sinA+2cosB sinA =0. 1 因为 sinA≠0 ,所以 cosB=- ,所以 B=120o. 2 2 2 2 (2)∵b =a +c -2accosB,∴19=(a+c)2-2ac-2accos120o,∴ac=6.

?a=2, ?a=3, 又 a+c=5,可解得? 或? ?c=3 ?c=2. 江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 8 平面向量 1.如果实数错误!未找到引用源。和非零向量错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 满足错误! 未找到引用源。 则向量错误! , 未找到引用源。 错误! 和 未找到引用源。 . (填 “共线”或“不共线”. ) 2.如图,平面内有三个向量错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。、错误!未找到 引用源。,其中错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为 120°,错误!未找 到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为 30°,且|错误!未找到引用 源。|=|错误!未找到引用源。|=1,|错误!未找到引用源。| =错误!未 找到引用源。,若错误!未找到引用源。 =λ 错误!未找到引用源。 +μ 错误!未找到引用源。(λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 . 3.设平面向量错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 4.已知向量错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 . 5.已知平面向量错误!未找到引用源。=(1,-3) ,错误!未找到引用源。=(4,-2) , 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。垂直,则错误!未找到引用源。是 6.设向量错误!未找到引用源。,若向量错误!未找到引用源。与向量错误!未找到引用 源。共线,则错误!未找到引用源。 . 7.关于平面向量错误!未找到引用源。 .有下列三个命题: ①若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 .②若错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 . ③非零向量错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。 .其中 真命题的序号为 . (写出所有真命题的序号) 8.已知向量错误! 未找到引用源。 与错误! 未找到引用源。 的夹角为错误! 未找到引用源。 , 且错误!未找到引用源。 ,那么错误!未找到引用源。的值为 . 9. 设错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为钝 角,则 x 的取值范围是 . 10.已知点 O 在△ABC 内部, 错误! 且有 未找到引用源。 则△OAB 与△OBC 的面积之比为 . , 11 设错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。其中错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。的面积 错误!未找到引用源。的最小值是___________. 12. 已知 O 为坐标原点, 错误!未找到引用源。集合错误!未找到引用源。错误!未找到引
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用源。 且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 . 13 ( 2012 天 津 理 ) 已 知 △ABC 为 等 边 三 角 形 , AB =2 , 设 点 P,Q 满 足

??? ??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? ??? ? 3 A P ? A ,B =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = = AQ 2

14(2012 上海文)在知形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是边 BC、CD

上 的点,且满足

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . ? | BC | | CD |

→ → → 15.已知向量 a = (cos x,sin x), b = (-cos x,cos x), c = (-1,0)

y C Q

? a → → (Ⅰ)若 x = 6 ,求向量 a 、 c 的夹角; C ? 9? → → A O B (Ⅱ)当 x∈[2 , 8 ]时,求函数 f (x) = 2 a ? b + 1 的 a 最大值。 → → A B 16 已知向量AB =(1+tanx,1-tanx) ,AC =(sin(x π π P - 4 ),sin(x+ 4 )). π π → → → 第7题 (1)求证:AB ⊥ AC ; (2)若 x∈ [- , ],求|BC 4 4 |的取值范围. 17 在错误!未找到引用源。中,角错误!未找到引用源。的对边分别为错误!未找到引用 源。. (1)求错误!未找到引用源。; (2)若错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。. 18 已知向量错误!未找到引用源。=(sinB,1-cosB),且与向量错误!未找到引用源。 (2,0)所成角为错误!未找到引用源。 ,其中 A, B, C 是⊿ABC 的内角. (1) 求角B的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围. 19 设平面向量错误!未找到引用源。,若存在实数错误!未找到引用源。和角错误!未找 到引用源。,其中 错误!未找到引用源。,使向量错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。. (1).求错误!未找到引用源。的关系式;(2).若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引 用源。的最小值,并求出此时的错误!未找到引用源。值. 20.如图在 Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以 A 为中点, 问错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角错误!未找到引用源。取何值时, 错 误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的值最大?并求出这个最大值。

x

作业 8 答案
1.答案:共线 2.答案:过 C 作错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的平行线与它们的延长线相 交,可得平行四边形,由角 BOC=90°角 AOC=30°,错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。得平行四边形的边长为 2 和 4,错误!未找到引用源。2+4=6 评析:本题考查平面向量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来 后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。 3.答案:∵错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 4.答案:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。7 5.答案:由于错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。. 6.答案:错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。则向量错误!未找到引用源。与 向量错误!未找到引用源。共线错误!未找到引用源。 a?c ? 7.解:(I) 当 x = 6 时,cos <a,c> = | a |?| c | -cos x = …….4 2 cos x + sin 2 x? (-1) 2 + 0 2
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5? ? = -cos x = -cos 6 = cos 6 5? ∴ <a,c> = 6 …………….7 2 (II) f (x) = 2a?b + 1 = 2 (-cos x + sin x cos x) + 1 = 2 sin x cos x-(2cos 2 x-1) ∵ 0≤<a,c>≤?, = sin 2x-cos 2x = 2 sin (2x-4 )

?

? 9? ∵ x∈[2 , 8 ], 3? ? ∴ 2x-4 ∈[ 4 ,2?],

…..10

2 ? 故 sin (2x-4 )∈[-1, 2 ] ? 3? ? ∴ 当 2x- = ,即 x = 时,f (x)max = 1 ……14 4 4 2

江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 9
一、填空题:
1.在 ?ABC 中, B ? 60
?

三角与向量

, AC ? 3, ,则 ?ABC 周长的最大值为
2



2.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a, b, c ,已知 a

? c 2 ? 2b, ,且

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b ?



3.已知向量 a ? ( x ? 1,3), b ? (3, y) ,若 a ⊥ b ,则 xy 的最大值为 4.已知 a ? 2 , b ? 2 ,| a + b |= 2 3 ,则 a 与 b 的夹角为 5 .给出下列命题:

. .

①已知向量 a , b , c 均为单位向量,若 a ? b ? c ? 0,则 a ? b ? ②△ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0; ③四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是 AB ? DC ;

1 ; 2

④已知 P 为△ABC 的外心,若 PA ? PB ? PC ? 0,则△ABC 为正三角形. 其中正确的命题为 . 6.如下图,在△ ABC中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的 高,则 AD? AC 的值等 于 .
7.在△ ABC中, AB ? AC ? 1 , AB ? BC ? ?3 则 AB 边的长度





B 8. 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A?1,0 ? , ?3,4 ? , 已知点 C 在 ?AOB的平分线上, OC ? 5 , 且

则 C 点坐标是



3? ? 9.设锐角 △ABC 的三内角 A , B , C ,向量 2 x ? y ? 7 ? 0 , n ? ? sin A, ? ,且 m ? n 则 2? ? 角 A 的大小为 .

10.在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,若 ???? ??? ? ??? ? ? . cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为 11. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内的一点,且 3PA ? 5PB ? 2PC ? 0 ,设 ?ABC的面积为 S , 则 . ?PAC的面积为 12.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? c ? 20 ,三角形的面积为

10 3 , ?A ? 60? ,则 a ?
??? ??? ? ?
x



13. (2012 江苏)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, BC 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是___.
1 ?1? 14.设函数 f ?x ? ? x? ? ? , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ?x ? 图象上横坐 2? x ?1 ?

??? ??? ? ?

标为 n(n∈N*) 的点,向量 an ?

? Ak ?1Ak ,向量 i ? (1,0) ,设 ?
k ?1

n

?

n

? 为向量 a n 与向量 i 的夹角,满足

? tan?k <
k ?1

n

5 的最大整数 n 是 3



二、解答题: . 15.

设 向 量 m ? ( c o?s

? 3 , ? i n n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) , ? ? (? ? ,?? ) , 若 s , ) 2 ?? ? ? 7 ? ) 的值. m ? n ? 1,求: (1) sin(? ? ) 的值; (2) cos( ? ? 4 12

??

16. 已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,其中 A 、 B 、 C 为

?ABC 的内角.
(Ⅰ)求角 C 的大小;(Ⅱ)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 , 求 AB 的长. 17.

给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120o . (1)求| OA + OB |; 求 x ? y 的最大值? 18. 如图,在半径为 3 、圆心角为 60? 的扇形的弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y. (1)按下列要求写出函数的关系式: ① 设 PN ? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ② 设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. 19. 如 图 , 在 △OAB 中 , 已 知 P 为 线 段 AB 上 的 一 点 , P

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

(2) 如图所示, C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R , 点 若

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A

Q

??? ? ??? ? ??? ? OP ? x ? OA ? y ? OB. ??? ??? ? ? (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (2)若 BP ? 3PA ,| OA |? 4 ,| OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角 ??? ??? ? ? OP ? AB 的 为 60° 时,求

B

N

M

O

值. 20. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值. 3 ①对于一切 x ? ?0,? ? ,不等式 f ( x) ? 2 sin x ? π 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? 4 ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3

?

?

? ?

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作业 9 参考答案
一、填空题: 1、 【答案】 2 3 【解析】周长= a ? b ? c ? 3 ? a ? c ,

2 a ? c ? 2 R sin A ? 2 R sin C ? 2 R(sin A ? sin( ? ? A)) 3 ? b 2 ? 2 R sin( A ? ), 其中2R= ? 2, A ? (0, ? ) 6 sinB 3

2、【答案】 及余弦定理有: a ?

【解析】一:在
2 2 2 2 2


2

则由正弦定理 .

a ?b ?c b ?c ?a ?3 ? c 化简并整理得: 2ab 2bc
.解得 .又 ① , ,即 . , .

又由已知 【解析】二:由余弦定理得: 所以 又

由正弦定理得 由① ,②解得 3、 【答案】
1 4

,故 .



? ? ? ? 【解析】因为 a ⊥b ,所以 a ? b ? 0 ,则有 (x ?1) ?3 ? 3? y ? 0 ,即 x ? y ? 1 .
2

又因为 xy ? ? x ? y ? ? ?
? 2 ?

?

1 1 ,当且仅当 x ? y 时,“=”成立,即当 x ? y ? 2 4

时, xy 的最大值为 .
? ? ?
? ?

1 4

4、 【答案】
?

? 3

【解析】因为 a ? 2 , b ? 2 所以由 (a ? b )2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 12 可得 a ? b ? 2 ,
?
?

?

?

?

?

?

? 设 a 与 b 的夹角为 ? ,又因为| a |=2,| b |=2 则 cos ? ? ? ? ? , 故? ?

? ? a ?b a b

1 2

?
3

.

5、充分利用向量的知识逐一判断. 【答案】②③④ 【解析】命题①错误, a ?b ? ? 1 ;命题②③④都是正确的.
2

6、 【答案】

9 【解析】因为 AB ? AC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高, AD ? 3 2 4
2

AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD

?

9 4

.
2

7、 答案】 【解析】 【 2 因为 AB ? AC ? AB ? ? AB ? BC ? ? AB ? ?
? ?
源:Z&xx&k.Com]

?3 ?1

,所以

AB ? 2 ,即 AB

边的长度为 2.
?

[来

8、 【答案】 2,1) 【解析】构造向量 OA? ? ?5,0? ,则 OA? ? OB ,∴OC ? t ? OA? ? OB ? ? ?8t ,4t ? , ( ? ?
?

因为

1 OC ? 5 ,解得 t ? , ?OC ? ?2,1? . 4

9、 【答案】 ?

3

【解析】因为 m ? n ,则 ?sin A ?

3 cos A sin A ?

?

3 3 ? 0 ,即 sin 2 A ? 3 sin A cos A ? 2 2

,

所 1 ? cos 2 A ?
2

3 3 sin 2 A ? 2 2

,即
6 ?

3 1 ?? ? sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin? 2 A ? ? ? 1 , 2 2 6? ?

又因为 A 是锐角,则 2 A ? ?

?
2

,所以 A ? ? .
3

10、 【答案】 9.

【解析】由题意知





,∴







不共线,∴

,∴

11、 【答案】 S

2

【解析】如图,由 3PA ? 5PB ? 2 PC ? 0 ,则 3? PA ? PB ? ? ?2? PB ? PC ? ,则 ? ? ? ?
? ? ? ?
? PA ? PB ? ? PB ? PC ? ? ? ? ? ? , PN ? ? ? .设 AB、BC 的中点为 M、N , PM ? ? 2 2

? PA ? PB ? ? PB ? PC ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 3? ? 2 2

,即

3PM ? ?2 PN 则点 P 在中位线 MN 上,则 ?PAC 的面积是 ?ABC 的面积的一半. 12、 【答案】7 【解析】

1 S? ABC ? bc sin A ? 10 3,? bc ? 40 2 b2 ? c2 ? a b 2 ? c 2 ? [20 ? (b ? c )]2 又 cos A ? ? 2bc 2bc ?400 ? 40(b ? c) ? 80 1 ? ? ,? b ? c ? 13 80 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A) 1 ? 132 ? 2 ? 40(1 ? ) ? 49,? a ? 7 2
14、 【答案】3 【解析】据 题意可得
n ?? ????? ????? ? ??????? ????? ? ? 1 ? ?1? an ? A0 A1 ? A1 A2 ? ? ? An An ?1 ? A0 An ? ? n, n ? ? ? ?, ? ? 2 ? n ?1 ? ? ?

2

1 ?1? tan ? n ? ? ? ? 故 ? 2 ? n ? n ? 1? ,因此
2 n ? 1 1 ?1? ?1? ?1? ? 1 ? tan ?k ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ?1 ? ? 1? 1? ?1 ? n ? 1 1 ? 2 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? n ? , 1 n n ?1 ? ? 1 ? n ? 1 ? ? 2 2 3 1? 2 n ?1 2 n ?1 2 5 1 1 据题意令 2 ? n ? < ,易验证知满足不等式的最大正整数值为 3. 2 n ?1 3 n

n

二、解答题: 15 、

?? ? m ? n ? cos? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? ) ? 2 2(sin ? ? cos? ) ?? ? ? ? 1 ? 4 sin(? ? ) 又 m ? n ? 1 sin(? ? ) ? 4 4 4 3 ? 5 3 (2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ? ? ( ? ? ,? ? ) 2 4 4 4 ? 1 ? 15 结合 sin(? ? ) ? ,可得 cos(? ? ) ? ? 4 4 4 4 7 1 1 15 1 1 3 3 ? 15 则 cos(? ? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? (? )? ? ? ?? 12 4 3 4 2 4 2 8
16、解:(Ⅰ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 分) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,







1











………………………(2

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

………………………(4 分)

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

………………………(7 分)

, (Ⅱ)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列得2 sin C ? sin A ? sin B ,
由正弦定理得 2c ? a ? b. ………………………(9 分)

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2

……………………(12 分)
2

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,?c ? 6.
17、解: (1)

…………………(14 分)

??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? 12 ? 2 ?1?1? (? ) ? 1 ? 1 2 ? 1 3? (2)如图所示,建立直角坐标系,则 A(1,0) ? ? , ,B ? 2 2 ? ,C ? cos? ,sin ? ? . ? ? ?
??? ??? ? ? | OA + OB |=

?OA ? OB ?
??? ?

??? ??? ? ?

2

由 OC ? xOA ? yOB, 得 cos ? ? x ? 即 x ? cos ? ?

??? ?

??? ?

y 3 , sin ? ? y. 2 2

3 2 3 ?? ? sin ? , y ? sin ? .则 x ? y ? 3 sin ? ? cos? = 2sin ? ? ? ? 3 3 6? ? ? ? ? ? 5? ? ? 2 ? 又 ? ? ?0, ? ? ,则 ? ? ? ? , ? ,故当 ? ? 3 时, x ? y 的最大值是 2. 6 ?6 6 ? ? 3 ?
18、解: (1)①因为 ON ? 3 ? x 2 , OM ? 所以 y ? x( 3 ? x ?
2

3 3 x , 所以 MN ? 3 ? x 2 ? x 3 3

3 3 x), x ? (0, ) . …………… 4 分 3 2 3 ②因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos? , OM ? ? 3 sin ? ? sin ? , 3 所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? …………… 6 分
所以 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) , 即 y ? 3sin ? cos? ? 3sin 2 ? , (? ? (0, (2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin
2

?
3

)) … …………… 8 分

? 3 , …… 12 分 ? ? 3 sin(2? ? ) ?
6 2

?? ? (0, ) 3
所以 ymax ? 19、解:

?

? 2? ?

?
6

? ( , ) …… ……………… 13 分 6 6

? 5?

3 .…… ……………………… 14 分 2
??? ?

(1)∵BP ? PA ,

??? ?

∴BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? 1 1 OP ? OA ? OB x? y? 2, 2 2 2 ∴ ,即 ??? ? ??? ? (2)∵BP ? 3PA , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA ∴ ??? 3 ??? 1 ??? ? ? ? OP ? OA ? OB 4 4 ∴

3 1 y? 4, 4 9分 ∴ ??? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? 3 OP ? AB ? ( OA ? OB ) ? (OB ? OA) 4 4 ??? ??? 3 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 2 3 2 1 1 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2 x?
20、 【解】 (1)因为 f (0) ? b ? 0 ,

f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? (a ? b) ? b ? a ?sin(a ? b) ? 1?≤0 ,
所以函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. (2) f ?( x) ? a cos x ? 1 . 因为函数在 x ? ? 处有极值,所以 f ? π ? 0 ,即 a cos π ? 1 ? 0 ,所以 a=2. 3 3 3 于是 f ( x) ? 2sin x ? x ? b . ① 2 sin x ? π ? sin x ? cos x , 4 于是本小题等价于 b ? x ? cos x ? sin x 对一切 x ? ?0,π ? 恒成立. ? 2? ? ?

??

? ?

记 g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则 g' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin x ? π . 4 因为 x ? ?0,π ? ,所以 π ≤x ? π ≤ 3π ,从而 2 ≤sin x ? π ≤1 , ? 2? 4 4 4 ? ? 2 4 π ≤ 2 ,所以 g' ( x)≤0 ,即 g(x)在 ?0,π ? 上是减函数. 所以 1≤ 2 sin x ? ? 2? ? ? 4 所以 ? g ( x)?max ? g (0) ? 1 ,于是 b>1,故 b 的取值范围是 (1,? ?).

?

?

?

?

?

?

② f ?( x) ? 2cos x ? 1 ? 2 cos x ? 1 , 2 1 ,即 ? π ? 2kπ≤x≤ π ? 2kπ, ? Z. k 由 f ?( x)≥0 得 cos x≥ 2 3 3 因为函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数, 3 3 所以 m ? 1 π,2m ? 1 π ? ?? π ? 2kπ,π ? 2kπ ?,k ? Z , ? 3 ? 3 3 3 ? ? m ? 1 π≥- π ? 2kπ, ? ? 3 3 ? 2m ? 1 ?6k≤m≤3k ? 1, ? k ? Z, π≤ π ? 2kπ, k ? Z, 即 ? 则有 ? 3 ? m ? 0, ? 3 ? m ? 1 π< 2m ? 1 π, ? 3 3 ? 1 只有 k= 0 时, 0 ? m≤1 适合,故 m 的取值范围是 ? 0, ?.

?

?

[来源:Z.xx.k.Com]

?

?

?

?

[来源:学.科.网]

江苏省涟水中学 2013 高二数学暑假作业 10 数列(1) 1.在数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , ,则 错误!未找到引用源。

2 已知错误!未找到引用源。 ,则数列错误!未找到引用源。的最大项是 3.已知数列{an},满足 a1=1,错误!未找到引用源。 (n≥2),则{an}的通项 4 如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩 展”而来,??,如此类推.设由正错误!未找到引用源。边形“扩展”而来的多边形的 边数为错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ; 错误!未找到引用源。 = .

5:已知数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。,设错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。. 6.设等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用 源。 ,若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。的最大值为___________。 7.一列火车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(其中包括起点站 A 和终点站 B) ,车上有一 节邮政车厢,每停靠一站,要卸下前面各站发往该站的邮件一袋,同时又要装上该站发往后 面各站的邮件一袋, 已知火车从第 k 站出发时, 邮政车厢内共有邮袋错误! 未找到引用源。 ?,n) 个,则数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系为 . 8 在数列错误!未找到引用源。在中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错 误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。为常数,则错误!未找到引用源。 9.数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。 ,则错 误!未找到引用源。的值为____ - 10.数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n 1,…的前 n 项和 Sn>1020, 那么 n 的最小值是 11. 数列{an}中,a1=2,a2=1,错误!未找到引用源。(n≥2,n∈N),则其通项公式为 an= ▲
高 &考

12. (2012 四川文)设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 , {an } 是公差不为 0 的等差数

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ?
? ? ? 13 (2012 上海文) Sn ? sin ? ? sin 27 ? ? ? sin n7 (n ? N ) ,则在 S1, S2 ,?, S100 中,正数 若 7

的 个数是

14. (2012 大纲文)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ? 15.设数列错误! 未找到引用源。 的前错误! 未找到引用源。 项和为错误! 未找到引用源。 已 . 知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. (Ⅰ)设错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的取 值范围. 16 设数列错误!未找到引用源。满足当 n=2k-1(k 错误!未找到引用源。)时,错误! 未找到引用源。=n,当 n=2k(k 错误!未找到引用源。)时,错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。,记 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。。。。 。。。+错误!

未找到引用源。 (1) 。求错误!未找到引用源。 (2)证明:错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。(n 错误!未找到引用源。2) (3)证明错误!未找到引 用源。 17.数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。且满足错误!未找到引用源。(错 误!未找到引用源。) ⑴求数列错误!未找到引用源。的通项公式; ⑵设错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。; ⑶设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,是否存在最大的 整数错误!未找到引用源。,使得对 任意错误!未找到引用源。,均有错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。成立?若存 在,求出错误!未找到引用源。的值;若不存在,请说明理由. 18 数列错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求错误!未找到引用源。并求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (Ⅱ)设错误!未找到引用源。证明:当错误!未找到引用源。
19(2012 浙江文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足
2

an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 20 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求首项错误!未找到引用源。与通项错误!未找到引用源。(Ⅱ)设错误!未找到 ; 引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,证明:错误!未找到引用源。

作业 10 答案

.com]

1【解】 :错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,?,错 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 总结:把原递推公式转化为错误!未找到引用源。,利用累加法(逐差相加法)求解。 2【解】 :.数列可以看成一种特殊的函数即错误!未找到引用源。可以看成错误!未找到 引用源。通过求函数的最大值可知第 12 项和第 13 项最大。 3【解】 :由已知,得错误!未找到引用源。,用此式减去已知式,得 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,又错误! 未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,将以上 n 个式子相乘,得错误!未找到引用源。错误!未找到引 用源。 4【解】 :错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。;又错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 5【解】 :错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2(错误!未找到引用源。- 错误!未找到引用源。) . 错误!未找到引用源。=2[(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误! 未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。)+??+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+(错误!未找到 引用源。-错误!未找到引用源。)]=2(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
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-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。) 6.【解】 :∵等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未 找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ∴错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。 故错误!未找到引用源。的最大值为错 误!未找到引用源。 。 【点评】 :此题重点考察等差数列的通项公式,前错误!未找到引用源。项和公式,以及 不等式的变形求范围;消元思想确定错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。的范 围解答本题的关键; 7【解】 :错误!未找到引用源。 解:错误!未找到引用源。 8【解】 :∵错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。从而错误!未找到引用源。 。 ∴a=2,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 15【解】(Ⅰ)依题意,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。, 错误!未 : 找到引用源。.因此,所求通项公式为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.① ·············································· 6 分 ·············································· ·············································· (Ⅱ)由①知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,于是,当错误!未找到引 用源。时, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时, 错误!未 找到引用源。, 错误!未找到引用源。.又错误!未找到引用源。. 综上,所求的错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。. · · · · · 12 分 ····· ·····
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作业 6 参考答案
1.R [ ?

1 1 , ] 5 5

2? 3

1 5

?

?
3
1 1 5 5

【解析】易知函数的定义域为 R,∴ ? ? sin(3 x ? ) ? ,即函数的值域为[ ? 期T ? 2.右

2? 1 ? 振幅为 ,初相为 ? 3 5 3

? 3

1 5

1 1 , ],周 5 5

?

8

【解析】略 3. [2k? ?

?

【解析】 1 ? 2cos x ? 0 4.

5 ,2k? ? ? ], k ? Z 3 3

? 2

【解析】略 5.A=2, ? =2, ? =

? 6

【解析】解:由图像可知,振幅为 2,周期为 ? ,因此 W=2,A=2,把带你(

? ,2)代 6

入到函数关系式中,解得 ? = 6. 3

? ? ,因此填写 A=2, ? =2, ? = 6 6

2
【解析】解:因为设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ?

?

4 ) ? 2 的图像向右平移 ? 个单位后与原 3 3

图像重合,说明至少平移一个周期,或者是周期的整数倍,因此当

4 2? 3 ? ? nT ? n? ?当n=1,w ? 3 w 2 ? 5? 7. [k? ? , k? ? ), k ? z . 6 12
? 2 k? ? ? , k ? Z , 2 6 6 ? 5? ? 5? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? z ,所以递减区间是 [k? ? , k? ? ), k ? z . 6 12 6 12 ? 5? 8. [?2? , ? ]和[ , 2? ] 3 3
【解析】由 sin(2 x ?

?

) ? 0 得, 2k? ?

?

? 2x ?

?

【解析】略 9.

? ) 的 图 象 向 左 平 移 m 个 单 位 (m>0), 得 到 图 象 y = 3 ? 2 cos(x+ +m),而此图象关于 y 轴对称故 m 的最小值是 π 3 3
【 解 析 】 把 函 数 y = cos(x+ 10. 1 ? 2
【解析】∵ y

2 π 3

? 2 cos 2 x ? sin 2 x

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?
有最小值是 1?

?
4

) ,∴当

sin(2 x ? ) ? ?1 时,函数 y ? 2 cos 2 x ? sin 2 x 4
5? 2

?

2。

11.

【解析】略 k ? ? k? ? 12. [ ? , ? ], k ? Z
2 4 2 2

【解析】略 13. 【解析】略

? k? ? k? ? ? 2 ? 4 , 2 ?, k ? Z ? ?

14.② 【解析】略 15. y ? sin2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x ? 3sin 2x ? cos 2x ? 2sin(2 x ? 1. 最小正周期 T ?

?
6

)

? ? ? 2? (2)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,解得 ?? ; 2 6 2 2 ? ? ? ? ? ?? ( k k? ? ? x ? k? ? , 增 区 间 为 [k? ? ,k? ? ] , ? Z ; 3 ) x ? ?0, ? 时 , 6 3 6 3 ? 2? ? 1 ? ? ? 5? 2x ? ?[ ? , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 2sin(2 x ? ) ? [?1, 2] , 函 数 的 值 域 为 6 2 6 6 6 6 [?1, 2] ? 【解析】先函数为 y ? 2sin(2 x ? ) (1)求周期; (2)求单调区间;(3)根据范围求值域。 6
16. 1) f ( x) ? 1 sin2 x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? 1 (1 ? 1 ? cos 2x ? 3 sin 2x) ? 3 ? 1 sin(2x ? ? ) 2 4 2 2 2 4 2 6

1 5 ? 2? ? T ? ? , 值域为[ , ],(2)[0,? ]上减区间为[ , ] 4 4 6 3
【解析】略 17. [ ? (1)

?

6 1 (1)(-1, ). 2
解: 由 ? (1)

? k? ,

?
3

(2) ? k? ], k ? z ; x ?

1 ? ? 时,f ( x) max ? 0 ,x ? 时,f ( x) min ? ? ; 2 3 2

【解析】本试题主要考查了三角函数的性质的运用。

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

得:?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k?

(k ? z ) , 所

以 f (x) 的单调递增区间为[ ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? 故 当 2x ?

?
6

? k? ,

?
3

(6 ? k? ], k ? z 。 分)

?

?

6 2 1 ? ? 5? 当 2x ? ? 时,即 x ? 时, f ( x) min ? ? 2 6 6 2
(3)解法 1?

?

?

时,即 x ?

? 时, f ( x) max ? 0 3

? ? 5? ?? ? ? ? 2x ? ? ) ?1 ,? x ? ? , ? ,所以 3 6 6 6 ?4 2?
(8 分) (10 分) (x ? ?

f ? x ? ? m ? 1 ? f ( x) ? 1 ? m ? f ( x) ? 1

?? ? ? ) , ? ; ?4 2?
(14 分)

? m ? f ( x) max ? 1 且 m ? f ( x) min ? 1
18. (1) ? ? 2 ; (2) tan(? ?

故 m 的范围为(-1,

?
4

1 )。 2

)?

7 1 ; (3) m ? 1或m ? ? . 17 2

【解析】第一问中,化为单一三角函数,

f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ?
间的距离为

? ? 知道半个周期为 ,因此一个周期值求解出,得到 w 的值。 4 4 ? ? 12 第二问中,利用第一问中函数关系式,得到 f ( + ) ? ,所以 4 6 13 5 ? 7 ? 12 12 sin(? + )= , ? ? ,得到 tan ? ? ? , tan(? ? ) ? ,第三问中,利用 cos 13 4 17 2 13 13 ? 1 ∴ x ? (0, ] ,令 ? cos x ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, 3 2

1 ? ? sin( 2?x ? ) ,然后利用图象的两相邻对称轴 2 6

f ( x) ? sin(4 x ? ) , g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象,看图可知。 6 1 3 1 ? cos 2?x 1 解:由题意, f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ? ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2 ? 3 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin( 2?x ? ) , 2 2 6 ? 2? ? (1)∵两相邻对称轴间的距离为 ,∴ T ? ∴? ? 2 . ? , 4 2? 2
(2)由(1)得, f ( x) ? sin(4 x ?

?

?

5 ? 7 ? ? 12 ? 12 12 f ( + ) ? , sin(? + )= , ? ? , tan ? ? ? , tan(? ? ) ? cos 13 4 17 4 6 13 2 13 13 ? 1 (3)? cos x ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, ∴ x ? (0, ] , 3 2
令 f ( x) ? sin(4 x ?

6

)

) , g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象, 6 1 可知 m ? 1或m ? ? . 2
19. 【解析】

?

20.解: (1)当 ? ?

?
6

时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ?
2

1 2 5 ) ? 2 4

? f (x) 在 [?

1 1 3 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增 2 2 2 2

1 5 ? 当 x ? ? 时,函数 f (x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f (x) 有最小值 ? 2 4 3 1 (2)要使 f ( x ) 在 x ? [? , ] 上是单调函数,则 2 2 1 3 或 ? sin ? ? ? sin ? ? ? 2 2 1 3 即 sin ? ? 或 sin ? ? ? ,又? ? ? [0,2? ) 2 2 ? 2 7 11 解得: ? ? [ , ? ] ? [ ? , ? ] 3 3 6 6


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