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历年自主招生真题-函数

函数

1? 1. 已知 n ? Z , 且 ? ?1 ? ? ? n?

n ?1

1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2004 ?

2004

,则 n =

.

2. 已知 f(x)=asinx+b 3 x +4(a,b 为实数)且 f [lg(lg 310 )]=5,则 f [lg(lg3)]= A.?5 B.?3 . C.3 D.随 a,b 取不同值而取不同值

3. 设函数 y=f(x)对一切实数 x 均满足 f(2+x)=f(2?x),且方程 f(x)=0 恰好有 7 个不同的实根,则这 7 个不同实根的和为 A.0 B.10 C.12 D.14 .

4. 设 f ( x) ? x8 ? x5 ? x 2 ? x ? 1 .则 f ( x) 有性质:_____. A、对任意实数 x, f ( x) 总是大于 0; C、当 x>0 时, f ( x) ? 0 ; B、 对任意实数 x,f ( x) 总是小于 0;

D、以上均不对.
? 2 ?? ? 2
2

5. 设 ? 是三次多项式 f(x)=x3?3x+10 的一个根,且 ? = 个有理系数的二次多项式,满足条件 h ?? ? ? ? .则 h(0)= (A)?2; (B)2; (C) ? ;
1 2

,若 h(x)是一

(D)

1 2

6. 设 k, m, n 是整数,不定方程 mx+ny=k 有整数解的必要条件是 A. m,n 都整除 k; C. m,n,k 两两互素; 7. 若关于 x 的方程 (A)(0,1); B. m,n 的最大公因子整除 k; D. m,n,k 除 1 外没有其它共因子
| x| ? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为 x?4
1 1

? ? ? (B) ? ? ,1? ; (C) ? , ?? ? ; ?4 ? ?4 ?

(D) ?1, ?? ? .

8. 函数 f:R ? R,对任意的实数 x、y,只要 x+y≠0,就有 f(xy)= 立,则函数 f(x)(x∈R)的奇偶性为 (A)一定是奇函数; (C)既是奇函数,又是偶函数; (B)一定是偶函数;

f ( x) ? f ( y ) 成 x? y

(D)既不是奇函数,又不是偶函数.

9. 若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最元素为 2007,并且各元素可以从小到大 排成一个公差为 k 的等差数列,则并集 A17 ? A59 中的元素个数为 A.119 B.120 C.151 D.154 )

10. 关于 x、y、z

? x 2 ? 2 x ? 6 log (6 ? y ) ? x, 3 ? ? 2 的方程组 ? y ? 2 y ? 6 log 3 (6 ? z ) ? y, 的实数解的组数有( ? 2 z ? 2 z ? 6 log 3 (6 ? x) ? z , ? ?

(A)有一组解; (B)有两组解;

(C)有无穷多组解; (D)无法确定

11. 已知定义在实数集 R 上的函数 f(x),其值域也是 R,且对任意 x、y∈R, 都有 f[xf(y)]=xy,则|f(2007)|等于( (A)0; (B)1; (C)20072; ) (D)2007

12. 已知函数 y=

ax 2 ? 8x ? b 的最大值为 9,最小值为 1.求实数 a、b 的值 . x2 ? 1

13. 已知方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根分别为 a、b、c,且 a、b、c 是不全为 零的有理数,求 a、b、c 的值. 14. 已知定义在 R 上的函数 f(x)=
4x 1? , Sn ? f ? ? ?? x 4 ?2 ?n?
?2? f ? ? ?? ? ?n? ? n ?1 ? f? ? ,n=1,2,3?, ? n ?

(1)求 Sn;(2)是否存在常数 M>0 对,对任意 n ? 2 ,有 15. 求方程 4 10 ? x ? 4 7 ? x =3 的实数根.

1 1 1 ? ?? ? ?M? S 2 S3 S n ?1

16. 已知 f(x)= ax 4 ? x3 ? (5 ? 8a) x 2 ? 6 x ? 9a ,证明: (1)恒有实数 x,使 f(x)=0;(2)存在实数 x,使 f(x)的值恒不为 0. 17. 若存在 M,使任意 x∈D (D 为函数 f(x)的定义域),都有|f(x)|≤M.则称函
1? 1 1 数 f(x)有界,函数 f(x)= sin 在 x ? ? ? 0, ? 上是否有界?

x

x

?

2?

18. 已知 f1(x)= 求 f 28 ( x) .

1? x ,对于一切正整数 n,都有 f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)], 且 f36 ( x) ? f 6 ( x) , 1? x

19. 当实数 a、b 满足何条件时,可使

x 2 ? ax ? b ? 1 恒成立? x2 ? 2x ? 2

20. 求由正整数组成的集合 S ,使 S 中的元素之和等于元素之积. 21. 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) , 且 f ( x) ? x 没有实数根. 那么 f ( f ( x)) ? x 是 否有实数根?并证明你的结论. 22. 对于集合 M ? R 2 ,称 M 为开集,当且仅当 ?P0 ? M , ?r ? 0 ,使得
{P ? R 2 PP0 ? r} ? M .判断集合 {( x, y ) 4 x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y ) x ? 0, y ? 0} 是否为开集,

并证明你的结论.
? xy ? 2 x ? y ? 1 ? 23.解方程组 ? yz ? 2 z ? 3 y ? 8 . ? xz ? 4 z ? 3 x ? 8 ?

24. 设 f ? x ? ? ?1 ? a ? x 4 ? x3 ? ? 3a ? 2 ? x 2 ? 4a ,试证明对任意实数 a : ①方程 f ? x ? ? 0 总有相同实根; ②存在 x0 ,恒有 f ? x0 ? ? 0 . 25. 已知函数 f1 ? x ? ?
2x ?1 ,对于 n ? N * 定义 f n ?1 ? x ? ? f1 ? f n ? x ? ? ,若 f35 ?x ? ? f5 x ? x ?1

?,

则 f 28 ? x ? ? _______________. 26. (1)设 f(x)=xlnx,求 f ' (x); (2)设 0<a<b,求常数 C, 使得
1 b | ln x ? C |dx 取得最小值; b ? a ?a

(3)记(2)中的最小值为 m a ,b ,证明:m a ,b <ln2 .

27. 已知关于 x 的方程 ? ax ? 1? ? a 2 ?1 ? x 2 ? , a ? 1 . 证明方程的正根比 1 小,负
2

根比 ?1大. 28. 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a, b ? R ,有
f ? ab ? ? af ?b ? ? bf ?a ? .

(1)求 f ? 0 ? , f ?1? 的值; (2)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f ? 2 ? ? 2 , un ?
f ? 2? n ? n

? n ? N ? ,求数列 ?u ? 的前 n 项和 S
*

n

n

.

29. 求函数 f ? x ? ? max ? x ? 1 , x 2 ? 5 ? 的最小值,并求出相应的 x 的值. 30. 设 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ? x ? ? x 的两个根是 x1 和 x2 ,且 x1 ? 0 ,
x2 ? x1 ? 1 ,又 0 ? t ? x1 .试比较 f ? t ? 与 x1 的大小. a

x2 xn 31. 已知 f n ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ( n ? N * ),求证:当 n 为偶数时,方程 f n ( x) ? 0 无解; 2! n!

当 n 为奇数时,方程 f n ( x) ? 0 有唯一解 xn ,且 xn? 2 ? xn . 32. 求
x ? 11 ? 6 x ? 2 ? x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实数根的个数.

33. 已知 x2=2y+5,y2=2x+5,求 x3?2x2y2+y2 的值 . 34. 已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ? 1 ; 求证: (1)对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 (2)若 xn e x ? e x ? 1 ,求证: { xn } 单调递减且 xn ?
n?1 n

1 . 2n

35. x, y, z 是两两不相等且大于1的正整数, 若 xyz | ( xy ? 1)( xz ? 1)( yz ? 1) , 求 x, y, z 的 所有值 .


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