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空间向量立体几何知识点集锦[1] 2

空间向量立体几何知识点集锦
一、空间向量的加法和减法:

?1? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取
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一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ?? ? a ? b .

? ? b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. ? ? 二、 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量, 称为向量的数乘运算. ? ? 0 时, 当 ? ? ? ? ? ? a 与 a 方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a 为零向量,记 ? ? ? 为 0 . ? a 的长度是 a 的长度的 ? 倍.
知向量 a 、b 为邻边作平行四边形 ??C ? ,则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向 量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.

? 2 ? 求两个向量和的运算称为向量的加法:在空间以同一点 ? 为起点的两个已
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四、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b . 五、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 间任一定点 ? , ? ?? ? x ? 有 ??? ?? 六、向量共面定理:空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ?? ? x?? ? y ?C ;或对空

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??? ? ???? ??? ? ???? 或若四点 ? ,? ,? ,C 共面, ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? . 则 y C ; ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? b ?? 七、 已知两个非零向量 a 和 b , 在空间任取一点 ? , ? ? a , ? b , ?? 作 ? 则 ?? 称为向量 a , 的夹角, 记作 ? a , b ? . 两 ? ? 个向量夹角的取值范围是: ?a, b ? ??0, ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 八、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ? ,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 九、已知两个非零向量 a 和 b ,则 a b cos ?a, b ? 称为 a , b 的数量积,记作 a ? b .即 a ? b ? a b cos?a ,b ? .零向量与
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
任何向量的数量积为 0 . 十、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积. 十一、若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e ? ; ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a b a与b同向 , a ? a ? a 2 , a ? a ? a ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ; ? 3? a ? b ? ? ? ? ? ? ?? a b a与b反向 ?

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? ? a ?b ? ? ? ? ? ? ? 4 ? cos? a, b ? ? ? ? ; ? 5? a ? b ? a b . a b ? ? ? ? 十二、空 间 向量 基本 定理 :若三个向量 a , b , c 不共面, 则对空间任一向量 p ,存 在实数组 ?x, y, z? ,使 得 ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc . ? ? ? ? ? ? ? ? 十三、若三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是 p p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R .这个集合可看作 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是由向量 a , b , c 生成的, a , b , c 称为空间的一个基底, a , b , c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可

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以构成空间的一个基底.

十四、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ,以 e1 , e2 , e3 的公共起 点 ? 为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz .则对于空间任意一个

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向 量 p , 一 定 可 以 把 它 平 移 , 使 它 的 起 点 与 原 点 ? 重 合 , 得 到 向 量 ?? ? p . 存 在 有 序 实 数 组 ?x, y, z? , 使 得 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系 ?xyz 中的坐标 ? x, y, z ? .
1

??? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 ,e2 ,e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p
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十五、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

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? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ? 3? ?a ? ? ? x1, ? y1, ? z1 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 . ? 5? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 . ? 7 ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 .
2 2 2 x ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2 ??? ? ? 9 ? ? ? x1, y1, z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? 2 1

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? ? a ?b ? ? ?8? cos? a, b ? ? ? ? ? a b

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2



? ??? ? ? ? l 的方向向量,则对于直线 l 上的任意一点 ? ,有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体 表示出直线 l 上的任意一点. 十七、空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点 ? ,它们的方向向量分别为 ??? ? ? ? ? ? ? ? a , b . ? 为平面 ? 上任意一点,存在有序实数对 ? x, y ? 使得 ?? ? xa ? yb ,这样点 ? 与向量 a , b 就确定了平面 ? 的
十六、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 位置. ? ? 十八、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量.

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
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十九、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

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? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? R? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . ? ? ? 二十、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . ? ? ? ? 二十一、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .

? ? a ?b ? ? 二十二、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有 cos ? ? cos ? ? ? ? . a b ? ? ? ? 二十三、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 ? 的法向量为 n , l 与 ? 所成的角为 ? , l 与 n 的夹角为 ? ,则有

? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? . l n ?? ?? ? ?? ?? ? 二十四、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二面角的平面 ?? ?? ? n1 ? n2 角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2 ? 二十五、在直线 l 上找一点 ? ,过定点 ? 且垂直于直线 l 的向量为 n ,则定点 ? 到直线 l 的距离为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n ??? ? ??? ? 二十六、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. ? 二十七、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离为
??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? n

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