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第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用


·2011届新课标高中总复习(第2轮)

数学(湖南)
更多信息请登录:www.xuehainet.com 本课件主要使用工具为Office2003,Mathtype6.0, 几何画板4.0, Flashplayer10.0

专题二 三角变换与平面向量、 复数

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【考题1】(2010· 北京)如右图放置的边 长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶 点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系 式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 4 ; y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域 的面积为 ? ? 1 . 说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方 向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是 先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴 上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继 续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.
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【解析】 当正方形PABC滚动四边时P才回到左下 方的位置,所以最小正周期是4. y ? f ? x ? 在其两个 1 1 2 相邻零点的图象如下图所示.面积为 ? ?1 ? 2 ? 4 4 1 2 ? ? ( 2) ? ?1?1? 2 ? ? ? 1 2

命题立意:本题主要考查周期函数、函数零点的概 念,考查动点形成图形的理解能力和运算能力.
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【专题2】(2010· 陕西)如图,A,B是海面上位 于东西方向相距5(3+ 3)海里的两个观测点.现 位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有 一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60° 且与B点相距20 3 海里的C点的救援船立即前往 营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到 达D点需要多长时间?

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【解析】 由题意知AB ? 5(3 ? 3 )(海里), ?DBA ? 90? ? 60? ? 30?,?DAB ? 90? ? 45? ? 45?, 所以?ADB ? 180? ? (45? ? 30?) ? 105?. DB AB 在?DAB中,由正弦定理得 ? , sin ?DAB sin ?ADB AB ? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? 所以DB ? ? sin ?ADB sin105? 5 3(3 ? 3) ? sin 45? ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? 5 3( 3 ? 1) ? ? 10 3 (海里). 3 ?1 2
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又?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? ? (90? ? 60?) ? 60?, BC ? 20 3 (海里), 在?DBC中,由余弦定理得 2 2 2 CD ? BD ? BC ? 2BD ? BC ? cos?DBC 1 ? 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ? ? 900, 2 30 所以CD ? 30(海里),则需要的时间t ? ? 1(小时). 30 答:救援船到达D点需要1小时.
命题立意:本题主要考查方位角概念,运用正弦 定理、余弦定理解决实际应用问题的能力.
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考情扫描:1.本节内容在高考中以考查用“五 ? + )的图象为主,同时考查三 点法”作y=Asin(ωx 角函数图象的变换和对称性及图象的应用. 2.利用三角函数的周期性及有界性研究实际问 题的变化规律和取值范围. 3.三角函数图象的变换是高考考查的热点,多 为选择题形式,解题关键是熟练掌握平移、伸 缩变换的规律.

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4.在高考试题中,出现有关解三角形的内容大多 属于容易题,最多是中档题,主要考查正弦定理、 余弦定理的应用及利用三角公式进行恒等变形的 技能及运算能力,以化简、求值或判断三角形的 形状为主,考查有关定理的应用、运算能力及转 化的数学思想.解三角形常作为工具解决实际问 题,将实际问题转化为解斜三角形的问题,再确 定是哪类解斜三角形问题,就用哪个定理来解 决.解斜三角形的问题在近几年高考中经常出现, 并且与实际问题的联系仍是高考命题的热点,要 加强这方面的训练.
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三角函数是描述周期现象的数学模型.高考中, 单摆、弹簧振子、圆上一点的运动、以及音乐、波浪、 潮汐、四季变化等周期性现象是新的命题背景. 1.新教材中增设了三角函数模型的简单应用,且在 课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门 作为参考案例(在原来的教材中只有阅读材料),教材 中有几处涉及三角函数在物理学科中的应用,如用函 数y=Asin(ωx? + )的物理意义刻画简谐振动、交流电等, 说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 显示重视三角函数实际应用的意图.

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2.融入三角形之中的实际问题也常出现.这种题 型既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运 用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受 命题者的青睐,主要解法是充分利用三角形的内 角和定理、正(余)弦定理、面积公式等,并结合三 角公式进行三角变换,从而获解.

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一、三角函数图象的应用 【例1】已知电流I 与时间t的关系式为I ? A sin(?t ? ? ). | ? |? ?1? 下图是I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0,? ? 0,

?

2 个周期内的图象,根据图中数据求I ? A sin(?t ? ? )的 解析式;

)在一

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1 ? 2 ? 如果t在任意一段 秒的时间内,电流 150 I ? Asin(?t ? ? )都能取得最大值和最小值, 那么?的最小正整数值是多少?

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【解析】 ?1?由图可知A ? 300. 1 1 设t1 ? ? ,t 2 ? , 900 180 1 1 1 则周期T ? 2 ? t2 ? t1 ? ? 2( ? )? , 180 900 75 2? 所以? ? ? 150? . T 1 1 又当t ? 时,I ? 0,即sin(150? ? ? ? ) ? 0, 180 180 ? ? 而 | ? |? , 所以? ? . 2 6 ? 故所求的解析式为I ? 300sin(150? t ? ). 6

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1 2? 1 ? 2 ? 依题意,周期T ? ,即 ? (? ? 0), 150 ? 150 所以? ? 300? ? 942. 又? ? N*,故?的最小正整数值是943.

评析 : 本题解答的切入点是将图形语言转化为 符号语言.其中,读图、识图、用图是数形结 合的有效途径.

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二、三角函数的应用 【例2】如图,位于A处的信息中心获悉:在其正 东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地 等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东 ? 的方向沿直线CB前往B处救援,求cos? 的值.

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【解析】如题图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20, ∠BAC=120°,
由余弦定理知, BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos120? ? 2800, 得BC ? 20 7. AB BC 由正弦定理 ? , sin ?ACB sin ?BAC AB 21 得 sin ?ACB ? ? sin ?BAC ? . BC 7 由?BAC ? 120?,则?ACB为锐角, 2 7 cos ?ACB ? . 7 由? ? ?ACB ? 30?, 则 cos ? ? cos(?ACB ? 30?) ? cos ?ACB ? cos 30? ? sin ?ACB ? sin 30? 21 ? . 14

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评析:本题是解斜三角形的应用题,考查了正、 余弦定理以及两角和余弦公式的应用,考查学生 利用数学知识解决实际问题的能力.

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三、解三角形的应用 【例3】在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶 设有一个观察站P.上午11时,测得一轮船在岛北 偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测 得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C处.(该 船沿直线航行) (1)求船的航行速度; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向 的D处,问此时船距岛A有多远?

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【解析】(1)如图所示,在Rt△PAB中,∠APB=60°, PA=1,则AB= 3.

3 在Rt?PAC中,?APC ? 30?,则AC ? . 3 在?ACB中,?CAB ? 30? ? 60? ? 90?, 3 2 30 2 2 2 则BC ? AC ? AB ? ? ? ? ? 3 ? ? , 3 3 30 1 故船的航行速度为 ? ? 2 30 (千米 / 小时). 3 6
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? 2 ? ?DAC ? 90? ? 60? ? 30?,

sin?DCA ? sin(180? ? ?ACB ) AB ? sin?ACB ? BC 3 3 3 ? ? 10, 30 10 sin?CDA ? sin(?ACB ? 30?) ? sin?ACB ? cos30? ? cos?ACB ? sin30? 3 3 1 3 ? 10 ? ? ? 1? ? 10 ?2 10 2 2 10 ?3 3 ? 1? 10 ? . 20

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AD AC 在?ACD中,据正弦定理得 ? , sin ?DCA sin ?CDA 3 3 10 ? AC ? sin ?DCA 9? 3 3 10 所以AD ? ? ? , sin ?CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20 9? 3 即此时船距离岛A 千米. 13

评析:本题主要考查三角形基础知识,以及学生 的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的 能力.
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备选题

如图所示,某动物园要为刚入园的小老
虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动 室,已知已有两面墙的角为60°(即∠C=60°).现 有可供建造第三面墙的材料6米(两面墙的长均大于 6米),为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的 三角形露天活动室尽可能大,记∠ABC= ? ,问当? 为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积最 大?
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AC AB BC 【解析】 在?ABC中, ? ? , ? ? sin ? sin sin(? ? ) 3 3 ? 化简得AC ? 4 3 ? sin ? , BC ? 4 3 ? sin(? ? ), 3 1 ? 所以S?ABC ? AC ? BC ? sin 2 3 ? ? 12 3 ? sin ? ? sin(? ? ) 3 1 3 ? 12 3 ? sin ? ? ( sin ? ? cos ? ) 2 2 ? 6 3 (sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? ) 1 ? cos 2? 3 2 ? 6 3( ? sin ? ) 2 2 1 ? ? 6 3 ? [ ? sin(2? ? )], 2 6
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即S ?ABC ? 6 3 ? sin(2? ? ) ? 3 3. 6 ? ? ? 所以,当2? ? ? ,即? ? 时, ( S ?ABC )max ? 9 3. 6 2 3 故当? ? 60?时,所建造的三角形露天活动室的面 积最大.
评析:三角形中的有关最值问题,可采用数形 结合的思想或函数的思想进行解决.

?

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1.三角函数模型的常见应用. 三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际 问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具 有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述.三 角函数模型的常见类型有:(1)航海类问题:涉及方 位角概念.方位角指的是从指北方向顺时针旋转到 目标方向线的水平角.(2)涉及正、余弦定理与三角 函数图象有关的应用题.2010年全国高考有一解答题 正是此类应用题.(3)引进角为参数,利用三角函数 的有关公式进行推理,解决最优化问题,即求最 值.(4)三角函数在物理学中的应用.
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2.解三角形应用题的一般步骤: (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知与所求, 理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形 模型. (3)正确选择正、余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题 中的单位、近似计算的要求.

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本节完,谢谢!


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