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【新课标】2012高三数学文《学海导航》一轮复习课件第8章8.2双曲线(1)_图文

第 八 章

圆锥曲线方程

8.2

双曲线

考点
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●双曲线的第一、第二定义,焦点在x轴、y 轴上的标准方程 ●双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离 心率、准线、渐近线、焦半径等基本性质 1. 求双曲线的标准方程,以及基本量的求解. 2. 以直线与双曲线为背景,求参数的值或取 值范围,判定双曲线的有关性质,考查知识 的灵活与综合应用.

高考

猜想

?

1. 平面内与两个定点F1、F2的① ________ 距离之差 的② _______为正常数(小于③ ______) 的点的轨迹 |F 绝对值 1F2| 叫做双曲线,这两个点叫做双曲线的④ _____. 焦点 ? 2.双曲线也可看成是平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l(点F在直线l外)的距离⑤ __________的点的轨迹,其中这个常数就是双曲 之比为常数 线的⑥________,其取值范围是⑦_______;这 (1,+∞) 离心率 个定点F是双曲线的一个⑧______;这条定直线 是双曲线的一条⑨_____. 焦点 准线

?

3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为 b,半焦距为c,则a、b、c三者的关系是 10 __________; c2=a2+b2 焦点在x轴上的双曲线的标准方程 是
x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 11 ;焦点在 y 轴上的双曲线 2 _____________ a b
y 2 x2 12 -_____________. ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b

?

的标准方程是 ? ? ?

x2 y2 - 2 ?1 2 a b

4.对于双曲线 (a>0,b>0):

?

(1)x的取值范围是 13 (-∞, ______________; -a]∪[a,+∞) y的 取值范围是 14 ___. R ? (2)双曲线既关于 15 __________ 成轴对称 x轴、 y轴 图形,又关于 16 _____成中心对称图形. 原点 ? (3)双曲线的两个顶点坐标是 17 (±a,0) _________;两个焦点坐标是 18 ________;两条准 (±c,0) 线方程是 2 b ? ?
c a (4)双曲线的离心率e= 21 _______; 一个焦 2 b 点到相应准线的距离(焦准距)是 22 c_____.

a y?? x x?? a c 19 _________; 两条渐近线方程是 20 ______.

?

(5)设P0(x0,y0)为双曲线上一点,F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|= 23 _________;| PF2|= 24 ________. |a+ex0| |a-ex0|
x y 5.与双曲线 - 2 ?1 2
2 2

?

(a>0,b>0)有共同
x2 y2 - 2 ? ? (? ? 0) 25 2 ___________. a b

渐近线的双曲线系方程是 ?

a

b

6.实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做 26 ________________; 其离心率e= 27 ____;两渐近 等轴双曲线 2 线方程为 28 ______. y=±x

?

盘点指南:①距离之差;②绝对值;
③|F1F2|;④焦点;⑤之比为常数;⑥离心率;⑦(1, +∞);⑧焦点;⑨准线;⑩c2=a2+b2; 11 12
x2 y 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y 2 ; x2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

; 13 (-∞,-a]∪[a,
a2 原点; 17 x? ? (±a, c

+∞);14 R; 15 x轴、y轴;16
2 b c b y?? 0); 18 (±xc,0); 19 a a c 2 2 x y 21 2 - 2; ? 22 23 |a+ex0|; 24 ? (? ? ;0) a b

; 20

;

25

|a-ex0|; 2 ; 26 等轴双曲线; 27

; 28

?

近线的双曲线方程是 ( A 2 2
y x A. - ?1 2 4 y 2 x2 C. - ?1 4 2

x2 2 过点(2,-2)且与双曲线 - y ? 1 2

有公共渐

)

?

点(2,-2)的坐标代入方程得λ=-2,故选A.

x2 y 2 B. - ?1 4 2 x2 y 2 D. - ?1 2 4 x2 2 解:可设所求双曲线方程为- y ? ? 2

,把

?

点的距离是8,那么P到它的右准线的距离是 ( D
A. 10 C. 2 7 32 7 B. 7 32 D. 5

x2 y2 如果双曲线 - ? 1 上一点P到它的右焦 16 9

)

?

解:利用双曲线的第二定义知P到右准线
8 4 32 的距离为 d ? ? 8 ? ? , 故选D. e 5 5

? ? ?

点,A(1,4),

x2 y2 已知F是双曲线 - ? 1 的左焦 4 12

9 P是双曲线右支上的动点,则 |PF|+|PA|的最 小值为___. 解:注意到点A在双曲线的两支之间,且 双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线性质|PF||PF′|=2a=4,而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5,两式相加得 |PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F′三点共线时等 号成立.

第一课时

题型1
? ?

求双曲线的标准问题

1. 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 (1) 经过点 ( ,3),且一条渐近线方程 4 为4x+3y=0; ? (2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直, ? 与两个顶点连线的夹角为 .
3

?

15 解:(1)因直线x= 与渐近线4x+3y=0的 4 15 交点坐标为( ,-5),而3<|-5|,故双曲线的焦 4 x2 y 2 - 2 ? 1. 点在x轴上,设其方程为 2 a b
? 15 2 ?( 4 ) 32 - 2 ?1 ? 2 由 b , ? a ? b2 4 2 ? 2 ? (- ) 3 ?a
2 ? a ? ?9 . 解得 ? 2 ? ?b ? 16

? ? ? ?

x2 y 2 故所求的双曲线方程为 ? 1. 9 16

(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点. 依题意,它的焦点在x轴上.

? ? ?

因为PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以c=6. 又P与两顶点连线的夹角为
? 所以 a ?| OP | ? tan ? 2 3,
6

?

3



?
? ?

所以b2=c2-a2=24.

点评:双曲线的标准方程有两个参数, 一般由两个独立条件得到这两个参数的方程组, 再求解即可.

2 2 x y 故所求的双曲线方程为 ? 1. 12 24

拓展练习

?

?

? ?

题型2 求双曲线离心率的值或取值范围 2 2 x y 2. 已知双曲线2 - 2 ? 1 的左、右焦点分别 a l,在双曲线的左支上存在点 b 为F1、F2,左准线为 P,使得|PF1|是点P到l的距离d与|PF2|的等比中项, 求双曲线离心率的取值范围. 解:因为在左支上存在P点,使 |PF1|2=|PF2|· d,由双曲线的第二定义知, 即|PF2|= | PF1 | | PF2 | ? ? e, d | PF1 | e|PF1|.① 再由双曲线的第一定义,得|PF2|-|PF1|=2a.②

? ? ? ? ? ? ?

因为在△PF1F2中有|PF1|+|PF2|≥2c, 2a 2ae 所以 ? ? 2c. ③ e -1 e -1 c 利用e= ,则式③为e2-2e-1≤0, a 解得1≤e≤1+ . 2 2 因为e>1,所以1<e≤1+ ,故e∈(1,1+ ]. 2 2 点评:求离心率的取值范围,一是先把条 件转化为关于a、c的式子,然后化为 的式子; c 二是结合一些隐含性质,如本题中的三角形两边 a 之和大于第三边,双曲线的离心率的范围等.

2a 2ae | PF1 |? , | PF2 |? . 由①②,解得 e -1 e -1

?

拓展练习 已知F1、F2分别是双曲线
| PF2 |2 任意一点.若 | PF1 |

?

x2 y2 - 2 ?1 2 a b

的左、右焦点,P为双曲线左支上
的最小值为8a,则双曲线的 )

离心率的取值范围为( ? ? ? ?

A. (1,3] B. (0,3] C. (1,2] D. (1,+∞) 解:由双曲线的定义知,
2 (2 2a? | PF1 |) 2 | PF2 |2 ( PF1 ? 2a ) ? ? ? 8a, | PF1 | | PF1 | | PF 1 | 此时 |PF |=2a,|PF |=4 a.

1

2

? ? ? ? ? ?

如图,|PF1|+|PF2|≥|F1F2| 成立,即2a+4a≥2c,即6a≥2c, c 则e= ≤3. a 又双曲线的离心率e>1, 综合得双曲线离心率的取值 范围为(1,3],故选A.

1.在求双曲线方程和研究双曲线的性质时, 要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要 特征量,如a、b、c、e的几何意义及它们之间的 相互关系. ? 2.类比双曲线与椭圆的性质时,要突出双 曲线的渐近线,特别是由渐近线方程求双曲线方 程时,不能直接写出双曲线方程.如渐近线方程 是 2 2 x y x y ? ? 0, - 2 ?? 2 ? a b 要把双曲线方程写成 : b ,再 a 根据已知条件确定 λ的值,求出双曲线方程.
?

?

3.双曲线的渐近线方程可认为是把标 准方程中的“1”用“0”代替得出的直线方程, 不同的双曲线可以有相同的渐近线,两渐近 线的交点即为双曲线中心,平行于渐近线的 直线与双曲线有且只有一个交点. ? 4.双曲线的离心率反映了双曲线的开 口程度.因为c>a>0,所以 c >1,e越大, e? 双曲线开口越大. a


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