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2014届广东省珠海市高三9月摸底考试文科数学试卷(带解析)


2014 届广东省珠海市高三 9 月摸底考试文科数学试卷(带解析)
一、选择题 1.已知集合 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:解不等式: ,得 ,由并集的概念,可得 . B. , C. ,则 D. ( )

考点:1、一元二次不等式;2、集合的并集. 2.下列函数中,既是偶函数又在区间 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:A 是奇函数,B 既不是奇函数,也不是偶函数,所以,A、B 都排除;D 是二次函 数,函数图象的开口向下,在 单调递减,不符合,只有 C 符合. 考点:1、函数的奇偶性;2、函数的单调性以及基本初等函数的图象. 3.设 为虚数单位,则复数 A. 【答案】A 【解析】 试题分析:原式的分子与分母同乘以 ,所以,选 A. 考点:复数的四则运算. 4. A. 的值为( B. ) C. D. 的共轭复数 ,分母实数化,即 B. C. 等于( D. ) B. C. D. 上单调递增的函数为( )

【答案】D 【解析】 试题分析:利用三角函数的诱导公式求解.

,所以,选 D. 考点:三角函数的诱导公式. 5.中心在原点的双曲线,一个焦点为 线的方程是( ) A. 【答案】A 【解析】 试题分析:由焦点为 距离是 ,所以, = ,所以,双曲线的焦点在 y 轴上,且 = ,焦点到最近顶点的 -( )=1,所以, = ,所以,双曲线方程为: B. C. ,一个焦点到最近顶点的距离是 ,则双曲

D.

.本题容易错选 B,没看清楚焦点的位置,注意区分. 考点:双曲线的标准方程及其性质. 6.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体为圆柱,底面积为: 侧面积为: ,因此圆柱的表面积为: ,

考点:1、空间几何体的三视图;2、空间几何体的表面积. 7.经过圆 A. 【答案】A 【解析】 试题分析:圆方程化为: ,圆心坐标为(1,0),直线 的斜率为 , B. 的圆心且与直线 C. 平行的直线方程是( D. )

所以,所求直线方程为:

,化为:

.

考点:1、圆的标准方程;2、直线方程. 8.已知实数 满足 ,则目标函数 的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:画出不等式组所表示的平面区域,如下图所示:

目标函数变成:

,画出

的图象并平移,当它经过点 C 时,在 y 轴上的截距最小, ,解得 B 点坐标为 ,所以,z 的最大值为:

z 取得最大值,联立方程组: =5.

考点:1、不等式组的平面区域;2、用线性规划方法求最优解. 9.如图,在 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:由平面向量的三角形法则,可得: 三等分点,所以, 考点:平面向量的三角形法则. 10.用 若 则 A. 表示非空集合 中元素的个数,定义 , () B. C. D. ,且 ,设实数 的所有可能取值构成集合 , = = ,又因为点 是 . 边上靠近 的 中,点 是 B. 边上靠近 的三等分点,则 C. ( D. )

【答案】D 【解析】 试题分析:本题是阅读型试题,考查学生学习知识、应用知识的能力,分类讨论的数学思想. 因为 由 ,所以,B 的元素个数要么是 3,要么是 1. ,得 , 无解,得到 =0,符合题意; 是

如果 B 是单元素集合,那么必然- =0,且 如果 B 是三元素集合,那么 的一个解,或者 如果 x=0 是 如果 如果 此时 是

有解,且 x=0 是 的一个解,或者 只有一个解(- =0 的情况已排除).

的一个解:无解; 的一个解:无解; 只有一个解:判别式 .经检验, , 都符合题意, =0,C(S)=3. =0,解得 .

因此, =0,或

考点:1、学习新知识,应用新知识解决问题;2、分类讨论的数学思想;3、计算能力. 二、填空题 1.设等比数列 【答案】 【解析】 试题分析:利用等比数列的前 n 项和公式和通项公式,得: 考点:等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 2.直线 【答案】 1 【解析】 试题分析:先对函数求导,即 ,解得: = 1. 考点:函数的导数求法,函数导数的几何意义. ,由于切线方程为 ,所以, 是函数 的切线,则实数 . = . 的公比 ,则 .

,因此,切点为(2, )或(-2,- ),代入切线方程,可得

3.在 【答案】 【解析】

中,



,且

的面积为

,则边

的长为_________.

试题分析:由三角形面积公式,得: 由余弦定理,得: =1+4-2=3,所以,BC=

,解得: =1, .

考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理. 4.如图,圆 的割线 .则圆 的半径 交圆 于 、 两点,割线 . 经过圆心.已知 , ,

【答案】8 【解析】 试题分析:由切割线定理,得: 考点:切割线定理. 5.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 的弦的长是 【答案】 【解析】 试题分析:直线方程化为 ,圆方程化为: ,即 ,圆心坐标为 . 中,直线 ( )被圆 截得 ,即 6× =(12-R)(12+R),解得 R=8.

(0,1),半径 r=1,圆心到直线的距离为: .

,所以,截得的弦长为:

考点:1、极坐标方程化为普通方程;2、点到直线的距离;3、直线被圆所截弦长的求法;4、 数形结合的数学思想方法. 三、解答题 1.已知函数 (1)求 的值; ,

(2)若 【答案】(1) 【解析】

,且 ;(2)

,求 .

.

试题分析:(1)直接将 代入计算即可;(2)用二倍角的正弦、余弦公式化简,再将正弦、 余弦合为同一个的三角函数;根据已知条件,求出 试题解析:(1) (2) 的值.

因为 所以

,且

,所以



考点:1、三角恒等变换;2、三角函数的基本运算. 2.为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成 研究小组,有关数据见下表(单位:人) 高校 A B C 相关人数 18 36 54 2 抽取人数

(1)求 , ; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率. 【答案】(1) 【解析】 , ;(2) .

试题分析:(1)分层抽样中,每一层抽取的比例相同,列出比例求解;(2)记高校 的两 人为 ,高校 的两人为 ,列出基本事件的所有情况来求解. 试题解析:(1)由题意可得: (2)设事件 :2 人都来自高校 C 记高校 的两人为 ,高校 的两人为 , , , , ,即 , ,即

则选取 2 人的所包含的基本事件共有: , , , , ,

共有 10 种情况 , , 共 3 种情况

选取 2 人都来自高校 C 的所包含的基本事件有: 所以 .

考点:1、分层抽样;2、古典概型. 3.在边长为 现沿 的正方形 折叠,使 中, 分别为 的中点, 分别为 的中点, 三点重合,重合后的点记为 ,构成一个三棱锥.

(1)请判断 (2)证明 (3)求四棱锥

与平面 平面 ;

的位置关系,并给出证明;

的体积. 和 即可;(3)2.

【答案】(1)平行;(2)证明 【解析】

试题分析:本题考查空间想象能力,在折叠过程中,找到不变的量是求解的关键. (1)由中位线定理,可证明 试题解析:(1) 证明:由题意可知点 所以 平行 平行平面 在折叠前后都分别是 的中点(折叠后 两点重合) 平行 ;(2)证明 ,计算可得. 和 即可;(3)由

因为

,所以

平行平面

.

(2)证明:由题意可知 因为在折叠前

的关系在折叠前后都没有改变. ,点 ,所以

,由于折叠后

因为

,所以

平面

.

(3)

. 考点:1、线面平行;2、线面垂直的判定;3、三棱锥体积的求法. 4.数列 (1)求 ; (2)求数列 (3)设数列 的通项公式; 的前 项和为 ,且 ,求证:对任意正整数 ,总有 . 的各项均为正数, 为其前 项和,对于任意的 ,总有 成等差数列.

【答案】(1)1;(2) ;(3)求出 【解析】

试题分析:本题考查计算能力和数学转化思想.(1)由 入 可求;(2)由前 n 项和公式,可将 转化为 ,即

成等差数列,列出式子,代 ,可求得 ;

(3)用裂项相消法求出前 n 项和. 试题解析:(1)由已知:对于任意的 ,总有 成等差数列,





即 的各项均为正数,所以 ① ②

又因为数列 (2)

由①-②得: 即 均为正数 即

∴数列

是公差为 1 的等差数列

(3) 当 当 时, 时,

所以对任意正整数 ,总有

.

考点:(1)数列前 n 项和与通项公式之间的关系;(2)等差数列的通项公式;(3)裂项 相消法在数列求和中的应用. 5.已知点 、 ,若动点 满足 .

(1)求动点 的轨迹曲线 的方程; (2)在曲线 上求一点 ,使点 到直线: 【答案】(1) 【解析】 试题分析:本题考查计算能力和参数方程在求圆锥曲线最值中的应用.(1)由向量的坐标运 算,模公式可列出式子,化简求解;(2)将椭圆方程化为参数方程,由点到直线的距离公 式,转化为求三角函数的最值. 试题解析:(1)设点 坐标为 . 因为 ,所以 . , . ,则 , , , ;(2) . 的距离最小.

,化简得

.

所以动点 的轨迹为 (2)点 在 记 到直线

上,设点 坐标为 的距离为





时 有最小值 .



此时点 坐标为

考点:1、平面向量的坐标运算;2、椭圆方程及其性质;3、点到直线的距离公式;4、椭圆 的参数方程;5、三角恒等变换与三角函数运算. 6.已知函数 (1)求 (2)若 的值; ,解不等式 ; 在区间 上有最小值 ?若存在,请求出实数 满足 , 且 在 上恒成立.

(3)是否存在实数 ,使函数 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) , ;(2)当 时,

, 在 上有最小值-5.

,当

;(3)当 【解析】

试题分析:本题考查计算能力和分类讨论的数学思想.(1)求函数的导数,由二次函数知识 求恒成立问题;(2)求导,化为 函数 讨论. 时,对 b 的值分类讨论,分别求解;(3)对 与区间 的关系来分类 求导后,其导函数是一个二次函数,根据对轴称

试题解析:(1)



恒成立; 即 显然 ∴ 恒成立; 时,上式不能恒成立; ,由于对一切 ,即 则有: ,解得: ;

∴ (2)



.

由 即 ∴当

得: ,即 , , ;





. 在区间 图象开口向上且对称轴为 上有最小值-5.

(3)假设存在实数 使函数

①当

,此时函数

在区间

上是递增的;

解得 ②当



矛盾

; ,此时函数 在区间 上是递减的,而在区间 上

是递增的, 即 解得 ;

. ③当 ,即 解得 ,满足 时, 在 上有最小值-5. ,此时函数 在区间 上递减的;

综上知:当

考点:1、函数的导数及其应用;2、二次函数的图象及其性质;3、分类讨论的数学思想.


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