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永清县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

永清县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若函数 f(x)的定义域为 R,则“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥面 SAC;④EP∥面 SBD 中恒成立的为( ) )

姓名__________

分数__________

A.②④ A.45 B.90

B.③④ C.120 D.360

C.①② )

D.①③

3. 由两个 1,两个 2,两个 3 组成的 6 位数的个数为(

4. 设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 则 r=( A. C. ) B. D. )

,类比这个结论可

知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,

5. 已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,则 a 的值等于( A.8 B.1 C.5 D.﹣1 )an+sin
2

6. 已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2 A.89 B.76 C.77 D.35

,则该数列的前 10 项和为(



7. 已知 f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0;

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④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④ )

8. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是(

A. A.28

= B.76

B.


2 2 3 3

C.
4 4 5 5

D. )

9. 观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a10+b10=( C.123 D.199 )的图象向左平移 10.设命题 p:函数 y=sin(2x+ A.p 为假

个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 )

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假 ) D.? ={0} ) C.0∈{0} 11.下列关系式中,正确的是( A.? ∈{0} B.0? {0}

12.拋物线 E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 C:x2-y2=2 的焦点重合,C 的渐近线与拋物线 E 交于非原 点的 P 点,则点 P 到 E 的准线的距离为( A.4 C.8 B.6 D.10 ▲ .

二、填空题
13.已知集合 A ? ?x | 0 ? x≤3, x ? R? , B ? ?x | ?1≤x≤2, x ? R? ,则 A∪B= ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 其中正确的是 .(填上所有正确命题的编号) 14.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论:

x 15.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? e ?
2 的底数,则不等式 f ? x ? 2 ? ? f x ? 4 ? 0 的解集为________.

?

?

1 ,其中 e 为自然对数 ex

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16.直线 l: 是 .

(t 为参数)与圆 C:

(θ 为参数)相交所得的弦长的取值范围

17.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 的最小值是 .



18.当 a>0,a≠1 时,函数 f(x)=loga(x﹣1)+1 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx﹣y+n=0 上,则 4m+2n

三、解答题
19.已知等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 的公差 , , ,求 . 的最大值. 的通项公式; ,记数列 前 n 项的乘积为

20.设函数 f(x)=lnx+ ,k∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 k 值; (Ⅱ)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知函数 f(x)在 x=e 处取得极小值,不等式 f(x)< 的解集为 P,若 M={x|e≤x≤3},且 M∩P≠?,求 实数 m 的取值范围.

21.一台还可以用的机器由于使用的时间较长,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小 时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化,下表为抽样试验结果: 转速 x(转/秒) 16 14 12 8

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每小时生产有缺陷的零件数 y(件) 11 (1)画出散点图; 内?

9

8

5

(2)如果 y 与 x 有线性相关的关系,求回归直线方程;

(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为 10 个,那么机器的转运速度应控制在什么范围

参考公式:线性回归方程系数公式开始 =



= ﹣ x.

22.(本小题满分 12 分)

如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=4,D1F=8,过点 E,F,C 的平面 α 与长方体的面 相交,交线围成一个四边形. (1)在图中画出这个四边形(不必说明画法和理由); (2)求平面α 将长方体分成的两部分体积之比.

23.已知 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行.

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(1)求函数的单调区间; (2)若 x∈[1,3]时,f(x)>1﹣4c2 恒成立,求实数 c 的取值范围.

24.已知椭圆 C: 的右顶点.

+

=1(a>b>0)与双曲线

2 ﹣y =1 的离心率互为倒数,且直线 x﹣y﹣2=0 经过椭圆

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; N 两点, MN、 ON 的斜率依次成等比数列, (Ⅱ) 设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M、 且直线 OM、 求△ OMN 面积的取值范围.

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永清县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:由奇函数的定义可知:若 f(x)为奇函数, 则任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x),取 x=0,可得 f(0)=0;
2 而仅由 f(0)=0 不能推得 f(x)为奇函数,比如 f(x)=x ,

显然满足 f(0)=0,但 f(x)为偶函数. 由充要条件的定义可得:“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A. 2. 【答案】 A 【解析】解:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 在①中:由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线, 不可能 EP∥BD,因此不正确; 在②中:由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD, ∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD, ∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, ∴EM∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=M, ∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 在③中:由①同理可得:EM⊥平面 SAC, 若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM,与 EP∩EM=E 相矛盾, 因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正确. 在④中:由②可知平面 EMN∥平面 SBD, ∴EP∥平面 SBD,因此正确. 故选:A.

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【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

3. 【答案】B 【解析】解:问题等价于从 6 个位置中各选出 2 个位置填上相同的 1,2,3,
2 2 2 所以由分步计数原理有:C6 C4 C2 =90 个不同的六位数,

故选:B. 【点评】本题考查了分步计数原理,关键是转化,属于中档题. 4. 【答案】 C 【解析】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

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【点评】 类比推理是指依据两类数学对象的相似性, 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象 ①找出两类事物之间的相似性或者一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 上去. 一般步骤: 得出一个明确的命题(或猜想). 5. 【答案】B 【解析】解:∵函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,令 3x+2=2,解得 x=0, ∴a=2×0+1=1. 故选:B. 6. 【答案】C 【解析】解:因为 a1=1,a2=2,所以 a3=(1+cos
* a2k+1=[1+cos2 一般地, 当 n=2k﹣1 (k∈N ) 时, 2

)a1+sin

2

=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4. =a2k﹣1+1, 即 a2k+1﹣a2k﹣1=1.

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2k﹣1=k. 当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=(1+cos
* 2

)a2k+sin

2

=2a2k.

k 所以数列{a2k}是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k=2 .

该数列的前 10 项的和为 1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选:C. 7. 【答案】C 【解析】解:求导函数可得 f′(x)=3x ﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3), ∵a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. ∴a<1<b<3<c,
3 2 设 f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x ﹣(a+b+c)x +(ab+ac+bc)x﹣abc, 3 2 ∵f(x)=x ﹣6x +9x﹣abc, 2

∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9, ∴b+c=6﹣a, ∴bc=9﹣a(6﹣a)< ∴a ﹣4a<0, ∴0<a<4, ∴0<a<1<b<3<c, ∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,
2



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∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0. 故选:C. 8. 【答案】D 【解析】解:由图可知, 故选 D. 【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题. 9. 【答案】C 【解析】解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项 的和,所求值为数列中的第十项.
10 10 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123,即 a +b =123,.

,但

不共线,故



故选 C. 10.【答案】C 【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; 函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 11.【答案】C 【解析】解:对于 A??{0},用“∈”不对, 对于 B 和 C,元素 0 与集合{0}用“∈”连接,故 C 正确; 对于 D,空集没有任何元素,{0}有一个元素,故不正确. 12.【答案】
x

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

=

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

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x2 y2 p 【解析】解析:选 D.双曲线 C 的方程为 - =1,其焦点为(± 2,0),由题意得 =2, 2 2 2 ∴p=4,即拋物线方程为 y2=8x, 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x,
2 ? ?y =8x 由? ,解得 x=0(舍去)或 x=8,则 P 到 E 的准线的距离为 8+2=10,故选 D. x ? y =± ?

二、填空题
13.【答案】1-1,3] 【解析】 试题分析:A∪B= ?x | 0 ? x≤3, x ? R? 考点:集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点 集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图 表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 14.【答案】 ②③④

?x | ?1≤x≤2, x ? R? =1-1,3]

【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键. 15.【答案】 ? ?3, 2?
x 【解析】∵ f ? x ? ? e ?

x ?x 又∵ f ? ? x ? ? e ? e

f ? x ? 2 ? ? f 4 ? x 2 ,即 x ? 2 ? 4 ? x2 ,解得: ?3 ? x ? 2 ,即不等式 f ? x ? 2 ? ? f x 2 ? 4 ? 0 的解集为

?

1 1 1? ? , x ? R ,∴ f ? ? x ? ? e? x ? ? x ? ? ? e x ? x ? ? ? f ? x ? ,即函数 f ? x ? 为奇函数, x e e e ? ? ? 0 恒成立,故函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,不等式 f ? x ? 2 ? ? f ? x 2 ? 4 ? ? 0 可转化为

?

?

?

2? ,故答案为 ? ?3, 2? . ? ?3,
16.【答案】 [4 ,16] .

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【解析】解:直线 l: 化为普通方程是 即 y=tanα?x+1; 圆 C 的参数方程 = ,

(t 为参数),

(θ 为参数),

2 2 化为普通方程是(x﹣2) +(y﹣1) =64;

画出图形,如图所示



∵直线过定点(0,1), ∴直线被圆截得的弦长的最大值是 2r=16, 最小值是 2 故答案为:[4 =2× ,16]. ,16]. =2× =4 ∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题,解题时先把参数方程化为普通方程,再画出图形,数形 结合,容易解答本题. 17.【答案】 (﹣4, ) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4,

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故答案为:(﹣4,

).

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 18.【答案】 2 .

【解析】解:整理函数解析式得 f(x)﹣1=loga(x﹣1),故可知函数 f(x)的图象恒过(2,1)即 A(2,1), 故 2m+n=1.
m n ∴4 +2 ≥2 m n

=2

=2



当且仅当 4 =2 ,即 2m=n, 即 n= ,m= 时取等号.
m n ∴4 +2 的最小值为 2



故答案为:2

三、解答题
19.【答案】 【解析】【知识点】等差数列 【试题解析】(Ⅰ)由题意,得 解得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 所以 所以只需求出 由(Ⅰ),得 因为 所以当 ,或 时, , 取到最大值 . . 或 (舍). . . . 的最大值. .

所以 的最大值为 20.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)由条件得 f′(x)= ﹣

(x>0),

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线 x﹣2=0 垂直, ∴此切线的斜率为 0, 即 f′(e)=0,有 ﹣ =0,得 k=e;

(Ⅱ)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2 恒成立…(*) 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0),∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 h′(x)= ﹣
2 2 ﹣1≤00 在(0,+∞)上恒成立,得 k≥﹣x +x=(﹣x﹣ ) + (x>0)恒成立,

∴k≥ (对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立), 故 k 的取值范围是[ ,+∞); (Ⅲ)由题可得 k=e, 因为 M∩P≠?,所以 f(x)< 在[e,3]上有解, 即?x∈[e,3],使 f(x)< 成立, 即?x∈[e,3],使 m>xlnx+e 成立,所以 m>(xlnx+e)min, 令 g(x)=xlnx+e,g′(x)=1+lnx>0,所以 g(x)在[e,3]上单调递增, g(x)min=g(e)=2e, 所以 m>2e. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,主要考查函数的单调性的运用,考查不等式存在性 和恒成立问题的解决方法,考查运算能力,属于中档题.

21.【答案】 【解析】 【专题】应用题;概率与统计. 【分析】(1)利用所给的数据画出散点图; (2)先做出横标和纵标的平均数,做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量,做出系数,求出 a,写 出线性回归方程. (3)根据上一问做出的线性回归方程,使得函数值小于或等于 10,解出不等式. 【解答】解:(1)画出散点图,如图所示:

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(2) =12.5, a=﹣0.8575

=8.25,∴b=

≈0.7286,

∴回归直线方程为:y=0.7286x﹣0.8575; (3)要使 y≤10,则 0.728 6x﹣0.8575≤10,x≤14.901 9.故机器的转速应控制在 14.9 转/秒以下.

【点评】本题考查线性回归分析,考查线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查不等式的解法,是一个 综合题目. 22.【答案】 【解析】解:

(1)交线围成的四边形 EFCG(如图所示). (2)∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 平面 A1B1C1D1∩α =EF, 平面 ABCD∩α=GC, ∴EF∥GC,同理 EG∥FC. ∴四边形 EFCG 为平行四边形, 过 E 作 EM⊥D1F,垂足为 M, ∴EM=BC=10, ∵A1E=4,D1F=8,∴MF=4. ∴GC=EF= ∴GB= EM2+MF2= 102+42= 116, GC2-BC2= 116-100=4(事实上 Rt△EFM≌Rt△CGB).

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过 C1 作 C1H∥FE 交 EB1 于 H,连接 GH,则四边形 EHC1F 为平行四边形,由题意知,B1H=EB1-EH=12-8 =4=GB. ∴平面 α 将长方体分成的右边部分由三棱柱 EHGFC1C 与三棱柱 HB1C1?GBC 两部分组成. 其体积为 V2=V 三棱柱 EHGFC1C+V 三棱柱 HB1C1?GBC =S△FC1C·B1C1+S△GBC·BB1 1 1 = ×8×8×10+ ×4×10×8=480, 2 2 ∴平面 α 将长方体分成的左边部分的体积 V1=V 长方体-V2=16×10×8-480=800. V1 800 5 ∴ = = , V2 480 3 5 3 ∴其体积比为 ( 也可以). 3 5 23.【答案】 【解析】解:(1)由题意:f′(x)=3x2+6ax+3b 直线 6x+2y+5=0 的斜率为﹣3; 由已知 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

所以由 f′(x)=3x2﹣6x>0 得心 x<0 或 x>2; 所以当 x∈(0,2)时,函数单调递减; 当 x∈(﹣∞,0),(2,+∞)时,函数单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)知,函数在 x∈(1,2)时单调递减,在 x∈(2,3)时单调递增; 所以函数在区间[1,3]有最小值 f(2)=c﹣4 要使 x∈[1,3],f(x)>1﹣4c2 恒成立 只需 1﹣4c2<c﹣4 恒成立,所以 c< 故 c 的取值范围是{c|c 或 c>1.

或 c>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义, 以及利用导数解决函数在闭区间上的最 值问题和函数恒成立问题,综合性较强,属于中档题.

24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵双曲线的离心率为 又∵直线 x﹣y﹣2=0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为(2,0),即 a=2,c= ,b=1,… ,所以椭圆的离心率 ,

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∴椭圆方程为:

.…

(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:y=kx+m?(k≠0,m≠0),M(x1,y1)、N(x2,y2) 联立
2 2 2 消去 y 并整理得:(1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0…

则 于是

, …

又直线 OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列. ∴ 由 m≠0 得:
2 2 2 2 2 2 2 又由△=64k m ﹣16(1+4k )(m ﹣1)=16(4k ﹣m +1)>0,得:0<m <2 2 显然 m ≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,



直线 OM、ON 中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾) 设原点 O 到直线的距离为 d,则



∴故由 m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)… 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,弦长公式以及三角形的面积的表式,考查转化思想以及计算能 力.

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