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2016年抚顺市中考数学试卷(word解析版)

2016 年抚顺市中考数学试卷(word 解析版)

一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.3 的相反数是( ) A.﹣ B.﹣3 C.3 D. 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3.函数 y=

中自变量 x 的取值范围是( )

A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3 4.下图所示几何体的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

5.下列运算正确的是( ) A.a2+4a﹣4=(a+2)2 B.a2+a2=a4 C.(﹣2ab)2=﹣4a2b2 D.a4÷a=a3 6.一次函数 y=2x﹣4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,O 为原点,则△AOB 的面 积是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.下列调查中最适合采用全面调查的是( ) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.端午节期间,抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况 C.调查某班 40 名同学的视力情况

D.调查某池塘中现有鱼的数量 8.下列事件是必然事件的为( ) A.购买一张彩票,中奖 B.通常加热到 100℃时,水沸腾 C.任意画一个三角形,其内角和是 360° D.射击运动员射击一次,命中靶心 9.某公司今年销售一种产品,一月份获得利润 10 万元,由于产品畅销,利润逐月增加,一 季度共获利 36.4 万元,已知 2 月份和 3 月份利润的月增长率相同.设 2,3 月份利润的月增 长率为 x,那么 x 满足的方程为( ) A.10(1+x)2=36.4 B.10+10(1+x)2=36.4 C.10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4 D.10+10(1+x)+10(1+x)2=36.4
10.如图,矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y= (x<0)的图象上,顶点 B,C 在 x 轴 上,对角线 AC 的延长线交 y 轴于点 E,连接 BE,若△BCE 的面积是 6,则 k 的值为( )

A.﹣6 B.﹣8 C.﹣9 D.﹣12

二、填空题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 11.2016 年我国约有 9 400 000 人参加高考,将 9 400 000 用科学记数法表示为________. 12.分解因式:a2b﹣2ab+b=________.

13.不等式组

的解集是________.

14.某校九年二班在体育加试中全班所有学生的得分情况如表所示:

分数段(分) 15﹣19

20﹣24

25﹣29

30

人数

1

5

9

25

从九年二班的学生中随机抽取一人,恰好是获得 30 分的学生的概率为________.

15.八年三班五名男生的身高(单位:米)分别为 1.68,1.70,1.68,1.72,1.75,则这五名 男生身高的中位数是________米.

16.若关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0 有实数根,则 a 的取值范围为________. 17.如图,点 B 的坐标为(4,4),作 BA⊥x 轴,BC⊥y 轴,垂足分别为 A,C,点 D 为线 段 OA 的中点,点 P 从点 A 出发,在线段 AB、BC 上沿 A→B→C 运动,当 OP=CD 时,点 P 的坐标为________.
18.如图,△A1A2A3,△A4A5A5,△A7A8A9,…,△A3n﹣2A3n﹣1A3n(n 为正整数)均为等 边三角形,它们的边长依次为 2,4,6,…,2n,顶点 A3,A6,A9,…,A3n 均在 y 轴上, 点 O 是所有等边三角形的中心,则点 A2016 的坐标为________.

三、解答题(第 19 题 10 分,第 20 题 12 分,共 22 分)

19.先化简,再求值:

÷(1+

),其中 x= ﹣1.

20.如图,AE∥BF,AC 平分∠BAE,且交 BF 于点 C,BD 平分∠ABF,且交 AE 于点 D, AC 与 BD 相交于点 O,连接 CD
(1)求∠AOD 的度数;
(2)求证:四边形 ABCD 是菱形.

四、解答题(第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 24 分) 21.某电视台为了解本地区电视节目的收视情况,对部分广州开展了“你最喜爱的电视节目” 的问卷调查(每人只填写一项),根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,根据要
求回答下列问题:
(1)本次问卷调查共调查了________名观众; (2)图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为________,“综艺节目”在扇 形统计图中所对应的圆心角的度数为________; (3)补全图①中的条形统计图; (4)现有最喜爱“新闻节目”(记为 A),“体育节目”(记为 B),“综艺节目”(记为 C),“科 普节目”(记为 D)的观众各一名,电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动,请用列 表或画树状图的方法,求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率. 22.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点,连接 AC,∠MAC=∠CAB,作 CD⊥ AM,垂足为 D. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若∠ACD=30°,AD=4,求图中阴影部分的面积.
五、解答题(满分 12 分) 23.小明要测量公园北湖水隔开的两棵大树 A 和 B 之间的距离,他在 A 处测得大树 B 在 A 的北偏西 30°方向,他从 A 处出发向北偏东 15°方向走了 200 米到达 C 处,测得大树 B 在 C 的北偏西 60°方向.

(1)求∠ABC 的度数; (2)求两棵大树 A 和 B 之间的距离(结果精确到 1 米)(参考数据: ≈1.414, ≈1.732,
≈2.449)
六、解答题(满分 12 分) 24.有一家苗圃计划植桃树和柏树,根据市场调查与预测,种植桃树的利润 y1(万元)与 投资成本 x(万元)满足如图①所示的二次函数 y1=ax2;种植柏树的利润 y2(万元)与投 资成本 x(万元)满足如图②所示的正比例函数 y2=kx.
(1)分别求出利润 y1(万元)和利润 y2(万元)关于投资成本 x(万元)的函数关系式; (2)如果这家苗圃以 10 万元资金投入种植桃树和柏树,桃树的投资成本不低于 2 万元且不 高于 8 万元,苗圃至少获得多少利润?最多能获得多少利润?
七、解答题(满分 12 分) 25.如图,在△ABC 中,BC>AC,点 E 在 BC 上,CE=CA,点 D 在 AB 上,连接 DE,∠ ACB+∠ADE=180°,作 CH⊥AB,垂足为 H. (1)如图 a,当∠ACB=90°时,连接 CD,过点 C 作 CF⊥CD 交 BA 的延长线于点 F. ①求证:FA=DE; ②请猜想三条线段 DE,AD,CH 之间的数量关系,直接写出结论; (2)如图 b,当∠ACB=120°时,三条线段 DE,AD,CH 之间存在怎样的数量关系?请证 明你的结论.

八、解答题(满分 14 分)
26.如图,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0),点 C(0,4),作 CD∥x 轴交抛物 线于点 D,作 DE⊥x 轴,垂足为 E,动点 M 从点 E 出发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度 的速度向点 A 运动,同时动点 N 从点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒. (1)求抛物线的解析式; (2)设△DMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式; (3)①当 MN∥DE 时,直接写出 t 的值; ②在点 M 和点 N 运动过程中,是否存在某一时刻,使 MN⊥AD?若存在,直接写出此时 t 的值;若不存在,请说明理由.

2016 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.3 的相反数是( ) A.﹣ B.﹣3 C.3 D. 【考点】相反数. 【分析】根据相反数的定义即可求解. 【解答】解:3 的相反数是﹣3, 故选 B.
2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形, 以及轴对称图形的定义即可判断出. 【解答】解:A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确; B、该图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项错误; C、该图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项错误; D、该图形既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误; 故选:A.

3.函数 y=

中自变量 x 的取值范围是( )

A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3

【考点】函数自变量的取值范围.

【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得 3﹣x≥0, 解得 x≤3. 故选:C.
4.下图所示几何体的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】根据主视图的意义和几何体得出即可.

【解答】解:几何体的主视图是



故选 A.

5.下列运算正确的是( ) A.a2+4a﹣4=(a+2)2 B.a2+a2=a4 C.(﹣2ab)2=﹣4a2b2 D.a4÷a=a3 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;因式分解-运用公式法. 【分析】根据完全平方公式;合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数, 字母和字母的指数不变;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;同底 数幂相除,底数不变指数相减,对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、a2+4a+4=(a+2)2,故 A 错误; B、a2+a2=2a2,故 B 错误; C、(﹣2ab)2=4a2b2,故 C 错误; D、a4÷a=a3,故 D 正确. 故选:D.

6.一次函数 y=2x﹣4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,O 为原点,则△AOB 的面 积是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】由直线解析式可求得 A、B 两点的坐标,从而可求得 OA 和 OB 的长,再利用三角 形的面积可求得答案. 【解答】解: 在 y=2x﹣4 中,令 y=0 可得 x=2,令 x=0 可得 y=﹣4, ∴A(2,0),B(0,﹣4), ∴OA=2,OB=4,
∴S△ AOB= OA?OB= ×2×4=4,
故选 B.
7.下列调查中最适合采用全面调查的是( ) A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.端午节期间,抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况 C.调查某班 40 名同学的视力情况 D.调查某池塘中现有鱼的数量 【考点】全面调查与抽样调查. 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得 到的调查结果比较近似判断即可. 【解答】解:A、调查某批次汽车的抗撞击能力,破坏力强,适宜抽查; B、端午节期间,抚顺市食品安全检查部门调查市场上粽子的质量情况,范围比较广,适宜 抽查; C、调查某班 40 名同学的视力情况,调查范围比较小,适宜全面调查; D、调查某池塘中现有鱼的数量,调查难度大,适宜抽查, 故选 C.
8.下列事件是必然事件的为( )

A.购买一张彩票,中奖 B.通常加热到 100℃时,水沸腾 C.任意画一个三角形,其内角和是 360° D.射击运动员射击一次,命中靶心 【考点】随机事件. 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件. 【解答】解:A、购买一张彩票,中奖,是随机事件; B、通常加热到 100℃时,水沸腾,是必然事件; C、任意画一个三角形,其内角和是 360°,是不可能事件; D、射击运动员射击一次,命中靶心,是随机事件; 故选:B.
9.某公司今年销售一种产品,一月份获得利润 10 万元,由于产品畅销,利润逐月增加,一 季度共获利 36.4 万元,已知 2 月份和 3 月份利润的月增长率相同.设 2,3 月份利润的月增 长率为 x,那么 x 满足的方程为( ) A.10(1+x)2=36.4 B.10+10(1+x)2=36.4 C.10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4 D.10+10(1+x)+10(1+x)2=36.4 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【分析】等量关系为:一月份利润+一月份的利润×(1+增长率)+一月份的利润×(1+增长 率)2=34.6,把相关数值代入计算即可. 【解答】解:设二、三月份的月增长率是 x,依题意有 10+10(1+x)+10(1+x)2=36.4, 故选 D.
10.如图,矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y= (x<0)的图象上,顶点 B,C 在 x 轴 上,对角线 AC 的延长线交 y 轴于点 E,连接 BE,若△BCE 的面积是 6,则 k 的值为( )

A.﹣6 B.﹣8 C.﹣9 D.﹣12 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义;矩形的性质;平行线分线段成比例. 【分析】先设 D(a,b),得出 CO=﹣a,CD=AB=b,k=ab,再根据△BCE 的面积是 6,得 出 BC×OE=12,最后根据 AB∥OE,得出 = ,即 BC?EO=AB?CO,求得 ab 的值即可. 【解答】解:设 D(a,b),则 CO=﹣a,CD=AB=b, ∵矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y= (x<0)的图象上, ∴k=ab, ∵△BCE 的面积是 6, ∴ ×BC×OE=6,即 BC×OE=12, ∵AB∥OE, ∴ = ,即 BC?EO=AB?CO, ∴12=b×(﹣a),即 ab=﹣12, ∴k=﹣12, 故选(D).
二、填空题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 11.2016 年我国约有 9 400 000 人参加高考,将 9 400 000 用科学记数法表示为 9.4×106 . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】数据绝对值大于 10 或小于 1 时科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式.其中 1≤ |a|<10,n 为整数,确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对 值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于 10 时,n 是正数;当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数. 【解答】解:9 400 000=9.4×106;

故答案为:9.4×106.
12.分解因式:a2b﹣2ab+b= b(a﹣1)2 . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】先提取公因式 b,再利用完全平方公式进行二次分解. 【解答】解:a2b﹣2ab+b, =b(a2﹣2a+1),…(提取公因式) =b(a﹣1)2.…(完全平方公式)

13.不等式组

的解集是 ﹣7<x≤1 .

【考点】解一元一次不等式组. 【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解,合在一起即可得出不等式组的解集.

【解答】解:



解不等式①,得 x≤1; 解不等式②,得 x>﹣7. ∴不等式组的解集为﹣7<x≤1. 故答案为:﹣7<x≤1.

14.某校九年二班在体育加试中全班所有学生的得分情况如表所示:

分数段(分) 15﹣19

20﹣24

25﹣29

30

人数

1

5

9

25

从九年二班的学生中随机抽取一人,恰好是获得 30 分的学生的概率为



【考点】概率公式.
【分析】根据统计表的意义,将各组的频数相加可得班级的总人数;读表可得恰好是获得 30 分的学生的频数,计算可得答案. 【解答】解:该班共有 1+5+9+25=40 人.

P(30)= = ,

故答案为: .
15.八年三班五名男生的身高(单位:米)分别为 1.68,1.70,1.68,1.72,1.75,则这五名 男生身高的中位数是 1.70 米. 【考点】中位数. 【分析】先把这些数从小到大排列,找出最中间的数即可得出答案. 【解答】解:把这些数从小到大排列为:1.68,1.68,1.70,1.72,1.75, 最中间的数是 1.70, 则这五名男生身高的中位数是 1.70 米; 故答案为:1.70.
16.若关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0 有实数根,则 a 的取值范围为 a≤ 且 a≠1 . 【考点】根的判别式. 【分析】由一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0 有实数根,则 a﹣1≠0,即 a≠1,且△≥0,即 △=(﹣1)2﹣4(a﹣1)=5﹣4a≥0,然后解两个不等式得到 a 的取值范围. 【解答】解:∵一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0 有实数根, ∴a﹣1≠0 即 a≠1,且△≥0,即有△=(﹣1)2﹣4(a﹣1)=5﹣4a≥0,解得 a≤ ,
∴a 的取值范围是 a≤ 且 a≠1.
故答案为:a≤ 且 a≠1.
17.如图,点 B 的坐标为(4,4),作 BA⊥x 轴,BC⊥y 轴,垂足分别为 A,C,点 D 为线 段 OA 的中点,点 P 从点 A 出发,在线段 AB、BC 上沿 A→B→C 运动,当 OP=CD 时,点 P 的坐标为 (2,4)或(4,2) .

【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质.
【分析】分两种情况①当点 P 在正方形的边 AB 上时,根据正方形的性质用 HL 判断出 Rt △OCD≌Rt△OAP,得出 AP=2,得出点 P 的坐标,②当点 P 在正方形的边 BC 上时,同 ①的方法即可.
【解答】解:①当点 P 在正方形的边 AB 上时,

在 Rt△OCD 和 Rt△OAP 中



∴Rt△OCD≌Rt△OAP, ∴OD=AP, ∵点 D 是 OA 中点,

∴OD=AD= OA,

∴AP= AB=2,
∴P(4,2), ②当点 P 在正方形的边 BC 上时, 同①的方法,得出 CP= BC=2, ∴P(2,4) ∴P(2,4)或(4,2) 故答案为(2,4)或(4,2)

18.如图,△A1A2A3,△A4A5A5,△A7A8A9,…,△A3n﹣2A3n﹣1A3n(n 为正整数)均为等 边三角形,它们的边长依次为 2,4,6,…,2n,顶点 A3,A6,A9,…,A3n 均在 y 轴上, 点 O 是所有等边三角形的中心,则点 A2016 的坐标为 (0,448 ) .

【考点】等边三角形的性质;规律型:点的坐标.
【分析】先关键等边三角形的性质和已知条件得出 A3 的坐标,根据每一个三角形有三个顶 点确定出 A2016 所在的三角形,再求出相应的三角形的边长以及 A2016 的纵坐标的长度,即 可得解;
【解答】解:∵,△A1A2A3 为等边三角形,边长为 2,点 A3,A6,A9,…,A3n 均在 y 轴 上,点 O 是所有等边三角形的中心,

∴A3 的坐标为(0,

),

∵2016÷3=672, ∴A2016 是第 672 个等边三角形的第 3 个顶点,

∴点 A2016 的坐标为(0, ×

),

即点 A2016 的坐标为(0,448 ); 故答案为:(0,448 ).

三、解答题(第 19 题 10 分,第 20 题 12 分,共 22 分)

19.先化简,再求值:

÷(1+

),其中 x= ﹣1.

【考点】分式的化简求值.

【分析】分式的化简,要熟悉混合运算的顺序,分子、分母能因式分解的先因式分解;除法

要统一为乘法运算,注意化简后,将

,代入化简后的式子求出即可.

【解答】解:

=

÷(

+



=

÷

=

×

=,



,代入原式= =

==.

20.如图,AE∥BF,AC 平分∠BAE,且交 BF 于点 C,BD 平分∠ABF,且交 AE 于点 D, AC 与 BD 相交于点 O,连接 CD
(1)求∠AOD 的度数;
(2)求证:四边形 ABCD 是菱形.

【考点】菱形的判定. 【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,然后根据平 行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°,从而得到∠BAC+∠ABD= (∠DAB+∠ABC)= × 180°=90°,得到答案∠AOD=90°; (2)根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,根据角平分线定义得出∠ DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,求出∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,根据等腰三角形的 判定得出 AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形,即可得出 答案. 【解答】解:(1)∵AC、BD 分别是∠BAD、∠ABC 的平分线, ∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC, ∵AE∥BF, ∴∠DAB+∠CBA,=180°,
∴∠BAC+∠ABD= (∠DAB+∠ABC)= ×180°=90°,
∴∠AOD=90°;

(2)证明:∵AE∥BF, ∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA, ∵AC、BD 分别是∠BAD、∠ABC 的平分线, ∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC, ∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB, ∴AB=BC,AB=AD ∴AD=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵AD=AB, ∴四边形 ABCD 是菱形.
四、解答题(第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 24 分) 21.某电视台为了解本地区电视节目的收视情况,对部分广州开展了“你最喜爱的电视节目” 的问卷调查(每人只填写一项),根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图,根据要
求回答下列问题:
(1)本次问卷调查共调查了 200 名观众; (2)图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 40% ,“综艺节目”在扇 形统计图中所对应的圆心角的度数为 63° ; (3)补全图①中的条形统计图; (4)现有最喜爱“新闻节目”(记为 A),“体育节目”(记为 B),“综艺节目”(记为 C),“科 普节目”(记为 D)的观众各一名,电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动,请用列 表或画树状图的方法,求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率. 【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图. 【分析】(1)用喜欢科普节目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;

(2)用喜爱“新闻节目”的人数除以调查总人数得到它所占的百分比,然后用 360 度乘以喜 欢“综艺节目”的人数所占的百分比得到综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数; (3)用调查的总人数分别减去喜欢新闻、综艺、科普的人数得到喜欢体育的人数,然后补 全图①中的条形统计图; (4)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果 数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:(1)本次问卷调查共调查的观众数为 45÷22.5%=200(人); (2)图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 50÷200=40%;“综艺节目” 在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 360°× =63°; 故答案为 200,40%,63°; (3)最喜爱“新闻节目”的人数为 200﹣50﹣35﹣45=70(人), 如图,
(4)画树状图为:
共有 12 种等可能的结果数,恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为 2, 所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率= = .
22.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点,连接 AC,∠MAC=∠CAB,作 CD⊥ AM,垂足为 D. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若∠ACD=30°,AD=4,求图中阴影部分的面积.

【考点】切线的判定;扇形面积的计算. 【分析】(1)先证明 OC∥AM,由 CD⊥AM,推出 OC⊥CD 即可解决问题. (2)根据 S 阴=S△ ACD﹣(S 扇形 OAC﹣S△ AOC)计算即可. 【解答】解:(1)连接 OC. ∵OA=OC. ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠MAC=∠OAC, ∴∠MAC=∠OCA, ∴OC∥AM, ∵CD⊥AM, ∴OC⊥CD, ∴CD 是⊙O 的切线.

(2)在 RT△ACD 中,∵∠ACD=30°,AD=4,∠ADC=90°, ∴AC=2AD=8,CD= AD=4 , ∵∠MAC=∠OAC=60°,OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形, ∴S 阴=S△ ACD﹣(S 扇形 OAC﹣S△ AOC)

= ×4×4 ﹣(

﹣ ×82)

=24 ﹣ π.

五、解答题(满分 12 分) 23.小明要测量公园北湖水隔开的两棵大树 A 和 B 之间的距离,他在 A 处测得大树 B 在 A 的北偏西 30°方向,他从 A 处出发向北偏东 15°方向走了 200 米到达 C 处,测得大树 B 在 C 的北偏西 60°方向. (1)求∠ABC 的度数; (2)求两棵大树 A 和 B 之间的距离(结果精确到 1 米)(参考数据: ≈1.414, ≈1.732,
≈2.449)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】(1)先利用平行线的性质得∠ACM=∠DAC=15°,再利用平角的定义计算出∠ ACB=105°,然后根据三角形内角和计算∠ABC 的度数; (2)作 CH⊥AB 于 H,如图,易得△ACH 为等腰直角三角形,则 AH=CH= AC=100 , 在 Rt△BCH 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BH= CH=100 , AB=AH+BH=100 +100 ,然后进行近似计算即可. 【解答】解:(1)∵CM∥AD, ∴∠ACM=∠DAC=15°, ∴∠ACB=180°﹣∠BCN﹣∠ACM=180°﹣60°﹣15°=105°, 而∠BAC=30°+15°=45°, ∴∠ABC=180°﹣45°﹣105°=30°; (2)作 CH⊥AB 于 H,如图, ∵∠BAC=45°, ∴△ACH 为等腰直角三角形, ∴AH=CH= AC= ×200=100 , 在 Rt△BCH 中,∵∠HBC=30°,

∴BH= CH=100 , ∴AB=AH+BH=100 +100 ≈141.4+244.9≈386. 答:两棵大树 A 和 B 之间的距离约为 386 米.
六、解答题(满分 12 分) 24.有一家苗圃计划植桃树和柏树,根据市场调查与预测,种植桃树的利润 y1(万元)与 投资成本 x(万元)满足如图①所示的二次函数 y1=ax2;种植柏树的利润 y2(万元)与投 资成本 x(万元)满足如图②所示的正比例函数 y2=kx.
(1)分别求出利润 y1(万元)和利润 y2(万元)关于投资成本 x(万元)的函数关系式; (2)如果这家苗圃以 10 万元资金投入种植桃树和柏树,桃树的投资成本不低于 2 万元且不 高于 8 万元,苗圃至少获得多少利润?最多能获得多少利润? 【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用;一次函数的应用. 【分析】(1)利用待定系数法求两个函数的解析式; (2)根据总投资成本为 10 万元,设种植桃树的投资成本 x 万元,总利润为 W 万元,则种 植柏树的投资成本(10﹣x)万元,列函数关系式,发现是二次函数,画出函数图象,找出 当 2≤x≤8 时的最小利润和最大利润. 【解答】解:(1)把(4,1)代入 y1=ax2 中得: 16a=1, a= ,

∴y1= x2, 把(2,1)代入 y2=kx 中得: 2k=1, k= , ∴y2= x; (2)设种植桃树的投资成本 x 万元,总利润为 W 万元,则种植柏树的投资成本(10﹣x) 万元, 则 W=y1+y2= x2+ (10﹣x)= (x﹣4)2+4, 由图象得:当 2≤x≤8 时,当 x=4 时,W 有最小值,W 小=4, 当 x=8 时,W 有最大值,W 大= (8﹣4)2+4=5, 答:苗圃至少获得 4 万元利润,最多能获得 8 万元利润.
七、解答题(满分 12 分) 25.如图,在△ABC 中,BC>AC,点 E 在 BC 上,CE=CA,点 D 在 AB 上,连接 DE,∠ ACB+∠ADE=180°,作 CH⊥AB,垂足为 H. (1)如图 a,当∠ACB=90°时,连接 CD,过点 C 作 CF⊥CD 交 BA 的延长线于点 F. ①求证:FA=DE; ②请猜想三条线段 DE,AD,CH 之间的数量关系,直接写出结论; (2)如图 b,当∠ACB=120°时,三条线段 DE,AD,CH 之间存在怎样的数量关系?请证 明你的结论.

【考点】三角形综合题. 【分析】(1)①根据 ASA 证明△AFC≌△EDC,可得结论; ②结论是:DE+AD=2CH,根据 CH 是等腰直角△FCD 斜边上的中线得:FD=2CH,再进行 等量代换可得结论; (2)如图 b,根据(1)作辅助线,构建全等三角形,证明△FAC≌△DEC 得 AF=DE,FC=CD, 得等腰△FDC,由三线合一的性质得 CH,是底边中线和顶角平分线,得直角△CHD,利用 三角函数得出 HD 与 CH 的关系,从而得出结论. 【解答】证明:(1)①∵CF⊥CD, ∴∠FCD=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE, ∴∠FCA=∠DCE, ∵∠FAC=90°+∠B,∠CED=90°+∠B, ∴∠FAC=∠CED, ∵AC=CE, ∴△AFC≌△EDC, ∴FA=DE, ②DE+AD=2CH,理由是: ∵△AFC≌△EDC, ∴CF=CD, ∵CH⊥AB, ∴FH=HD, 在 Rt△FCD 中,CH 是斜边 FD 的中线, ∴FD=2DH, ∴AF+AD=2CH, ∴DE+AD=2CH;

(2)AD+DE=2 CH,理由是: 如图 b,作∠FCD=∠ACB,交 BA 延长线于 F, ∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB, ∴∠FCA=∠DCB, ∵∠EDA=60°, ∴∠EDB=120°, ∵∠FAC=120°+∠B,∠CED=120°+∠B, ∴∠FAC=∠CED, ∵AC=CE, ∴△FAC≌△DEC, ∴AF=DE,FC=CD, ∵CH⊥FD, ∴FH=HD,∠FCH=∠HCD=60°, 在 Rt△CHD 中,tan60°= , ∴DH= CH, ∵AD+DE=AD+AF=FD=2DH=2 CH, 即:AD+DE=2 CH.
八、解答题(满分 14 分) 26.如图,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0),点 C(0,4),作 CD∥x 轴交抛物 线于点 D,作 DE⊥x 轴,垂足为 E,动点 M 从点 E 出发在线段 EA 上以每秒 2 个单位长度 的速度向点 A 运动,同时动点 N 从点 A 出发在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒. (1)求抛物线的解析式; (2)设△DMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式;

(3)①当 MN∥DE 时,直接写出 t 的值;
②在点 M 和点 N 运动过程中,是否存在某一时刻,使 MN⊥AD?若存在,直接写出此时 t 的值;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0),点 C(0,4),可以求得 b、c 的值,从而可以求得抛物线的解析式; (2)要求△DMN 的面积,根据题目中的信息可以得到梯形 AEDC 的面积、△ANM 的面积、 △MDE 的面积、△CND 的面积,从而可以解答本题; (3)①根据 MN∥DE,可以得到△AMN 和△AOC 相似,从而可以求得 t 的值; ②根据题目中的条件可以求得点 N、点 M、点 A、点 D 的坐标,由 AD⊥MN 可以求得相 应的 t 的值.
【解答】解:(1)∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A(﹣3,0),点 C(0,4),





解得,



即抛物线的解析式为:y═﹣ x2+ x+4; (2)作 NH⊥AM 于点 H,如由图 1 所示, ∵y═﹣ x2+ x+4,

∴对称轴 x=﹣

=,

∵点 A(﹣3,0),点 C(0,4),CD∥x 轴交抛物线于点 D,DE⊥x 轴,垂足为 E, ∴点 D(3,4),点 E(3,0),OA=3,OC=4, ∴AC=5,AE=6,CD=3, ∵NH⊥AM,AN=tME=2t, ∴△ANH∽△ACO,AM=6﹣2t,







,得 NH=0.8t,

∴S=S 梯形 AECD﹣S△ AMN﹣S△ DME﹣S△ CDN

=

=0.8t2﹣5.2t+12, 即 S 与 t 的函数关系式是 S=0.8t2﹣5.2t+12(0<t≤3);

(3)①当 MN∥DE 时,t 的值是 ,

理由:如右图 2 所示 ∵MN∥DE,AE=6,AC=5,AO=3, ∴AM=6﹣2t,AN=t,△AMN∽△AOC,









解得,t= ;

②存在某一时刻,使 MN⊥AD,此时 t 的值是 , 理由:如右图 3 所示, 设过点 A(﹣3,0),C(0,4)的直线的解析式为 y=kx+b,



,得



即直线 AC 的解析式为 y=



∵NH=0.8t, ∴点 N 的纵坐标为 0.8t,

将 y=0.8t 代入 y=

得 x=0.6t﹣3,

∴点 N(0.6t﹣3,0.8t) ∵点 E(3,0),ME=2t, ∴点 M(3﹣2t,0), ∵点 A(﹣3,0),点 D(3,4),点 M(3﹣2t,0),点 N(0.6t﹣3,0.8t),AD⊥MN,





解得,t= .


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