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高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (6)

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判
断 位置关系 公共点个数 相交 2个 __ 相切 1个 __ 相离 0个 __

几何法:设圆心到直线的

距离d=

Aa ? Bb ? C A 2 ? B2

< d__r

= d__r

> d__r

方 法 ? ?Ax ? By ? C ? 0

代数法:由

? 2 2 2 x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? ? ?

> = < Δ __0 Δ __0 Δ __0

消元得到一元二次方程的
判别式Δ

图形

【点拨】(1)对直线与圆位置关系的判断的三点说明: ①判断直线与圆的位置关系的方法:代数法和几何法.

②几何法比代数法要简便,一般选择几何法.
③当已知位置关系,求参数的值时,选择代数法就是转 化成方程的根的问题;选择几何法就是解不等式的问题.

(2)弦长问题的两种解法: ①由于半径长r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角

形的三边长,利用勾股定理d2+ ( l ) 2 =r2求解.
2

②联立直线与圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二 次方程,利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐

标)之间的关系,代入两点间距离公式求解.

【自我检测】

1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是
A.相交 C.相离 B.相切 D.无法判断

(

)

【解析】选B.圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
?5 32 ? 42

=1,又圆x2+y2=1的半径r=1,所以d=r,故直线

与圆相切.

2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率 是 ( )

1 3 A. ? 1????????B. ? ????????C. ? ????????D. ? 3 2 3

【解析】选C.设直线l:y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
3 又l与圆相切,所以 =1,所以k=± . 2 3 1? k
2k

3.直线x+2y-5+ 5 =0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长
为 A.1 ( ) B.2 C.4 D.4 6

【解析】选C.依题意,圆的圆心为(1,2),半径r= 5 ,
圆心到直线的距离d=
1? 4 ? 5 ? 5 5

=1,所以结合图形

可知弦长的一半为 r 2 ? d 2 =2,故弦长为4.

4.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围 是________. 【解析】由于直线与圆相离,则有 |1? 0-1? 0-m| ? 2, 2 2
1 ?1

解得m>2或m<-2. 答案:m>2或m<-2

5.由点P(1,3)引圆x2+y2=9的切线的长是________.

【解析】点P到原点O的距离为|PO|= 10 ,
因为r=3,且P在圆外,所以切线长为 10 ? 9 =1. 答案:1

类型一

直线与圆的位置关系的判断

【典例】1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线

ax+by=1与圆O的位置关系是
A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定

(

)

2.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-

2y+1=0.当m为何值时,圆与直线
(1)有两个公共点. (2)只有一个公共点.

(3)没有公共点.

【审题路线图】直线与圆的位置关系?可联立方程组,
由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离, 通过与半径比较判断.

【解析】1.选B.由点M在圆外,得a2+b2>1,所以圆心O

到直线ax+by=1的距离d=
相交.

1 a 2 ? b2

<1=r,则直线与圆O

2.方法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、

整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
因为Δ=4m(3m+4),

(1)所以当Δ>0,即m>0或m<- 4 时,直线与圆相交,即直
3

线与圆有两个公共点;
4 (2)当Δ=0,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与 3

圆只有一个公共点;

(3)当Δ<0,即- 4 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没
3

有公共点.

方法二:已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离
d= 2m ? 1 ? m ? 1 1? m
2



m?2 1? m
2

.

(1)当d<2,即m>0或m<- 4 时,直线与圆相交,即直线与圆
3

有两个公共点;
(2)当d=2,即m=0或m=- 4 时,直线与圆相切,即直线与圆
3

只有一个公共点;

(3)当d>2,即- 4 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没
3

有公共点.

【方法技巧】判断直线与圆的位置关系应注意的问题 (1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与 圆的位置关系. (2)在解决直线与圆的位置关系问题时,应注意联系圆 的几何性质,利用有关图形的几何特征尽可能简化运算 .

提醒:利用几何法来判定直线与圆的位置关系时,一定 要明确圆心的坐标.

【变式训练】试分别求实数a的取值范围,使直线 4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系: ①相交;②相切;③相离,

【解析】方法一:(代数法)
?4x ? 3y ? a=0, 由方程组 ? 2 2 消去y, 100, ?x ? y =

得25x2+8ax+a2-900=0.
Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90000.

①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90000>0,
-50<a<50; ②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50;

③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.

方法二:(几何法)

圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10,
a 则圆心到直线的距离d= = . 2 2 5 3 ?4 a a

①当直线和圆相交时,d<r,即

②当直线和圆相切时,d=r,即
③当直线和圆相离时,d>r,即

5 a 5 a 5

<10,-50<a<50;

=10,a=50或a=-50;
>10,a<-50或a>50.

【补偿训练】

1.已知2a2+2b2=c2,则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4的位
置关系是 ( ) B.相交且过圆心

A.相交但不过圆心

C.相切

D.相离

【解析】选A.因为2a2+2b2=c2,
2 c 所以a2+b2= . 2

所以圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离 d=
c a ?b
2 2



c c 2
2

= 2 ? 2,

所以直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4相交, 又因为点(0,0)不在直线ax+by+c=0上,故选A.

2.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,

则直线l的斜率的取值范围为
A.(- 3, 3)????????????B. [- 3, 3] 3 3 3 3 C.(- , )?????????D.[- , ] 3 3 3 3

(

)

【解析】选D.方法一:如图,BC=1,AC=2,

所以∠BAC=30°,所以- 3 ? k ? 3 .
3 3

方法二:设直线l的方程为y=k(x-4),
则由题意知,
2k ? 0 ? 4k 1? k2

≤1,所以- 3 ? k ? 3 .
3 3

方法三:过A(4,0)的直线l可设为x=my+4, 代入(x-2)2+y2=1中得: (m2+1)y2+4my+3=0, 由Δ=16m2-12(m2+1)=4m2-12≥0得 m≤- 3 或m≥ 3 .

3 所以l的斜率k= 1 ?[- 3 , 0) ? (0, ], m 3 3

特别地,当k=0时,显然有公共点, 所以k∈[- 3 , 3 ].
3 3

类型二

求圆的切线方程

【典例】1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的
直线的方程是 ( )

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0

2.过点P( 3 ,1),作圆C:x2+y2=4的切线,求此切线的方 程.

【审题路线图】1.求与某直线平行且与某圆相切的直
线方程?先设出直线方程,再根据相切列方程求m. 2.求过某点的圆的切线方程?先判断点在圆上还是在

圆外,再选用恰当的方法求切线方程.

【解析】1.选A.因为所求直线与直线2x+y+1=0平行,所
以设所求的直线方程为2x+y+m=0. 因为所求直线与圆x2+y2=5相切,

所以 m = 5 ,所以m=±5.
1? 4

即所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.

2.因为( 3 )2+12=4, 所以点P在圆上,从而P是切点. 又过圆心(0,0)与点P的直线斜率kOP= 1 ? 0 = 3 , 所以切线的斜率k= - 1 =- 3.
k OP

3 ?0

3

故所求切线方程为y-1=- 3 (x- 3 ), 即 3 x+y-4=0.

【延伸探究】若本例2中P点的坐标“( 3 ,1)”改为
“(4,0)”.结果如何?

【解析】因为42+02>4,所以点Q在圆外,
可设切线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0. 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,

从而

?4k k2 ?1

3 故所求切线方程为y=± 3 (x-4),即x± 3 y-4=0. 3

=2,所以k=± 3 .

【方法技巧】过一点的圆的切线方程的求法 (1)点(x0,y0)在圆上. ①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线 的斜率为- 1 ,由点斜式可得切线方程.
k

②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程 y=y0或x=x0.

(2)点(x0,y0)在圆外.
①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等 于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.

②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,
因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.

③过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方
法求解. 提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存

在的情况.

【变式训练】过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的
切线,求此切线的方程.

【解析】因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
所以点A在圆外. (1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,

则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1, 所以
3k ? 1 ? 3 ? 4k k2 ?1

=1,即|k+4|=

k2 ?1 ,

所以k2+8k+16=k2+1,解得k=- 15 .
所以切线方程为y+3=- 15 (x-4),
8 8

即15x+8y-36=0.

(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1, 这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.

综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

【补偿训练】
1.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则

|AB|=
A.2

(

)
B.4 2 C.6 D.2 10

【解析】选C.由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+
(y-1)2=4,所以圆C的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l 为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得

a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,
所以|AB|=6.

2.过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程为
____________.

【解析】由题意知切线斜率存在;设切线的斜率为k,

则切线方程为y+7=k(x-1),即kx-y-k-7=0.
3 4 所以 2 =5,解得k= 或k=. 4 3 k ?1 4 所以所求切线方程为y+7= (x-1)或 3 3 y+7=(x-1), 4

?k ? 7

即4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.

答案:4x-3y-25=0或3x+4y+25=0

类型三

直线与圆的相交问题

【典例】1.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于 A,B两点,若|AB|=2 ,
3

则圆C的面积为________.

2.直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交截得
的弦长为4 5 ,求直线l的方程.

【审题路线图】直线与圆相交的弦长问题?也可以利
用几何法,由半径、半弦长、圆心到直线的距离d之间 的关系求解.也可以利用弦长公式.

【解析】1.圆C的方程可化为x2+(y-a)2=a2+2,可得圆
心的坐标为C(0,a),半径r= a 2 ? 2 ,所以圆心到直线 x-y+2a=0的距离为
?a ? 2a 2 = a 2

所以( ,

a 2

) 2+( 3) 2=( a 2 ? 2) 2,

解得a2=2,所以圆C的半径为2,所以圆C的面积为4π.
答案:4π

2.若直线l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,
不合题意,所以直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于

A(x1,y1),B(x2,y2),
? ? y ? 5=k ? x ? 5 ?, 方法一:联立方程组 ? 2 2 消去y,得 ? ? x ? y =25,

(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.

所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,
解得k>0. 又x1+x2=
- 10k ?1 ? k ? k ?1
2

,x1x 2=

25k ? k ? 2 ? k ?1
2

.

由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2).

所以|AB|=
= ?1 ? k =
2 1

? x1 ? x 2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2
2 2

2

??x ? x ? ?1 ? k [ ? ?x ? x ?
2 1 2 2 2

2

? 4x1x 2]
2

100k ?1 ? k ? 25k ? k ? 2 ? = ?1 ? k ?[ ?4 ] 2 2 k ?1 ? k 2 ? 1? =4 5.

两边平方,整理得2k2-5k+2=0,
解得k= 1 或k=2符合题意,
2

故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.

方法二:如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是
圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,

在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|= 1 |AB|= 1 ×4 5 =2
2 2

5 .

所以|OH|=

OA ? AH = 5.

2

2

1 5 1 ? k ? ? 所以 = 5, 解得k= 2 或k=2. k2 ?1

所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.

【方法技巧】求弦长常用的三种方法 圆的 性质 交点 坐标 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l 之间的关系r2=d2+
l 2 ( ) 解题 2

若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标 后,直接用两点间距离公式计算弦长.

设直线l:y=kx+b与圆的两交点为(x1,y1),
弦长 (x2,y2),将直线方程代入圆的方程, 公式 消元后利用根与系数的关系得弦长 l=
1 ? k 2 | x1-x 2 | = (1 ? k 2[ ) (x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2] .

【变式训练】(2018· 绥化高一检测)若直线3x-4y+5=0 与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为 坐标原点),则r=________.

【解析】直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A,B
两点,O为坐标原点,且∠AOB=120°,则圆心(0,0) 到直线3x-4y+5=0的距离为 1 r, 5 2
2 1 = r, 2 2 3 ?4

所以r=2.
答案:2

【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点
P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α 的弦. (1)当α =135°时,求AB的长.

(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.

【解析】(1)方法一:(几何法) 如图所示,过点O作OC⊥AB.

由已知条件得直线的斜率为k=tan135°=-1, 所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),

即x+y-1=0.因为圆心为(0,0),
所以|OC|= ?1 = 2 .
2 2

因为r=2 2 ,所以|BC|= 8 ? ( 2 )2= 30 ,
2 2

所以|AB|=2|BC|= 30 .

方法二:(代数法)当α=135°时,直线AB的方程为
y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0. 所以x1+x2=1,x1x2=- 7 ,
2

所以|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|
= ?1 ? 1[ = 30. ? ? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2]
2

(2)如图,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB,
因为kOP=-2,所以kAB= 1 ,
2 1 所以直线AB的方程为y-2= (x+1), 2

即x-2y+5=0.

核心素养培优区
易错案例 已知直线与圆相切求参数的范围 【典例】已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),

若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是( A )
A.(-2,+∞) C.(-2,2) B.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

【失误案例】由题意知点P(1,-1)必须在圆的外部,则
12+(-1)2+2×1+2×(-1)+k>0,解得k>-2.选A.

【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.
提示:本题错解的根本原因是忽视了一个隐含条件:必 须保证方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆.

【自我纠正】选C.因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个
圆,所以4+4-4k>0,解得k<2.又由错解知,要使P在圆外, 则k>-2,故-2<k<2.


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