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无棣县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

无棣县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( A. B. C. D. )的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 ) )

姓名__________

分数__________

2. 设命题 p:函数 y=sin(2x+ A.p 为假

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假 ) C. 144 ? D. 288?

3. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大 值为 18 3 ,则球 O 的体积为( A. 81? 求解能力. 4. 已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是( ) B. 128?

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算

A.

B.

C.

D.

5. 若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 tan∠PF1F2= A. ,则此椭圆的离心率为( B. C. ) D. )

=1(a>b>0)上的一点,且

=0,

6. 下列式子中成立的是(
3.4

A.log0.44<log0.46 B.1.01 >1.013.5

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C.3.50.3<3.40.3

D.log76<log67 )

7. 函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(

A.(0, ) B.( ,1) C.(1,2) D.(2,3) 8. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A. B. 2 ? 1 C. )

2 ?1 2

D. 2 2 ? 1 )

9. 5 名运动员争夺 3 项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),获得冠军的可能种数为( A.35 B. C. D.53

10.命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2 则 a>b”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3



11.已知函数 f(x)=m(x﹣ )﹣2lnx(m∈R),g(x)=﹣ ,若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)<g (x0)成立,则实数 m 的范围是( A.(﹣∞, ] 12.若 A. ) D.(﹣∞,0) ,且 C. ,则 λ 与 μ 的值分别为( D.﹣5,﹣2 )

B.(﹣∞, ) C.(﹣∞,0] , B.5,2

二、填空题
13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥=
2

π( )2dx=

x3| =



据此类推:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V= .

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14.对于映射 f:A→B,若 A 中的不同元素有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,则称 f:A→B 为一 一映射,若存在对应关系 Φ,使 A 到 B 成为一一映射,则称 A 到 B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则 A 和 B 具有相同的势; ②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则 A 和 B 不具有相同的势; ③若区间 A=(﹣1,1),B=R,则 A 和 B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是 . . . ),则 O 点到直线 AB

15.向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ ,则 x﹣y= 16.命题“? x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为 17.在极坐标系中,O 是极点,设点 A,B 的极坐标分别是(2 的距离是 . ,
2

),(3,

18.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 其中正确的是 .(填上所有正确命题的编号)

三、解答题
19.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,上底面是斜边为 AC 的直角三角形, E、F 分别是 A1B、AC1 的中点.

(1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 AA 1 B1 B .

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20. (本题 12 分)已知数列 {xn } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2n p ? nq ( n ? N , p ,为常数),且 x1,x4,x5
*

成等差数列,求: (1) p, q 的值; (2)数列 {xn } 前项和 Sn 的公式.

21.设 A(x0,y0)(x0,y0≠0)是椭圆 T:

+y2=1(m>0)上一点,它关于 y 轴、原点、x 轴的对称点依

次为 B,C,D.E 是椭圆 T 上不同于 A 的另外一点,且 AE⊥AC,如图所示. (Ⅰ) 若点 A 横坐标为 ,且 BD∥AE,求 m 的值; +y2=( ) 上.
2

(Ⅱ)求证:直线 BD 与 CE 的交点 Q 总在椭圆

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22.已知函数 f(x0=



(1)画出 y=f(x)的图象,并指出函数的单调递增区间和递减区间; (2)解不等式 f(x﹣1)≤﹣ .

23.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,E、P、Q 分别是棱 AD、SC、AB 的中点, 且 SE ? 平 面 ABCD .

(1)求证: PQ // 平面 SAD ; (2)求证:平面 SAC ? 平面 SEQ .

24.已知斜率为 2 的直线 l 被圆 x2+y2+14y+24=0 所截得的弦长为

,求直线 l 的方程.

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无棣县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个,
3 而在 8 个点中选 3 个点的有 C8 =56,

所以所求概率为 故选:C

=

【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 2. 【答案】C 【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; 函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 3. 【答案】D 【解析】 当 OC ? 平面 AOB 平面时, 三棱锥 O ? ABC 的体积最大, 且此时 OC 为球的半径. 设球的半径为 R , 则由题意,得 ? 4. 【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B
x x

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

=

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

1 1 4 ? R 2 sin 60?? R ? 18 3 ,解得 R ? 6 ,所以球的体积为 ?R 3 ? 288? ,故选 D. 3 2 3

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【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 5. 【答案】A 【解析】解:∵ ∴ ∵Rt△PF1F2 中, ∴ ∴ 又∵根据椭圆的定义,得 2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的离心率为 e= 故选 A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题. 6. 【答案】D 【解析】解:对于 A:设函数 y=log0.4x,则此函数单调递减∴log0.44>log0.46∴A 选项不成立 对于 B:设函数 y=1.01 ,则此函数单调递增∴1.01 <1.01 对于 C:设函数 y=x ,则此函数单调递增∴3.5 >3.4 故选 D 7. 【答案】C 【解析】解:∵f(1)=1>0,f(2)=1﹣2ln2=ln <0, ∴函数 f(x)=1﹣xlnx 的零点所在区间是(1,2). 故选:C. 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端 点处的符号是否相反. 8. 【答案】 B 【解析】
0.3 0.3 0.3 x 3.4 3.5

,即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形. ,

=

,设 PF2=t,则 PF1=2t =2c,

=

=

=

∴B 选项不成立

∴C 选项不成立

对于 D:设函数 f(x)=log7x,g(x)=log6x,则这两个函数都单调递增∴log76<log77=1<log67∴D 选项成立

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试题分析:化简为标准形式 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
2 2

径, d ?

1 ?1 ? 2 2

? 2 ,半径为 1,所以距离的最大值是 2 ? 1 ,故选 B.

考点:直线与圆的位置关系 1 9. 【答案】D
3 【解析】解:每一项冠军的情况都有 5 种,故 5 名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 5 ,

故选:D. 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,属于基础题. 10.【答案】C 【解析】解:命题“设 a、b、c∈R,若 ac2>bc2,则 c2>0,则 a>b”为真命题; 故其逆否命题也为真命题; 其逆命题为“设 a、b、c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”在 c=0 时不成立,故为假命题 故其否命题也为假命题 故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2 个 故选 C 【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断,不等式的基本性质,其中熟练掌握互为逆否的两个命题真 假性相同,是解答的关键. 11.【答案】 B 【解析】解:由题意,不等式 f(x)<g(x)在[1,e]上有解, ∴mx<2lnx,即 < 令 h(x)= 在[1,e]上有解, ,

,则 h′(x)=

∵1≤x≤e,∴h′(x)≥0, ∴h(x)max=h(e)= , ∴ <h(e)= , ∴m< . ∴m 的取值范围是(﹣∞, ). 故选:B.

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【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用. 12.【答案】A 【解析】解:由 又 ∴ 故选:A. 【点评】本题考查了平行向量与共线向量,考查向量的性质,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代 数特征和几何特征,借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化,该题是基础题. ,得 , ,解得 . . ,

二、填空题
13.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.
2

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题. 14.【答案】 ①③ .

【解析】解:根据一一映射的定义,集合 A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加 1.则 A→B 是一一映 射,故①正确; 对②设 Z 点的坐标(a,b),则 Z 点对应复数 a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确; 对③,给出对应法则 y=tan ③正确. 故选:①③ 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与 应用能力. x,对于 A,B 两集合可形成 f:A→B 的一一映射,则 A、B 具有相同的势;∴

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15.【答案】 ﹣12 .

【解析】解:∵向量 =(1,2,﹣2), =(﹣3,x,y),且 ∥ , ∴ = = ,

解得 x=﹣6,y=6, x﹣y=﹣6﹣6=﹣12. 故答案为:﹣12. 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题,是基础题目. 16.【答案】﹣2 ≤a≤2
2

【解析】解:原命题的否定为“?x∈R,2x ﹣3ax+9≥0”,且为真命题, 则开口向上的二次函数值要想大于等于 0 恒成立, 只需△=9a ﹣4×2×9≤0,解得:﹣2 故答案为:﹣2 ≤a≤2
2

≤a≤2



【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所以,可以采用数学 上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使用. 17.【答案】 . , ),(3, ),可得 A、B 的直角坐标分别是(3,

【解析】解:根据点 A,B 的极坐标分别是(2 )、(﹣ , 故 AB 的斜率为﹣ ), ,故直线 AB 的方程为 y﹣ =

=﹣

(x﹣3),即 x+3

y﹣12=0,

所以 O 点到直线 AB 的距离是 故答案为: .



【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 18.【答案】 ②③④

【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数;

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③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键.

三、解答题
19.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【 解 析 】

试 题解析:证明:(1)连接 A1C ,∵直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 AA 1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点, 在 ?A1 BC 中,∵ E、F 分别是 A1B、AC1 的中点,∴ EF // BC . 又 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ EF // 平面 ABC .

考点:1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的判定定理. 20.【答案】(1) p ? 1, q ? 1 ;(2) S n ? 2
n ?1

?2?

n(n ? 1) . 2

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考 点:等差,等比数列通项公式,数列求和. 21.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:∵BD∥AE,AE⊥AC, ∴BD⊥AC,可知 A( 故 ,m=2; ),

(Ⅱ)证明:由对称性可知 B(﹣x0,y0),C(﹣x0,﹣y0),D(x0,﹣y0),四边形 ABCD 为矩形, 设 E(x1,y1),由于 A,E 均在椭圆 T 上,则 , 由②﹣①得:(x1+x0)(x1﹣x0)+(m+1)(y1+y0)(y1﹣y0)=0, 显然 x1≠x0,从而 ∵AE⊥AC,∴kAE?kAC=﹣1, = ,





解得



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代入椭圆方程,知



【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用,关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系,体现了整体 运算思想方法,是中档题. 22.【答案】 【解析】解:(1)图象如图所示:由图象可知函数的单调递增区间为 (﹣∞,0),(1,+∞), 丹迪减区间是(0,1) (2)由已知可得





解得 x≤﹣1 或 ≤x≤ , 故不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪ [ , ].

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法,属于基础题. 23.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据线面平行的判定定理,可先证明 PQ 与平面内的直线平行,则线面平行,所以取 SD 中 点 F ,连结 AF, PF ,可证明 PQ // AF ,那就满足了线面平行的判定定理了;(2)要证明面面垂直,可先

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证明线面垂直,根据所给的条件证明 AC ? 平面 SEQ ,即平面 SAC ? 平面 SEQ . 试题解析:证明:(1)取 SD 中点 F ,连结 AF, PF . ∵ P、F 分别是棱 SC 、SD 的中点,∴ FP // CD ,且 FP ? ∵在菱形 ABCD 中, Q 是 AB 的中点,

1 CD . 2

1 CD ,即 FP // AQ 且 FP ? AQ . 2 ∴ AQPF 为平行四边形,则 PQ // AF .
∴ AQ // CD ,且 AQ ? ∵ PQ ? 平面 SAD , AF ? 平面 SAD ,∴ PQ // 平面 SAD .

考点:1.线线,线面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【易错点睛】 本题考查了立体几何中的线与面的关系, 属于基础题型, 重点说说垂直关系, 当证明线线垂直时, 一般要转化为线面垂直,证明线与面垂直时,即证明线与平面内的两条相交直线垂直,证明面面垂直时,转化 为证明线面垂直,所以线与线的证明是基础,这里经常会搞错两个问题,一是,线与平面内的两条相交直线垂 直,线与平面垂直,很多同学会记成一条,二是,面面垂直时,平面内的线与交线垂直,才与平面垂直,很多 同学会理解为两个平面垂直,平面内的线都与另一个平面垂直, 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 24.【答案】
2 2 【解析】解:将圆的方程写成标准形式,得 x +(y+7) =25,

所以,圆心坐标是(0,﹣7),半径长 r=5.…

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因为直线 l 被圆所截得的弦长是 所以,弦心距为 即圆心到所求直线 l 的距离为 .…

, ,

因为直线 l 的斜率为 2,所以可设所求直线 l 的方程为 y=2x+b,即 2x﹣y+b=0. 所以圆心到直线 l 的距离为 因此, 解得 b=﹣2,或 b=﹣12.… 所以,所求直线 l 的方程为 y=2x﹣2,或 y=2x﹣12. 即 2x﹣y﹣2=0,或 2x﹣y﹣12=0.… 【点评】本题主要考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方 与弦长一半的平方的和的灵活运用. ,…

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