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2016


3.2.2
课时目标

对数函数(二)

1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用.

?e ? 1.设 g(x)=? ?ln ?

x

?x≤0?

x ?x>0?

1 ,则 g(g( ))=________. 2

2.下列各组函数中,表示同一函数的是________.(填序号) 2 2 ①y= x 和 y=( x) ; 3 3 ②|y|=|x|和 y =x ; 2 ③y=logax 和 y=2logax; x ④y=x 和 y=logaa . 3.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( log 1 x)的定义域是________.
2

4.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为________. 5.函数 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则 f(2)= ________. 6.函数 y=loga(x-2)+1(a>0 且 a≠1)恒过定点________.

x

一、填空题 2 1.设 a=log54,b=(log53) ,c=log45,则 a,b,c 的大小关系为________. x 2.已知函数 y=f(2 )的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定义域为________. 3 .函数 f(x) = loga|x|(a>0 且 a≠1)且 f(8) = 3 ,则下列不等关系判断正确的为 ________.(填序号) ①f(2)>f(-2);②f(1)>f(2);③f(-3)>f(-2); ④f(-3)>f(-4). x 4 .函数 f(x)= a + loga(x + 1) 在 [0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值为 ________. 1-x 5.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)=________. 1+x x 6.函数 y=3 (-1≤x<0)的反函数是________. x 7. 函数 f(x)=lg(2 -b), 若 x≥1 时, f(x)≥0 恒成立, 则 b 应满足的条件是________. 8.函数 y=logax 当 x>2 时恒有|y|>1,则 a 的取值范围是________. 9.若 loga2<2,则实数 a 的取值范围是______________. 二、解答题 10.已知 f(x)=loga(3-ax)在 x∈[0,2]上单调递减,求 a 的取值范围.

1

11.已知函数 f(x)= log 1
2

1-ax 的图象关于原点对称,其中 a 为常数. x-1

(1)求 a 的值; (2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)+ log 1 (x-1)<m 恒成立.求实数 m 的取值范围.
2

能力提升 1 2 12.若函数 f(x)=loga(x -ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是________. 2 13.已知 logm4<logn4,比较 m 与 n 的大小.

1.在对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)中,底数 a 对其图象的影响 无论 a 取何值,对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的 限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着 a 的逐渐增大,y=logax(a>1, 且 a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当 0<a<1 时函数单调递 减,当 a>1 时函数单调递增. 2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数 函数的单调性来比较大小, 对数函数的单调性由“底”的范围决定, 若“底”的范围不 明确,则需分“底数大于 1”和“底数大于 0 且小于 1”两种情况讨论;二看真数,底 数不同但真数相同的两个对数可借助于图象, 或应用换底公式将其转化为同底的对数来 比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较.
2

2.3.2 双基演练 1 1. 2 1 1 解析 ∵g( )=ln <0, 2 2

对数函数(二)

ln 1 1 ∴g(ln )= e 2 = , 2 2 1 1 ∴g(g( ))= . 2 2 2.④ x 解析 y=logaa =xlogaa=x, 即 y=x,两函数的定义域、值域都相同. 1 1 3.[ , ] 16 4 1 2 1 4 解析 由题意得:2≤ log 1 x≤4,所以( ) ≥x≥( ) , 2 2

1

2

1 1 即 ≤x≤ . 16 4 4.(0,+∞) x x 解析 ∵3 +1>1,∴log2(3 +1)>0. 5.2 解析 由已知得 loga(b-1)=0 且 logab=1, ∴a=b=2.从而 f(2)=log2(2+2)=2. 6.(3,1) 解析 若 x-2=1,则不论 a 为何值, 只要 a>0 且 a≠1,都有 y=1. 作业设计 1.b<a<c 解析 因为 0<log53<log54<1,1<log45, 所以 b<a<c. 2.[ 2,4] 解析 ∵-1≤x≤1, 1 -1 x x ∴2 ≤2 ≤2,即 ≤2 ≤2. 2 1 ∴y=f(x)的定义域为[ ,2] 2 1 即 ≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4. 2 3.③ 解析 ∵loga8=3,解得 a=2,因为函数 f(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1)为偶函数,且在 (0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数,由-3<-2,所以 f(-3)>f(-2). 1 4. 2 x x 解析 函数 f(x)=a +loga(x+1),令 y1=a ,y2=loga(x+1),显然在[0,1]上,y1= ax 与 y2=loga(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+loga2+1 1 +0=a,解得 a= . 2
3

5.-b 1+x 1-x -1 1-x 解析 f(-x)=lg =lg( ) =-lg 1-x 1+x 1+x =-f(x), 所以 f(x)为奇函数,故 f(-a)=-f(a)=-b. 1 6.y=log3x( ≤x<1) 3 1 x 解析 由 y=3 (-1≤x<0)得反函数是 y=log3x( ≤x<1). 3 7.b≤1 x x 解析 由题意,x≥1 时,2 -b≥1.又 2 ≥2,∴b≤1. 1 8.[ ,1)∪(1,2] 2 解析 ∵|y|>1,即 y>1 或 y<-1, ∴logax>1 或 logax<-1, 1 变形为 logax>logaa 或 logax<loga

a

当 x=2 时,令|y|=1, 则有 loga2=1 或 loga2=-1, 1 ∴a=2 或 a= . 2 要使 x>2 时,|y|>1. 1 如图所示,a 的范围为 1<a≤2 或 ≤a<1. 2 9.(0,1)∪( 2,+∞) 2 2 解析 loga2<2=logaa .若 0<a<1,由于 y=logax 是减函数,则 0<a <2,得 0<a< 2,所 2 以 0<a<1;若 a>1,由于 y=logax 是增函数,则 a >2,得 a> 2.综上得 0<a<1 或 a> 2. 10.解 由 a>0 可知 u=3-ax 为减函数,依题意则有 a>1. 又 u=3-ax 在[0,2]上应满足 u>0, 3 故 3-2a>0,即 a< . 2 3 综上可得,a 的取值范围是 1<a< . 2 11.解 (1)∵函数 f(x)的图象关于原点对称, ∴函数 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1+ax 1-ax x-1 即 log 1 =- log 1 = log 1 , -x-1 x-1 1-ax
2 2 2

解得 a=-1 或 a=1(舍). (2)f(x)+ log 1 (x-1)= log 1
2 2

1+x + log 1 (x-1) x-1
2

= log 1 (1+x),
2

当 x>1 时, log 1 (1+x)<-1,
2

4

∵当 x∈(1,+∞)时,f(x)+ log 1 (x-1)<m 恒成立,
2

∴m≥-1. 12.(1, 2) 1 2 解析 已知函数 f(x)有最小值, 令 y=x -ax+ , 由于 y 的值可以趋于+∞, 所以 a>1, 2 1 2 否则,如果 0<a<1,f(x)没有最小值.又由于真数必须大于 0,所以 y=x -ax+ 存在 2 1 2 大于 0 的最小值,即 Δ =a -4×1× <0,∴- 2<a< 2.综上可知 1<a< 2. 2 13.解

数形结合可得 0<n<m<1 或 1<n<m 或 0<m<1<n.

5


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