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福建省福州市2019年质检数学卷及答案

2019 年福州市九年级质量检测数学试题
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分 1.下列天气预报的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

A.

B.

C.

D.

2.地球绕太阳公转的速度约为 110 000 千米/时,将 110 000 用科学记数法表示正确是( ).

A.1.1×106 B. 1.1×105 C. 11×104

D. 11×106

3.已知△ABC∽△DEF,若面积比为 4:9,则它们对应高的比是( ).

A.4:9 B. 16:81 C. 3:5 D.2:3

4.若正数 x 的平方等于 7,则下列对 x 的估算正确的是( ).

A.1<x<2 B. 2<x< 3

C.3<x<4 D. 4<x<5

5.已知 a∥b,将等腰直角三角形 ABC 按如图所示的方式放置,其中锐角顶

点 B,直角顶点 C 分别落在直线 a,b 上,若∠1=15°,则∠2 的度数是( ).

A. 15° B. 22.5°

C.30° D.45°

A 1 Ba

2 C

b

(第5题)

6.下列各式的运算或变形中,用到分配律的是( ).

A.2 3 ×3 2 =6 6 B.(ab)2= a2b2 C.由 x+2=5 得 x=5-2 D. 3a+2a=5 a

7.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 a 个白球、b 个红球、c 个黄球,则任意摸出一个

球是红球的概率是( ).

b

a?c

b

a?c

A.

B.

C.

D.

a?c

a?b?c

a?b?c

b

A

8.如图,等边三角形 ABC 边长为 5、D、E 分别是边 AB、AC 上的点, D
E
将△ADE 沿 DE 折叠,点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处,若 BF=2,

则 BD 的长是( ).

B

F

C

24

21

A.

B.

C. 3 D.2

7

8

(第8题)

9.已知 Rt△ABC,∠ACB=90,AC=3,BC=4,AD 平分∠BAC,则点 B 到射线 AD 的距离是( ).

A.2 B. 3 C. 5

D.3

10.一套数学题集共有 100 道题,甲、乙和丙三人分别作答,每道题至少有一人解对,且每人 都解对了其中的 60 道.如果将其中只有 1 人解对的题称作难题,2 人解对的题称作中档题,

2019福州质检 第1页 共5页

3 人都解对的题称作容易题,那么下列判断一定正确的是( ).

A.容易题和中档题共 60 道

B.难题比容易题多 20 道

C.难题比中档题多 10 道

D.中档题比容易题多 15 道

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分

11.分解因式:m3-4m=________.

成绩 /环

12.若某几何体从某个方向观察得到的视图是正方形,

10

9

则这个几何体可以是________.

8

7



13.如图是甲、乙两射击运动员 10 次射击成城的折线

6



统计图,则这 10 次射击成绩更稳定的运动员是________. O 14.若分式 ? m ? 6 的值是负整数,则整数 m 的值是________.
m?5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次数 (第13题)

15.在平面直角坐标系中,以原点为圆心,5 为半径的⊙O 与线 y=kx+2k+3(k≠0)交于 A,B

两点,则弦 AB 长的最小值是________.

16.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点 A 在第一象限,

y

点 B 是 x 轴正半轴上一点,∠OAB=45°,双曲线 y= k 过

A

x

点 A,交 AB 于点 C,连接 OC,若 OC⊥AB,则 tan∠ABO

C

的值是________. 三、解答题:本题共 9 小题,共 86 分

O

B

x

(第16题)

17.(8 分)计算:|-3|+ 3 ·tan30°-(3.14-? ) °

18.(8 分)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证:CB=CD.
A

B
1 C2
D

2019福州质检 第2页 共5页

19.

(8

分)先化简,再求值:(1-

1 x



x2

? 2x x2

?1

,其中

x=

3 +1

20.(8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC.求作⊙O,使得点 O 在边 AB 上, 且⊙O 经过 B、D 两点;并证明 AC 与⊙O 相切.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
B

C

D

A

21.( 8 分)

如图,将△ABC 沿射线 BC 平移得到△A'B'C',使得点 A'落在

∠ABC 的平分线 BD 上,连接 AA'、AC'.

A

(1)判断四边形 ABB'A'的形状,并证明;

(2)在△ABC 中,AB=6,BC=4,若 AC⊥A'B',

求四边形 ABB'A'的面积.

B

C

B'

A' D C'

2019福州质检 第3页 共5页

22. ( 10 分)为了解某校九年级学生体能训练情况,该年级在 3 月份进行了一次体育测试,决 定对本次测试的成绩进行抽样分析. 已知九年级共有学生 480 人,请按要求回答下列问题:
(1)把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上,揉成小球,放到一个不透 明的袋子中,充分搅拌后,随意抽取 30 个,展开小球,记录这 30 张纸片中所写的成绩 得到一个样本,你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗? 答:________(填“是”或“不是”)
(2)下表是用简单随机抽样方法抽取的 30 名同学的体育测试成绩(单位:分): 59 69 77 73 72 62 79 78 66 81 85 84 83 84 86 87 88 85 86 89 90 97 91 98 90 95 96 93 92 99
若成绩为 x 分,当 x≥90 时记为 A 等级,80≤x<90 时记为 B 等级,70≤x<80 时记为 C 等级,x<70 时记为 D 等级,根据表格信息,解答下列问题: ①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________; 估计全年级本次体育测试成绩在 A、B 两个等级的人数是________; ②经过一个多月的强化训练发现 D 等级的同学平均成绩提高 15 分,C 等级的同学平均 成绩提高 10 分,B 等级的同学平均成绩提高 5 分,A 等级的同学平均成绩没有变化, 请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分?
23.( 10 分)某汽车销售公司销售某厂家的某款汽车,该款汽车现在的售价为每辆 27 万元,每 月可售出两辆. 市场调查反映:在一定范国内调整价格,每辆降低 0.1 万元,每月能多卖一 辆.已知该款汽车的进价为每辆 25 万元. 另外,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司, 销售量在 10 辆以内(含 10 辆),每辆返利 0.5 万元:销售量在 10 辆以上,超过的部分每辆返 利 1 万元. 设该公司当月售出 x 辆该款汽车.(总利润=销售利润十返利)
(1)设每辆汽车的销售利润为 y 万元,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x>10 时,该公司当月销售这款汽车所获得的总利润为 20.6 万元,求 x 的值
2019福州质检 第4页 共5页

24.(13 分)在正边形 ABCD 中, E 是对角线 AC 上一点(不与点 A、C 重合),以 AD、AE 为邻 边作平行四边形 AEGD,GE 交 CD 于点 M,连接 CG.
(1)如图 1,当 AE< 1 AC 时,过点 E 作 EF⊥BE 交 CD 于点 F,连接 GF 并延长交 AC 于点 H. 2
①求证:EB=EF; ②判断 GH 与 AC 的位置关系,并证明. (2)过点 A 作 AP⊥直线 CG 于点 P,连接 BP,若 BP=10,当点 E 不与 AC 中点重合时,求 PA
与 PC 的数量关系.
G

D

FC

D

C

M

H

E

A

B

A

B

25.(13 分)已知抛物线 y=- 1 (x+5)(x-m)(m>0)与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左边), 2
与 y 轴交于点 C. (1)直接写出点 B、C 的坐标;(用含 m 的式子表示)
(2)若抛物线与直线 y= 1 x 交于点 E、F,且点 E、F 关于原点对称,求抛物线的解析式; 2
(3)若点 P 是线段 AB 上一点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,交直线 AC 于点 N,当
线段 MN 长的最大值为 25 时,求 m 的取值范围. 8

2019福州质检 第5页 共5页

参考答案

一、ABDBC DCBCB

二、11.m(m+2)(m-2) 12.正方体 13.甲 14.4 15.4 3

5 ?1 16.

2

三、

17.解:原式 ? 3 ? 3 ? 3 ?1·······························································6分 3

? 3?1?1 ·······································································7分

? 3 . ···········································································8分

18.证明:∵∠1 ? ∠2,

∴∠ACB ? ∠ACD. ································3分

B

在△ABC和△ADC中,
??B ? ?D, ???ACB ? ?ACD, ?? AC ? AC,

A

1 C2

D

∴△ABC≌△ADC(AAS), ···················································6分

∴CB ? CD. ·····································································8分

注:在全等的获得过程中,∠B=∠D,AC=AC,△ABC≌△ADC,各有1分.

19.解:原式 ?

x ?1? x

x2

? 2x ?1 x2

···························································1分

?

x

? x

1

?

(

x

x2 ? 1)2

································································3分

?

x

x ?1



·······································································5分

当 x ? 3 ?1 时,原式 ? 3 ? 1 ···············································6分 3 ?1?1

? 3 ?1 3

20.解:
B

?

3? 3

3

. ···············································8分

O

C

D

A

······································3分 如图,⊙O就是所求作的圆. ···················································4分 证明:连接OD.
∵BD平分∠ABC, ∴∠CBD ? ∠ABD.······················································5分 ∵OB ? OD, ∴∠OBD ? ∠ODB, ∴∠CBD ? ∠ODB, ·····················································6分

2019福州质检 第6页 共5页

∴OD∥BC, ∴∠ODA ? ∠ACB

又∠ACB ? 90°,

∴∠ODA ? 90°,

即OD⊥AC. ·······························································7分

∵点D是半径OD的外端点,

∴AC与⊙O相切. ························································8分

注:垂直平分线画对得1分,标注点O得1分,画出⊙O得1分;结论1分. 21.(1)四边形ABB′A′是菱形. ··························································1分

证明如下:由平移得AA′∥BB′,AA′ ? BB′,

∴四边形ABB′A′是平行四边形,∠AA′B ? ∠A′BC. ·········2分

∵BA′平分∠ABC,

∴∠ABA′ ? ∠A′BC,

∴∠AA′B ? ∠A′BA, ···············································3分

∴AB ? AA′,

∴□ABB′A′是菱形.················································4分

(2)解:过点A作AF⊥BC于点F.

由(1)得BB′ ? BA ? 6.

由平移得△A′B′C′≌△ABC,

∴B′C′ ? BC ? 4,

∴BC′ ? 10. ·························5分

∵AC′⊥A′B′,

∴∠B′EC′ ? 90°,

B

∵AB∥A′B′,

∴∠BAC′ ? ∠B′EC′ ? 90°.

A

A' D

E

F C B'

C'

在Rt△ABC′中,AC′ ? BC?2 ? AB2 ? 8 . ·······························6分

∵S△ABC′

?

1 2

AB

?

AC?

?

1 2

BC? ?

AF



∴AF

?

AB ? AC? BC?

?

24 5



·····················································7分

∴S菱形ABB′A′

?

BB? ?

AF

?

144 5



∴菱形ABB′A′的面积是

144 5



·············································8分

22.(1)是; ·················································································2分

(2)①85.5;336; ······································································6分

②由表中数据可知,30名同学中,A等级的有10人,B等级的有11人,

C等级的有5人,D等级的有4人.

依题意得,

15 ?

4

?10 ?

5 ? 5 ?11? 30

0 ?10

·····································8分

? 5.5 . ································································9分

∴根据算得的样本数据提高的平均成绩,可以估计,强化训练后,全年

级学生的平均成绩约提高5.5分.········································10分 23.解:(1) y ? 27 ? 25 ? 0.1(x ? 2) ? ?0.1x ? 2.2 ; ····································4分

(2)依题意,得 (?0.1x ? 2.2)x ? 0.5?10 ?1? (x ?10) ? 20.6 ,···············7分

解得 x1 ? x2 ? 16 . ····························································9分 答:x的值是16.····························································10分 注:(1)中的解析式未整理成一般式的扣1分.

2019福州质检 第7页 共5页

24.(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ADC ? ∠BCD ? 90°,CA平分∠BCD.

G

∵EF⊥EB, ∴∠BEF ? 90°.

D M

FC

证法一:过点E作EN⊥BC于点N, ··········1分

H

∴∠ENB ? ∠ENC ? 90°.

∵四边形AEGD是平行四边形, ∴AD∥GE,

E

N

∴∠EMF ? ∠ADC ? 90°,

A

B

∴EM⊥CD,∠MEN ? 90°,

∴EM ? EN,·················································2分

∵∠BEF ? 90°,

∴∠MEF ? ∠BEN,

∴△EFM≌△EBN,

∴EB ? EF. ·················································3分

证明二:过点E作EK⊥AC交CD延长线于点K, ·················1分

∴∠KEC ? ∠BEF ? 90°,

∴∠BEC ? ∠KEF,

G

∵∠BEF ? ∠BCD ? 180°, ∴∠CBE ? ∠CFE ? 180°.

K

D M

FC

∵∠EFK ? ∠CFE ? 180°,

H

∴∠CBE ? ∠KFE.

又∠ECK ?

1 2

∠BCD ?

45°,

E

∴∠K=45°, ∴∠K ? ∠ECK,

A

B

∴EC ? EK, ·················································2分

∴△EBC≌△EFK,

∴EB ? EF. ·················································3分

证明三:连接BF,取BF中点O,连接OE,OC. ···············1分

∵∠BEF ? ∠BCF ? 90°,

G

∴OE ?

1 2

BF ?

OC,

∴点B,C,E,F都在

以O为圆心,

OB为半径的⊙O上.

D M
E

F

C

H

O

∵ BE ? BE ,

∴∠BFE ? ∠BCA ? 45°, ·····2分 A

B

∴∠EBF ? 45°? ∠BFE,

∴EB ? EF. ·················································3分

②GH⊥AC.········································································4分

证明如下:∵四边形ABCD是正方形,

四边形AEGD是平行四边形,

∴AE ? DG,EG ? AD ? AB,AE∥DG,

∠DGE ? ∠DAC ? ∠DCA ? 45°,

∴∠GDC ? ∠ACD ? 45°. ·································G·····5分 由(1)可知,

∠GEF ? ∠BEN,EF ? EB. ∵EN∥AB,

D M

FC H

2019福州质检 第8页 共5页

E

N

A

B

∴∠ABE ? ∠BEN ? ∠GEF, ∴△EFG≌△BEA, ·················6分 ∴GF ? AE ? DG, ∴∠GFD ? ∠GDF ? 45°, ∴∠CFH ? ∠GFD ? 45°, ∴∠FHC ? 90°, ∴GF⊥AC. ······················································7分 (2)解:过点B作BQ⊥BP,交直线AP于点Q,取AC中点O, ∴∠PBQ ? ∠ABC ? 90°. ∵AP⊥CG, ∴∠APC ? 90°.

①当点E在线段AO上时,(或“当 0 ? AE ? 1 AC 时”) 2

∠PBQ ? ∠ABP ? ∠ABC ? ∠ABP, 即∠QBA ? ∠PBC. ···························8分 ∵∠ABC ? 90°, ∴∠BCP ? ∠BAP ? 180°.

G P

D

C

M

∵∠BAP ? ∠BAQ ? 180°,

O

∴∠BAQ ? ∠BCP. ···························9分

∵BA ? BC,

E

∴△BAQ≌△BCP,··························10分

A

B

∴BQ ? BP ? 10,AQ ? CP,

在Rt△PBQ中,PQ ? BP2 ? BQ2 ? 10 2 .

Q

∴PA ? PC ? PA ? AQ ? PQ ? 10 2 .···································11分

②当点E在线段OC上时,(或“当

1 2

AC

?

AE

?

AC

时”)

∠PBQ ? ∠QBC ? ∠ABC ? ∠QBC,

即∠QBA ? ∠PBC.

∵∠ABC ? ∠APC ? 90°,∠AKB ? ∠CKP,

D

∴∠BAQ ? ∠BCP. ··························12分

∵BA ? BC,

∴△BAQ≌△BCP,

∴BQ ? BP ? 10,AQ ? CP,

G

M E O
Q

C KP

在Rt△PBQ中,PQ ? BP2 ? BQ2 ? 10 2 .

A

B

∴PA ? PC ? PA ? AQ ? PQ ? 10 2 .········13分

综上所述,当点E在线段AO上时,PA ? PC ? 10 2 ;

当点E在线段OC上时,PA-PC ? 10 2 .

25.(1)B(m,0),C(0,

5 2

m

);

·················································2分

解:(2)设点E,F的坐标分别为(a,

a 2

),(

?a



?

a 2

),

··············3分

代入 y ? ? 1 (x ? 5)(x ? m) ? ? 1 x2 ? 1 (m ? 5)x ? 5 m ,

2

22

2



??? ? ??

1 2
1

a2 a2

? 1 (m ? 5)a ? 2
? 1 (m ? 5)a ?

5m ? a, ① 22 5m ? ?a, ②

····································4分

?2 2

2

2

由① ? ②,得 (m ? 5)a ? a .

2019福州质检 第9页 共5页

∵a?0,

∴ m ? 6 ,······································································5分

∴抛物线的解析式为 y ? ? 1 x2 ? 1 x ?15 . ·····························6分 22

(3)依题意得A(

?5

,0),C(0,

5 2

m

),

由 m ? 0 ,设过A,C两点的一次函数解析式是 y ? kx ? b ,

将A,C代入,得

???5k ???b ?

?b? 5 m. 2

0, 解得

??k ? ??b

? ?

1 2
5 2

m, m,

∴过A,C两点的一次函数解析式是

y

?

1 2

mx

?

5 2

m

.·················7分

设点P(t,0),则 ?5剟t m ( m ? 0 ),

∴M(t, ? 1 t2 ? 1 (m ? 5)t ? 5 m ),N(t, 1 mt ? 5 m ).

22

2

22

①当-5<t≤0 ?5剟t 0 时,

∴MN ? ? 1 t2 ? 1 (m ? 5)t ? 5 m ? (1 mt ? 5 m)

22

222

? ? 1 t2 ? 5 t .·······················································8分 22

∵ ? 1 ? 0 ,∴该二次函数图象开口向下, 2

又对称轴是直线

t

?

?

5 2



∴当

t

?

?

5 2

时,MN的长最大,

此时MN ? ? 1 ? (? 5)2 ? 5 ? (? 5) ? 25 . ····························9分 2 2 2 28
②当0<t≤m时,

∴MN

?

1 2

mt

?

5 2

m

? [?

1 t2 2

?

1 (m 2

? 5)t

?

5 2

m]

?

1 t2 2

?

5t 2



·········10分

∵ 1 ? 0 ,∴该二次函数图象开口向上, 2

又对称轴是直线 t ? ? 5 , 2
∴当0<t≤m时,MN的长随t的增大而增大,

∴当 t

?

m

时,MN的长最大,此时MN

?

1 2

m2

?

5 2

m

. ············11分

∵线段MN长的最大值为

25 8



∴ 1 m2 ? 5 m ? 25 , ·····················································12分 2 28

整理得 (m ? 5)2 ? 50 , 24

由图象可得 ? 5 ? 5 2 ≤m≤ ? 5 ? 5 2

2

2

∵m?0,

∴m的取值范围是0<m≤ ? 5 ? 5 2 .··································13分 2

2019福州质检 第10页 共5页


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