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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(24)平面向量的概念及其线性运算


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课时作业(二十四) [第 24 讲 平面向量的概念及其线性运算]

[时间:35 分钟 分值:80 分]

基础热身 → → → 1. 如图 K24-1,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( )

图 K24-1 A.0 → B.BE → C.AD → D.CF a b c 2. 设非零向量 a,b,c,若 p= + + ,那么|p|的取值范围为( ) |a| |b| |c| A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[1,2] 3. 已知向量 a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数 x 的值为( ) A.-3 B.2 C.4 D.-6 → → 4. 如图 K24-2 所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=(

)

图 K24-2 → A.OH → B.OG → C.FO → D.EO 能力提升 5.已知 λ∈R,则下列命题正确的是( ) A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a| D.|λa|>0 6. △ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinB=1,向量 p=(a, b),q=(1,2).若 p∥q,则 C 的大小为( ) π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 → → → → → → 7. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立, 则 m=( )
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A.2 B.3 C.4 D.5 → → 8. 如图 K24-3,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F.设AB=a,AC= → b,AF=xa+yb,则(x,y)为( )

图 K24-3 1 1? A.? ?2,2? 2 2? B.? ?3,3? 1 1? C.? ?3,3? 2 1? D.? ?3,2?

图 K24-4 → 1→ → → 2→ 9. 如图 K24-4,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC, 3 11 则实数 m 的值为________. → 3→ 1→ 10. 若 M 为△ABC 内一点,且满足AM= AB+ AC,则△ABM 与△ABC 的面积之比 4 4 为________. 11.设 a、b 为平面向量,若存在不全为零的实数 λ,μ 使得 λa+μb=0,则称 a、b 线 性相关,下面的命题中,a、b、c 均为已知平面 M 上的向量. ①若 a=2b,则 a、b 线性相关; ②若 a、b 为非零向量,且 a⊥b,则 a、b 线性相关; ③若 a、b 线性相关,b、c 线性相关,则 a、c 线性相关; ④向量 a、b 线性相关的充要条件是 a、b 共线. 上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号) 12.(13 分) 如图 K24-5 所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N → → → → → 分别是 DC、AB 的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用 a,b,c 表示BC,MN.

图 K24-5

难点突破 13.(12 分) 如图 K24-6,G 是△ABC 的重心,OG 延长线交 AB 于点 M,P、Q 分别 是边 OA、OB 上的动点,且 P、G、Q 三点共线. → → → → → (1)设PG=λPQ,将OG用 λ、OP、OQ表示;

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1 1 → → → → (2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明: + 是定值. x y

图 K24-6

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课时作业(二十四) 【基础热身】 1.D 2.C 3. 3.D [解析] 因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4), ∴4(x+3)-(x-6)=0,x=-6. → → → → 4.C [解析] 设 a=OP+OQ,利用平行四边形法则作出向量OP+OQ,再平移即发现 → a=FO. 【能力提升】 5.C [解析] 当 λ<0 时,|λa|=λ|a|不成立,A 错误;|λa|应该是一个非负实数,而非向 量,所以 B 不正确;当 λ=0 或 a=0 时,|λa|=0,D 错误. π a 6.B [解析] 由 sinB=1?B= ,在△ABC 中 cosC= , 2 b b 1 π 又由 p=(a,b),q=(1,2),p∥q?2a-b=0?a= ,故 cosC= ?C= . 2 2 3 7.B [解析] 由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D, → 2→ → → → → 则AM= AD①,因为 AD 为中线,则AB+AC=2AD=mAM, 3 → → 即 2AD=mAM②,联立①②可得 m=3,故 B 正确. 8.C [解析] ∵AD=DB,AE=EC, → 1→ ∴F 是△ABC 的重心,则DF= DC, 3 → → → → 1→ → 1 → → ∴AF=AD+DF=AD+ DC=AD+ (AC-AD) 3 3 2 → 1 → 1→ 1 → = AD+ AC= AB+ AC, 3 3 3 3 1 1 ∴x= ,y= . 3 3 3 → → → 2→ → → 3→ → =1AC 9. [解析] AP +NP=mAB+ AC,NP=mAB- AC. 11 4 11 44 → → → 3→ → → → 1→ → → → 1 → → 3→ NB=NC+CB= AC+(AB-AC)=AB- AC, 设NP=λNB, 则 λAB- λAC=mAB- AC, 4 4 4 44 3 m=λ= . 11 1 → → → → → → 10. [解析] 由题知 B、M、C 三点共线,设BM=λBC,则:AM-AB=λ(AC-AB), 4 → → → ∴AM=(1-λ)AB+λAC, 1 ∴λ= , 4 S△ABM 1 ∴ = . S△ABC 4 11.①④ [解析] ②若 a⊥b,则 a、b 不线性相关,命题错误;③b 为零向量时,命题 错误. → → → → =BA 12.[解答] BC +AD+DC=-a+b+c, → → → → ∵MN=MD+DA+AN, 1→ → → → → 1→ 又∵MD=- DC,DA=-AD,AN= AB, 2 2
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→ → → → → → → → → [解析] BA+CD+EF=BA+AF-BC=BF-BC=CF,所以选 D. a b c [解析] 因为 , , 是三个单位向量,因此三个向量同向时,|p|的最大值为 |a| |b| |c|

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1 → 1 ∴MN= a-b- c. 2 2 【难点突破】 → → → → → 13.[解答] (1)OG=OP+PG=OP+λPQ → → → → → =OP+λ(OQ-OP)=(1-λ)OP+λOQ. (2)证明:由(1),得 → → → → → OG=(1-λ)OP+λOQ=(1-λ)xOA+λyOB.① ∵G 是△OAB 的垂心, → 2 → 2 1 → → 1→ 1→ ∴OG= OM= × (OA+OB)= OA+ OB.② 3 3 2 3 3 → → 而OA、OB不共线, 1 ?1-λ?x= , 3 ∴由①②,得 . 1 λy= 3

? ? ?

?x=3-3λ, 解之,得? 1 ?y=3λ,
1 1 1 1 ∴ + =3,即 + 是定值. x y x y

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