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含参函数的单调性


课题导入
安徽高考真题展示:
(07)设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令F(x)=xf'(x), 讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1

2 (09)已 知 函 数 f ( x ) ? x ? ? a(2 ? ln x ), a ? 0.讨 论 f ( x )的 单 调 性 x


(10)设a为实数,函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R (Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值; x 2 e ? x ? 2。 ax ? 1 (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1 且x>0时,

含参函数单调性的研究

目标引领 1、熟练掌握求函数单调性的一般步骤。

2、总结出含参函数在讨论时的常见分类标准。

3、体会数形结合思想的应用。

独立自学
1 用导数判断函数单调性法则: 、 则f ( x)在此区间是增函数; 如果在(a,b)内, f ?( x)>0,
则f ( x)在此区间是减函数。 如果在(a,b)内,f ?( x)<0,

1 2 2、 已 知 函 数 f ( x ) ? ? x ? 3x ? 2 ln x, 则f ( x )的 增 区 间 是 2

(0,1)和 (2, ? ?)

3、求函数单调区间的一般步骤是 2、求导f'(x) 1、求定义域 3、令f'(x)>0,求出增区间,令f'(x)<0,求出减区间。

引导探究
(2008全国)已知函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1, a ? R.讨论函数f ( x)的单调区间.

解 : f' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 判 别 式 ? ? 4(a 2 ? 3)

当? ? 0即- 3 ? a ? 3时

对?x ? R都 有 f ' ( x) ? 0恒 成 立 , 故 f ( x)在R上 是 增 函 数 ;
当? ? 0即a ? 3或a ? ? 3时,
?a ? a 2 ? 3 ? a ? a 2 ? 3 在(??, )( ,+?)上, f ?( x) ? 0, 则f ( x)是增函数. 3 3

?a ? a 2 ? 3 ? a ? a 2 ? 3 在( , )上,f ?( x) ? 0, 则f ( x)是减函数. 3 3

对于二次函数取值正负,当根的情况 不能确定时,要对判别式进行讨论。

1 2 设 函 数 f ( x ) ? ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x.试 讨 论 f ( x )的 单 调 区 间 。 2

引导探究

解 : 函 数 的 定 义 域

(0,??)

2 ( ax ? 1)( x ? 2) f ' ( x ) ? ax ? (2a ? 1) ? ? x x
2? x (1)当a ? 0时 , f ' ( x) ? x

哪些因素会影 响函数的单调 区间?

所 以 f ( x)在 (0,2) 上 递 增 , 在 (

2, ? ?) 上 递 减 。

1 (2)当a ? 0时 , 令 f ' ( x ) ? 0, 得x1 ? ? 0. x2 ? 2 a
结 合 二 次 函 数 图 象 知 在 (2, ? ?) 递 减 。 f ( x)在 (0,2) 上 递 增 ;

1 (3)当a ? 0时 , 令 f ' ( x ) ? 0, 得x1 ? ? 0. x2 ? 2 a

1 1 1)当 ? 2即a ? 时 , f ( x )在 (0, ? ?) 上 为 增 函 数 。 a 2
1 1 1 2)当 ? 2即0 ? a ? 时 , f ( x )在 (0, 2) 和 ( ,??)上 为 增 函 数 ; a 2 a

1 f ( x )在 (2, ) 上 为 减 函 数 。 a
1 1 1 3)当 ? 2即a ? 时 , f ( x )在 (0, ) 和 ( 2,??)上 为 增 函 数 ; a 2 a

1 f ( x )在 ( , 2) 上 为 减 函 数 。 a

综上:

(1)当a ? 0时 , f ( x)在 (0,2) 上 递 增 , 在 (

2, ? ?) 上 递 减 。

1 (2)当a ? 时 , f ( x )在 (0, ? ?) 上 为 增 函 数 。 2 1 1 (3)当0 ? a ? 时 , f ( x )在 (0, 2) 和 ( ,??)上 为 增 函 数 ; 2 a 1 f ( x )在 (2, ) 上 为 减 函 数 。 a 1 1 (4)当a ? 时 , f ( x )在 (0, ) 和 ( 2,??)上 为 增 函 数 ; 2 a

1 f ( x )在 ( , 2) 上 为 减 函 数 。 a

1、如果二次函数的二次项系数有参数,要讨论其与0的关系

2、对于确定有根的二次函数,要讨论根的大小。
3、要注意根是否在定义域内

目标升华

本节课你学到了什么?
对含参的二次函数的讨论主要遵循的标准:
二次项系数与0的关系从而确定开口 判别式与0的关系从而确定根的个数 根的大小比较以及根是否在定义域内 注意:1、如果有多个分类标准,我们要各个击破,不能通盘考虑

2、在写单调区间时多画图象,熟练应用数形结合的思想

当堂诊学
(2011辽宁理)已知函数f (x)= ln x ? ax 2 ? (2 ? a)x, 讨论函数f (x)的单调性
解:f ( x)的定义域为(0, ? ?) 1 (2 x +1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ?? x x 当a ? 0时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(0, ? ?)单调递增; f ?( x) ? 当a ? 0时, 令f ?( x) ? 0,解得x ? 1 a 1 1 ? 则当x ? (0, )时,f ( x) ? 0; x ? ( , ??)时,f ?( x) ? 0 a a 1 1 故f ( x)在(0, )单调递增,在( , ??)单调递减。 a a

强化补清
2 (09)已 知 函 数 f ( x ) ? x ? ? a(2 ? ln x ), a ? 0.讨 论 f ( x )的 单 调 性 x

(07)设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令F(x)=xf'(x), 讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性


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