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1.3.3函数的奇偶性

1.3.3 函数的奇偶性
1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f(x) + f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 〔或 f(x) -f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(即函数为奇函数或偶函数的必要条 件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)奇函数的对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 (6)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶 函数之和. 4.函数按奇偶性可分为:奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数四种。 一,奇偶性的判断。例 1 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ? 4x (2) f ( x) ? x ? 2 x
2

(3) f ( x) ? 1

(4)

f ( x) ? 1 ? x ? x ? 1

(5) f ( x) ? ( x ? 1) .

1? x 1? x

(6). f ( x) ? ?

? x 2 ? x ( x ? 0) 2 ? x ? x ( x ? 0)

练习:1.下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关 于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 2.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx2+cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 2 3.已知 f x) ( =ax +bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, , a=_ b=____ 2a] 则 二,定义及性质的应用 例 2.已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? a 1? x2

是奇函数,求 a 的值

2 例 3 已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数。当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x ,则

当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ?

.

例 4(1) 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2)
1

C.f(-1)<f(2)<f(0)

D.f(2)<f(-1)<f(0)

(2). 已知 f(x)是偶函数,定义域为(-∞,+∞),它在[0,+∞)上是减函数, 那么下列式子一定正确的是( )

三.利用单调性求植。 例 5.已知 f(x)=ax3+bx+1,且 f(5)=7,求 f(-5)的值。

练习 (1)已知 f(x)=x4+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_____________。2、 (2)设函数 f ? x ? 是奇函数, f ?1? ?

1 , f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? f ? 2 ? , 则 f ? 5? =______ 2

() (3)若 ? ( x), g x 都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg ( x) ? 2 在 ? 0,??? 上有最大值 5,则 f(x)
在 ? ??,0? 上有 A. 最小值-5 B.最大值-5 四.利用单调性解不等式。 C.最小值-1 D.最大值-3 ( )

2 例 6. 定义在 ?? 3,3? 上的奇函数 f (x) 为减函数,对于任意实数 a ,总有 f (a ) ? f (a) ? 0 ,

求 a 的取值范围.

例 7.定义在[-2,2]上的偶函数 g(x) ,当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1-m) <g(m) ,求 m 的取值范围.

五.抽象函数的奇偶性 例 8 已 知 不 恒 为 0 的 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 R, 且 对 任 意 x1 , x 2 , 总 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立, 判断 f (x) 的奇偶性.

2

例 9. 设函数 yfx ? x0 ? )( R ? ,对任意实数 x 1 、 x 2 满足 f 1 f 2? 1 ) ( x 且) ( ) ( )f x x x ( 2 ? x 。 (1)求证: f1 f ? ? ; () ( 1 0 ? ) (2)求证: y?f(x 为偶函数; )

练习:设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2, (1) 求证 f(0)=0 (2) 求证: y?f(x 为奇函数; ) (3) 求 y?f(x 在[-3,3]上的最大值和最小值。 )

【课后检测】 1.下列四个命题: (1)f(x)=1 是偶函数; (2)g(x)=x3,x∈(-1,1 ] 是奇函数; (3)若 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 H(x)=f(x) ·g(x)一定是奇函数; (4)函数 y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,其中正确的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2、对于定义域 R 上的任何奇函数 f(x)都有 ( ) (A) f (x)- f (-x)<0(x ? R ) ; (B) f (x)- f (-x) ? 0 (x ? R ) ; (C) f (x)· f (-x) ? 0(x ? R ) (D)f (x)·f (-x)>0(x ? R ) ; 。 2. 若 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调减,则( A.f(3)+f(4)>0 C.f(-2)+f(-5)<0 B.f(-3)-f(-2)<0 D.f(4)-f(-1)>0 ) ( )

3.定义在区间(-∞, +∞)上的奇函数 f ( x )为增函数,偶函数 g ( x )在 区间[0,+∞)上的图象与 f(x)的图象重合,设 a<b<0,给出下列不等式,其 中成立的是( ) ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 4、设 a 为常数,函数 f ( x) = x - 4x + 3 . 若 f ( x + a ) 为偶函数,则 a 等于( A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
2



5.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且最小值为 1,则 f(x)在[-b,-a]上是( ) A.增函数且最小值是-1 C.减函数且最小值是-1 B.增函数且最大值是-1 D.减函数且最大值是-

3

6、偶函数 f ?x ? 在区间 ?1,4? 上是减函数,下列不等式成立的是: ( A. f

) D . f ?2? ? f ?? 3?

? 2 ? ? f ?? 3?

B. f ?? 1? ? f ?3?;

C. f ?? ? ? ? f ?? ?

7.定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则不等式 x f(x)<0 的解集为 ( ) A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 8 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? 1 为 R 上的偶函数,则 b = ________ 9. 已知 (x) f 是定义在 R 上的奇函数, 时, x) 2-2x+3, (x) x>0 ( =x f 则f =________________。

1 ? a 是奇函数,a=_______。 3 ?1 x x ? (a>0 且 a≠1)的奇偶性是________。 11.函数 y ? x a ?1 2 3 2 12.已知 f (x) 是 R 上偶函数,且在 ?0,?? ? 上递减,则 f (? ) _____ f (1 ? a ? a ) 。 4
10.已知 f ( x ) ?
x

13、判别下列函数的奇偶性:

(1) f ( x) ? x3 ?

1 ; x

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ;

(3) f ( x) ? (1 ? x) ? 3(1 ? x ) ? 2
3 2

(4) f ( x) ? 1 ? x 2 ?

x2 ?1

14、判断函数的奇偶性,并利用奇偶性作图。 (1)

f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3

(2) f ( x) ? ?

? x(1 ? x), ( x ? 0) ? x(1 ? x), ( x ? 0)

15、已知 f ( x) ?

x 2 ? (a ? b ? 2) x ? 1 是 [a, b ? 1] 上的偶函数,求 f (a ? b) 的值。 x2 ? 2
ax 2 ? 1 (a、b、c∈Z)是奇函数,f(1)=2,f(2)<3,求 a、b、c bx ? c

16 已知函数 f(x)=

(选做题)1.已知 f(x)是奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)= 时,求 f(x)的表达式

1 ,那么当 x∈(-1,0) 1? x 1 ,求 f ( x), g ( x) x ?1

2.若 f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,且 f ( x ) ? g ( x ) ?

4


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