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2012-2013学年度石家庄高二第一学期期末数学理科试题


石家庄市 2012~2013 学年度第一学期期末考试试卷

高二数学(理科答案)
一.选择题

1-5 ACABD 二.填空题 13. 19,13 三.解答题

6-10 DCCCA .

11-12 DD
2

14. ?m0 ? R, m0 ? 2m0 ? 1 ? 0 .

15. 80 .

16. y ? ? x ? 4 x ? 2
2

17.解: x ? 173 , y ? 176 ,………………4 分

? ? ? ? 代入参考公式得 b ? 1 , a ? y ? bx ? 3 ,所以线性回归方程为 y ? x ? 3 ,………8 分
? 当 x ? 182 时, y ? 185 ,即该老师预测他的孙子身高为 185cm. …………10 分
18.解:因为圆心在直线 y ? x 上,所以设圆心坐标 (a, a) ,圆半径 r,依据题意有:

1 ? ? a ? 2a ? 1 ?a ? ? 2 ?a ? 2 ?r ? ? ? ,…………6 分解得 ? 或? ,………………10 分 5 ? 5 ?r ? 5 ? ? ?r 2 ? a 2 ? 1 r? ? ? ? 2
2 2 故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5 或 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

5 4

………12

分 19. 解:(Ⅰ) 分 组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合 计 频 数 2 8 10 16 14 50 频 率 0.04 0.16 0.2 0.32 0.28 1.00

(Ⅱ)

600 ? (0.2+0.32)=600 ? 0.52=312,该年级成绩在 [70,90 ) 段的学生人数约为 312

人; ? 0.04+65 ? 0.16+75 ? 0.2+85 ? 0.32+95 ? 0.28=81.4 分 该年级学生的平均分约为 81.4 55 分 20.解: (Ⅰ)因为平面 PCD⊥底面 ABCD, PD⊥CD, 所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 又 ?ADC =90° ,所以以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz.则 A(1,0,0) , B(1,1,0) ,C(0,2,0) P(0,0,1) , z ………2 分
P

DB ? (1,1,0), BC ? (?1,1,0).
E

所以

BC ? DB ? 0, BC ? DB,
D C y

又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD. ………5 分 (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1,0),
x A B

PC ? (0,2,?1), PE ? ? PC, ? ? (0,1) ,所以 E (0,2? ,1 ? ? ) ,…………7 分
设平面 EBD 的法向量为 n=(a,b,c) DB ? (1,1,0), DE ? (0,2? ,1 ? ? ) , 由 n ? DB ? 0 ,n ?DE ? 0 ,得

????

? a ? b ? 0, ? ? 2? b ? (1 ? ? )c ? 0,

? n ? (?1,1,

2? ) ,………………………………………10 分 ? ?1

??? ? ? n ? BC 由 cos ? ??? ,解得 ? ? 2 ? 1 …………………………12 分 ? 4 n BC
21. 解:(Ⅰ)? a, b ? ?? 1,1,2?( a ? b ) 所以(a,b)的取值所有可能的结果有 6 种: (-1,1)(-1,2)(1,-1)(1,2)(2,-1)(2,1) ; ; ; ; ; ,……………3 分 而当 ?

?a ? 0 时,直线不经过第四象限,符合条件的(a,b)有 2 种结果. ?b ? 0

? P(直线不过第四象限) =

1 3
2 2

……………6 分

(Ⅱ)? 直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 1 有公共点,

?

1 a ? b2
2

?1


a 2 ? b2 ? 1,………………8 分

a 是区间 ? ?2, 2? 上的随机数, b 是区间 ? ?1,1? 上的随机数,则点(a,b)均匀分布于矩
形 ABCD 区域内(如图) 满足条件 a 2 ? b 2 ? 1 的点(a,b)均匀分布于阴影部分表示的内.……………10 分

?P(直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点)
=

S阴影 4? 2 ?? ? ? ? 1 ? …………………12 分 S ABCD 4? 2 8

22. (本小题满分 12 分) 解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2
…………………………3 分

? 2a ? 2 3 ?a ? 3 ? ? 2 由题意,得 ? c 3 ,解得 ?c ? 1 ,所以 b ? 2 . ? ? ? ? 3 ?a
所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 3 2

…………………………………………………4 分

(II)由(I)知 F1 (?1,0) . 假设在 x 轴上存在一点 M (t , 0) ,使得 MP ? MQ 恒为常数. ①当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) .

???? ???? ?

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (2 ? 3k ) x ? 6k x ? (3k ? 6) ? 0 . ? ?1 ? 2 ?3

6k 2 3k 2 ? 6 所以 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . ………………………………………7 分 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 ???? ???? ? MP ? MQ ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? y1 y2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? t )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? t 2

(k 2 ? 1)(3k 2 ? 6) (k 2 ? t ) ? 6k 2 (6t ? 1) k 2 ? 6 2 2 2 ? ? ?k ?t ? ?t 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

1 16 16 (2t ? )(2 ? 3k 2 ) ? (4t ? ) 4t ? 3 3 ? t 2 ? t 2 ? 2t ? 1 ? 3 . ? 2 2 ? 3k 3 2 ? 3k 2 ???? ???? ? 16 4 因为 MP ? MQ 是与 k 无关的常数,从而有 4t ? ? 0 ,即 t ? ? . 3 3 ???? ???? ? 11 此时 MP ? MQ ? ? . ……………10 分 9

②当直线 l 与 x 轴垂直时,此时点 P 、 Q 的坐标分别为 ? ?1,

? ? ?

2 3? ? 2 3? ? 、?1,? ? ?, 3 ? ? 3 ? ? ? ?

当t??

???? ???? ? 4 11 4 时 , 亦 有 MP ? MQ ? ? . 综 上 , 在 x 轴 上 存 在 定 点 M ( ? , 0) , 使 得 3 9 3 ???? ???? ? 11 MP ? MQ恒为常数,且这个常数为 ? . 9
…………………………………………………………12 分

附加题答案: 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

2 12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 3 9 3 1 得 a ? ? , b ? ?2 ; 2
由 f (? ) ?
'



x
f ' ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 ( ? ,1) 3

1
0
极小值

(1, ??)

?


0
极大值 减

?

?


f ( x)

所以 a,b 的值为 ?

1 2 ,-2,函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 2 3

2 ( ? ,1) . 3

1 2 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] , 2 2 2 22 当 x ? ? 时, f (? ) ? ? c 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值, 3 3 27
(Ⅱ) f ( x) ? x ?
3

要使 f ( x) ? c , x ? [?1, 2] 恒成立,
2

则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,
2

得 c ? ?1, 或c ? 2

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特级教师 王新敞
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