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天全县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

天全县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若双曲线右支上存在一点 P,使得 F2 )

姓名__________

分数__________

关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A.1<e< A. ? ??, 40? 3. “ B.e> C.e> D.1<e<

2. 若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(



?64, ???

B. [40,64]

C. ? ??, 40?

D. ?64, ?? ? )

”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( B.充分必要条件 D.非充分非必要条件

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

4. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 B.2 C. D.2



5. 某校新校区建设在市二环路主干道旁,因安全需要,挖掘建设了一条人行地下通道,地下通道设计三视图 中的主(正)视力(其中上部分曲线近似为抛物)和侧(左)视图如图(单位:m),则该工程需挖掘的总土 方数为( )

A.560m3

B.540m3

C.520m3

D.500m3

6. 高三(1)班从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加学校组织社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又 有女生,则不同的选法共有( A.34 种 B.35 种 ) C.120 种 ) D.140 种

7. 函数 f(x)=eln|x|+ 的大致图象为(

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A.

B.

C.

D.

8. 若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是( A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ?



? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ,则 ? ? ?
9. 关于函数 f ( x) ?

2 ? ln x ,下列说法错误的是( x



(A) x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点 ( B ) 函数 y ? f ( x) ? x 有且只有 1 个零点 (C)存在正实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立 (D)对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4

10. y) 已知点 P (x, 的坐标满足条件 A. B. C.﹣6 D.6

, (k 为常数) , 若 z=3x+y 的最大值为 8, 则 k 的值为 (



11.设函数 f ( x) 是定义在 (??,0) 上的可导函数,其导函数为 f ' ( x) ,且有 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? x 2 ,则不等式

( x ? 2014 ) 2 f ( x ? 2014 ) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为
) A、 (??,?2012 ,0) B、 (?2012 ) C、 (??,?2016 ,0) D、 (?2016
,那么实数

12.已知直线 x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 交于不同的两点 A、B,O 是坐标原点,且 a 的取值范围是( A. D. ) B. C.

二、填空题
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13.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1,

=Sn.则数列{an}的通项公式 an= .



14.满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 的个数是 15.不等式 的解为 .

16.如果椭圆

+

=1 弦被点 A(1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程是



17.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. ①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是 ②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是 ; . .

18. B、 C、 D 四点, 在半径为 2 的球面上有 A、 若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2a ln x ,且 g ( x) 有两个极值点,其中 x1 ? [0,1] ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力.

1 ? a ln x(a ? R) . x

20.设函数 f(θ)= 经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. (Ⅰ)若点 P 的坐标为

,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边

,求 f(θ)的值;

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(Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 最小值和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)的

21.已知函数 f(x)=ax2﹣2lnx. (Ⅰ)若 f(x)在 x=e 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 x∈(0,e],求 f(x)的单调区间; (Ⅲ) 设 a> ,g(x)=﹣5+ln ,? x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9 成立,求 a 的取值范围.

22.已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠B= 所示的几何体 (Ⅰ)求几何体的表面积

,DC=2AB=2BC=2

,以直线 AD 为旋转轴旋转一周的都如图

(Ⅱ)判断在圆 A 上是否存在点 M,使二面角 M﹣BC﹣D 的大小为 45°,且∠CAM 为锐角若存在,请求出 CM 的弦长,若不存在,请说明理由.

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23.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S9 ? 90 , S15 ? 240 . (1)求 {an } 的通项公式 an 和前 n 项和 Sn ; (2)设 anbn ? 取值范围.

1 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,若不等式 Sn ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,求实数 t 的 (n ? 1)

24.在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ACF; (Ⅱ)求证:BD⊥AE.

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天全县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:设点 F2(c,0), 由于 F2 关于直线 PF1 的对称点恰在 y 轴上,不妨设 M 在正半轴上, 由对称性可得,MF1=F1F2=2c, 则 MO= 设直线 PF1:y= = c,∠MF1F2=60°,∠PF1F2=30°,

(x+c),

2 2 2 2 2 2 2 2 代入双曲线方程,可得,(3b ﹣a )x ﹣2ca x﹣a c ﹣3a b =0,

则方程有两个异号实数根,
2 2 2 2 2 2 则有 3b ﹣a >0,即有 3b =3c ﹣3a >a ,即 c>

a,

则有 e= > 故选:B. 2. 【答案】A 【解析】



试题分析: 根据 f ? x ? ? 4x ? kx ? 8 可知, 函数图象为开口向上的抛物线, 对称轴为 x ?
2

k , 所以若函数 f ? x ? 8

在区间 ?5,8? 上为单调函数,则应满足:

k k ? 5 或 ? 8 ,所以 k ? 40 或 k ? 64 。故选 A。 8 8

考点:二次函数的图象及性质(单调性)。 3. 【答案】A
2 【解析】解:由 x +x+m=0 知,

? .) , ,未必有



(或由△≥0 得 1﹣4m≥0,∴

2 反之“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”必有



因此“ 故选 A.

”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的充分非必要条件.

【点评】本题考查充分必要条件的判断性,考查二次方程有根的条件,注意这些不等式之间的蕴含关系.

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4. 【答案】A 【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 5. 【答案】A 【解析】解:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得抛物线过点(3, ﹣1),其方程为 y=﹣ S1= 下部分矩形面积 S2=24,
3 故挖掘的总土方数为 V=(S1+S2)h=28×20=560m .



,解得 x=4.

∴正方体的棱长为 4,

,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积 =2 =4,

故选:A. 【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查,考查学生的计算能力,属于中档题. 6. 【答案】A 【解析】解:从 7 个人中选 4 人共 =34 种. 故选:A. 【点评】本题考查了排列组合题,间接法是常用的一种方法,属于基础题 7. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)=e ∴f(﹣x)=e
ln|x| ln|x|

种选法,只有男生的选法有

种,所以既有男生又有女生的选法有



+



f(﹣x)与 f(x)即不恒等,也不恒反, 故函数 f(x)为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,也不关于 y 轴对称, 可排除 A,D, 当 x→0 时,y→+∞,故排除 B 故选:C.
+

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8. 【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系. 9. 【答案】 C

【解析】

2 1 x?2 ? ? 2 , f '(2) ? 0 ,且当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,函数递减,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 , x2 x x 1 7 ( x ? )2 ? 2 1 2 4, 函数递增, 因此 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点, A 正确;g ( x) ? f ( x) ? x ,g '( x) ? ? 2 ? ? 1 ? ? 2 x x x 1 1 2 所以当 x ? 0 时, g '( x ) ? 0 恒成立,即 g ( x) 单调递减,又 g ( ) ? 2e ? 1 ? ? 0 , g (e 2 ) ? 2 ? 2 ? e 2 ? 0 , e e e f ( x) 2 ln x 所 以 g ( x ) 有 零 点 且 只 有 一 个 零 点 , B 正 确 ; 设 h( x ) ? ,易知当 x?2 时, ? 2? x x x 2 ln x 2 1 1 1 2 2 2 f ( x) h( x ) ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ,对 任意的正实数 k , 显然当 x ? 时 , ? k ,即 ?k , x x x x x x x k x x f ( x) ? kx ,所以 f ( x) ? kx 不成立,C 错误;作为选择题这时可得结论,选 C,下面对 D 研究,画出函数草 f '( x) ? ?

图 可看出(0,2)的时候递减的更快,所以 x1 ? x2 ? 4 10.【答案】 B 【解析】解:画出 x,y 满足的可行域如下图:z=3x+y 的最大值为 8,

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由 (

,解得 y=0,x= , ,0)代入 2x+y+k=0,∴k=﹣ ,

故选 B.

【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪 两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去 x,y 后,即可求出参数 的值.

11.【答案】C.

【解析】由 即 即 在 ,令 是减函数, , 在 即 12.【答案】A



得: ,则当 时,

, , , , 得, ,

是减函数,所以由 ,故选

【解析】解:设 AB 的中点为 C,则 因为 ,
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所以|OC|≥|AC|, 因为|OC|= 所以 2(
2 2 ,|AC| =1﹣|OC| , 2 ) ≥ 1,

所以 a≤﹣1 或 a≥1, 因为 <1,所以﹣ <a< , ,

所以实数 a 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣1, ∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn, ∴ ∴{ ∴ =﹣1, =﹣1,

=Sn,

}是首项为﹣1,公差为﹣1 的等差数列, =﹣1+(n﹣1)×(﹣1)=﹣n.

∴Sn=﹣ , n=1 时,a1=S1=﹣1, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ + ∴an= . = .

故答案为:



14.【答案】 4 .

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【解析】解:由题意知, 满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有: {2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,1,4}, 故共有 4 个, 故答案为:4. 15.【答案】 {x|x>1 或 x<0} .

【解析】解: 即 即 x(x﹣1)>0 解得 x>1 或 x<0 故答案为{x|x>1 或 x<0} 【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法.注意不等式的解 以解集形式写出 16.【答案】 x+4y﹣5=0 . + =1 交于 P(x1,y1),Q(x2,y2),

【解析】解:设这条弦与椭圆

由中点坐标公式知 x1+x2=2,y1+y2=2,
2 2 把 P(x1,y1),Q(x2,y2)代入 x +4y =36,





①﹣②,得 2(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0, ∴k= =﹣ ,

∴这条弦所在的直线的方程 y﹣1=﹣ (x﹣1), 即为 x+4y﹣5=0, 由(1,1)在椭圆内,则所求直线方程为 x+4y﹣5=0. 故答案为:x+4y﹣5=0.

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【点评】本题考查椭圆的方程的运用,运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键.

17.【答案】 菱形 ; 矩形 . 【解析】解:如图所示:①∵EF∥AC,GH∥AC 且 EF= AC,GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形. ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥FG ∴四边形 EFGH 是矩形. 故答案为:菱形,矩形

【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,主要涉及了线段的中点,中位线定理,构成平面图形,研究平面图形 的形状,是常考类型,属基础题. 18.【答案】 .

【解析】解:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距离为 h, 则有 V= ×2×h× ×2, 当球的直径通过 AB 与 CD 的中点时,h 最大为 2 ,

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则四面体 ABCD 的体积的最大值为 故答案为: .



【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识,考查运算求解能力,考查空间 想象力.属于基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(Ⅰ) f ( x) 的定义域 (0,??) ,

1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 3ln x , f ' ( x) ? 2 ? 2 ? ? x x x x2 1 1 ' ' 令 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ? 或 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 得, ? x ? 1 , 2 2 1 故 f ( x ) 的递增区间是 (0, ) 和 (1, ??) ; 2 1 f ( x) 的递减区间是 ( ,1) . 2 1 (Ⅱ)由已知得 g ( x) ? x ? ? a ln x ,定义域为 (0,??) , x 2 1 a x ? ax ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 得 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 , g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 2 x x x 2 ?a ? 4 ? 0 ? 且 ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 , ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2
当 a ? 3 时, f ( x) ? 2 x ?

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20.【答案】 【解析】解(Ⅰ)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得:

于是 f(θ)=

=

=2

(Ⅱ)作出平面区域 Ω(即△ABC)如图所示, 其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 因为 P∈Ω,所以 0≤θ≤ ∴f(θ)= 且 故当 当 ,即 , 时,f(θ)取得最大值 2; , = ,

,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值 1.

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【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思 想、数形结合思想、化归与转化思想. 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ) f′(x)=2ax﹣ = 经检验,a= (Ⅱ) 1)当 a≤0 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数. 2)当 a>0 时, ①若 ②若 <e,即 ≥e,即 0<a≤ ,则 f(x)在(0, )上是减函数,在( ,e]上是增函数; 符合题意. 由已知 f′(e)=2ae﹣ =0,解得 a= .

,则 f(x)在[0,e]上是减函数.

综上所述,当 a≤ 当 a> (Ⅲ)当

时,f(x)的减区间是(0,e], ,增区间是 . )=1+lna;

时,f(x)的减区间是

时,由(Ⅱ)知 f(x)的最小值是 f(

易知 g(x)在(0,e]上的最大值是 g(e)=﹣4﹣lna; 注意到(1+lna)﹣(﹣4﹣lna)=5+2lna>0,

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故由题设知 解得
2 <a<e .



故 a 的取值范围是(

,e )

2

22.【答案】 【解析】解:(1)根据题意,得; 该旋转体的下半部分是一个圆锥, 上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体, 其表面积为 S= ×4π×2 或 S= ×4π×2 ×2=8 π, ﹣2π× )+ ×2π× =8 π;

+ ×(4π×2

(2)作 ME⊥AC,EF⊥BC,连结 FM,易证 FM⊥BC, ∴∠MFE 为二面角 M﹣BC﹣D 的平面角, 设∠CAM=θ,∴ EM=2sinθ,EF= ∵tan∠MFE=1,∴ ∴CM=2 . , ,∴tan = ,∴ ,

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【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是综合性题 目. 23.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前 n 项和、数列求和、不等式性质等基础知识,意在考查逻辑 思维能力、运算求解能力、代数变形能力,以及方程思想与裂项法的应用.

24.【答案】 【解析】 【分析】(Ⅰ)连接 FO,则 OF 为△BDE 的中位线,从而 DE∥OF,由此能证明 DE∥平面 ACF. (Ⅱ)推导出 BD⊥AC,EC⊥BD,从而 BD⊥平面 ACE,由此能证明 BD⊥AE. 【解答】证明:(Ⅰ)连接 FO,∵底面 ABCD 是正方形,且 O 为对角线 AC 和 BD 交点, ∴O 为 BD 的中点, 又∵F 为 BE 中点, ∴OF 为△BDE 的中位线,即 DE∥OF, 又 OF?平面 ACF,DE?平面 ACF, ∴DE∥平面 ACF. (Ⅱ)∵底面 ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, ∵EC⊥平面 ABCD,∴EC⊥BD, ∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥AE.

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