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山东省乐陵市高中数学第三章3.1.5空间向量的基本定理学案新人教A版选修

空间向量的基本定理
【学习目标】了解共线向量的概念,向量与平面平行的意义,掌握他们的表示方法;理解共线向量 定理,共面向量定理和空间向量的分解 定理,理解空间任一向量可以用空间不共面的三个已知向量 唯一表示,会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。 【自主学习】阅读课本 82 页至 84 页,完成下列问题。 1、共线向量定理: 2 、 共 面 向 量 :( 1 ) 定 义 : 已 知 向 量 果 (2)共面向量定理: 3、平面向量 基本定理: 4、空间向量分解定理: 线性表示式或线性组合 【自我检测】 1、 若 e1 , e2 是同一平面 ? 内的两个向量,则有( ) (A)平面 ? 内任一向量 a ,都有 a = ? e1 + ? e2 ( ? 、 ? ? R) (B)若存在实数 ?1 、 ?2 ,使 ?1 e1 + ?2 e2 = 0 ,则 ?1 = ?2 =0 (C)若 e1 , e2 不共线,则空间任一向量 a ,都有 a = ? e1 + ? e2 ( ? 、 ? ? R) (D)若 e1 , e2 不共线,则平面 ? 内任一向量 a ,都有 a = ? e1 + ? e2 ( ? 、 ? ? R) 2、设命题 P: a 、 b 、 c 是三个非零向量;命题 Q:{ a 、 b 、 c }为空间的一个基 底,则命题 P 是命题 Q 的( A、充分不必要条件 C 、充要条件 ) 叫做空间的一个基底,记作 表达式__________________叫做 其中 叫做基向量。 ,则就说

a , 作OA ? a , 如
,记作

B、必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

3.在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? , O? 是上底面的中心, 设

B?

O?
D?

A?

AB ? a, AD ? b, AA? ? c,则 AO? =(
(A) (C)



C?

1 1 1 a + b + c 2 2 2 1 a + b+ c 2

(B) (D)

1 1 a+ b + c 2 2 1 a + b + c 2
C

B

A D

【合作探究】 : 1. i, j, k 是三个不共面的向量, AB ? i ? 2 j ? 2k , BC ? 2i ? j ? 3k , CD ? ?i ? 3 j ? 5k , 且 A,B,C,D 四点共面,求 ? 的值

中,M , N分别是对边 OA, BC的中点,点 G在MN 上,且 2.已知空间四边形 OABC

MG ? 2GN,设OA ? a, OB ? b, OC ? c, 试用基底a, b, c 表示向量 OG

? ?

【反思与总结】1、理解空间向量中的几个定理。 2、空间向 量与平面向量问题的关系

【 达标检测】 1、长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,若 AB =3 i , AD =2 j ,AA 1 =5 k ,则 AC1 =( A、 i + j + k B、 )

1 1 1 i + j + k C、3 i +2 j +5 k 3 2 5

D、3 i +2 j -5 k

2、已知 e1 , e2 , e3 是空间中不共面的三个向量

a = e1 + e2 + e3 , b = e1 + e2 - e3 , c = e1 - e2 + e3
d = e1 +2 e2 +3 e3 , d = ? a + ? b + ? c ,则 ? + ? + ? 等于 ( )
A、0 B、1 C、2 D、

5 2

3、已知 a 、 b 、 c 不共面,且 m =3 a +2 b + c , n =x( a - b )+y( b - c )-2( c - a ),若 m // n ,则 x+y= 4、已知空间向量的一个基底{ i 、 j 、 k }, a = i - j + k , b = i + j + k , c =2 i +2 k ,则下列结论 正确的是 。

① a 与 b 共面;② a 与 c 共面;③ a 、 b 、 c 共面。 5、已知平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 ,设 AB = a , AD = b , AA 1 = c ,试用基底 { a 、 b 、 c }表示如下向量: AC1 、 BD1 、 CA1 、 DB1 。

6、已知 a = i -2 j + k , b =- i +3 j +2 k , c =-3 i +7 j ,证明这三个向量共面。


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