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江西省临川一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案

临川一中 2014—2015 学年度下学期期末考试
高二理科数学试卷
卷面满分:150 分 考试时间: 120 分钟 命题人:尤伟峰 审题人:王超 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位,若 ( 3 ? i)z ? 3 ? i ,则| z |? ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D.2

2.已知全集U ? R ,函数 f (x) ? 2 x ? 5x 的定义域为 M ,则 CU M ? ( )

A. (??,0] B. (0,??) C. (??,0) D.[0,??)

3.下列判断错.误.的是(

)

? ? A. 若随机变量? 服从正态分布 N 1,? 2 , P?? ? 4? ? 0.79, 则 P?? ? ?2? ? 0.21

B. 若 n 组数据 ?x1, y1 ???? ?xn , yn ?的散点都在 y ? ?2x ? 1 上,则相关系数 r ? ?1
C.若随机变量? 服从二项分布: ? ~ B(5, 1) ,则 E? ? 1 5
D.“ am2 ? bm2 ”是“ a ? b ”的必要不充分条件

4. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为10 3 ,则 h ? ( )

3
A.
2

B. 3

C. 3 3

D. 5 3

5.将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就读,则每 所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )种.

A.240

B. 180

C. 150

D.540

6. 已知等差数列满足 a6 ? a10 ? 20 ,则下列选项错误的是(

)

A. S15 ? 150

B. a8 ? 10

C. a16 ? 20 D. a4 ? a12 ? 20

7.执行如图程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是( )

A.105

B.115

C.120

D.720

开始

输入 N

k ? 1, p ? 1 p ? p ? k



k ? N?

输出 p

结束



k ?k?2

8. 设 1 ? ( 1 )b ? ( 1 )a ? 1,那么 (

)

2015 2015 2015

A. a a ? ab ? ba B. a a ? ba ? ab C. ab ? a a ? ba D. ab ? ba ? a a

9. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c2 ? (a ? b)2 ? 6 , ?ABC 的

面积为 3 3 ,则 C ? (

)

2

? A. 3

2?

?

5?

B.

3 C.

6

D.

6

10.已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? b2 x ?1,若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是 3

从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为 (

)

A. 7 9

B. 1 3

C. 5 9

D. 2 3

11. 抛物线 y2 ? 2x 的内接 ? ABC 的三条边所在直线与抛物线 x2 ? 2 y 均相切,设 A,B 两

点的纵坐标分别是 a,b ,则 C 点的纵坐标为( )

A. a ? b

B. 2a ? 2b

C. ?a ? b

D. ?2a ? 2b

12.已知函数 f (x) ? a ? x 2 , (1 ? x ? e,e 为自然对数的底数)与 g(x) ? 2 ln x 的图象上存 e

在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( )

A.[1,

1 e2

?

2]

B.[

1 e2

?

2, e2

? 2]

C.[1, e2 ? 2]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

D.[e2 ? 2, ??)

? 13. 设 a ?

?
(sin x ? cos x)dx
0

,若

(1 ? ax)8 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x8





a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a8 =

.

?x ? 1 14. 已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ??x ? y ? 3 ,若 z ? 2x ? y 的最小值为 1,则 a ? .
??y ? a(x ? 3)

15.函数

f

(x)

?

sin( x sin( x

? ?

?
3 ?

) )

,

x

?[0,

? 4

] 的最大值为

.

4

16. 若函数 f (x) ? e x ? mx2 定义域为 (0,??) ,值域为[0,??) ,则 m 的值为

.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题,每题 12 分,(22)、(23)、 (24)题为选考题,分值为 10 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ? ,有 2Sn ? an2 ? an .

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)令 bn ? an

1 an?1 ? an?1

an ,设{bn}的前 n 项和为Tn ,求证: Tn ? 1.

18. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上

的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正

确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参

赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如

图所示. (1)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你

的理由;(下面的临界值表供参考)

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

其中 n ? a ? b ? c ? d )

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

? ? P K 2 ? k0

0.10 0.05 0.010 0.005

k0

2.706 3.841 6.635 7.879

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段选取 6 名选手,并抽取 3 名幸运选手,求 3 名幸运

选手中在 20~30 岁之间的人数的分布列和数学期望.

D1
A1 F

C1 B1

D

C

E

A

B

19. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别为棱 BC、DD1 的中点.

(1)若平面 AFB1 与平面 BCC1B1 的交线为 l , l 与底面 AC 的交点为点 G ,试求 AG 的长;

(2)求二面角 A ? FB1 ? E 的余弦值. 20.在矩形中 ABCD 中,AB ? 4, BC ? 2 3 ,M 为动点,DM、CM 的延长线与 AB(或

??

?2

其延长线)分别交于点 E、F ,若 AE? BF ? EF ? 0.

(1)若以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,试

求动点 M 的轨迹方程;

(2)不过原点的直线 l 与(1)中轨迹交于 G、H 两点,若 GH 的中点 R 在抛物线 y 2 ? 4x

上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

y

D

C

M

x A OF B E
21. 已知函数 F (x) ? e x ?1 , G(x) ? ax 2 ? bx ,其中 a, b ? R , e 是自然对数的底数.

(1)当 a ? 0 时, y ? G(x) 为曲线 y ? F (x) 的切线,求 b 的值;

(2)若 f (x) ? F (x) ? G(x) , f (1) ? 0 ,且函数 f (x) 在区间 (0,1) 内有零点,求实数 a 的

取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任.选.一.题.做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.如图,圆周角 ?BAC 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点

E , AD 交 BC 于点 F . (1)求证: BC // DE ; (2)若 D, E,C, F 四点共圆,且弧 AC 与弧 BC 相等,求 ?BAC .

E C
D F

A

B

23.已知曲线 C

:

x2 4

?

y2 9

?

1

,直线

l

:

?x

? ?

y

? ?

2 2

? ?

t 2t

(t

为参数).

(1)写出曲线C的参数方程,直线 l 的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与 l 夹角为30°的直线,交 l 于点A,求|PA|的最大值与最小值.

24.已知函数 f ? x? ? 9 ? 6x ? x2 ? x2 ? 8x ?16

⑴解不等式 f ? x? ? f ?4? ;

⑵设函数 g ? x? ? kx ? 3k, k ? R ,若不等式 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

临川一中 2014—2015 学年度下学期期末考试

高二理科数学参考答案

一、 选择题 A B D B C C A C A D

二、 填空题

13. 1 三、

14. 1 2
解答题

15. 6 2

e2

m?

16.

4

17.(1) an ? n, n ? N ? …………………….5 分

CC

bn
(2)

?

n

1 n ? 1 ? (n ? 1)

? n [n

n n ? 1 ? (n ? 1) n n ? 1 ? (n ? 1) n][n n ? 1 ? (n ? 1)

n ] ….8 分

? n n ? 1 ? (n ? 1) n ? 1 ? 1

n(n ? 1)

n n?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ? (1 ?

1 )?( 2

1? 2

1 )?????( 3

1? n

1 ) ?1? n ?1

1 ?1 n ?1

…………….12 分 18(1)

年龄/正误 正 确

20~30

10

30~40

10

合计

20

错合 误计 30 40 70 80 100 120

k ? 120(70 ?10 ? 30 ?10)2 ? 3 ? 2.706 20 ?100 ? 40 ? 80

有 90% 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关……………4 分

(2)设 3 名选手中在 20~30 岁之间的人数为? ,可能取值为 0,1,2,………5 分

20~30 岁之间的人数是 2 人……………6 分

P(?

? 0) ?

C

3 4

C63

?

1 , P(? 5

? 1) ?

C

42C

1 2

C63

?

3 , P(? 5

? 2) ?

C

41C

2 2

C63

?

1 ………10 分 5

?

0

1

2

P

1

3

1

5

5

5

…………11 分

E?? ? ? 1

…………………………12 分

19.(1)如图,可求得 BG ? 2 , AG 2 ? BG 2 ? AB 2 ? 5

D1

? AG ? 5 …………5 分

A1 F

(2)建立空间直角坐标系易得 cos? ? 2 29 ……12 分 29

D

20.(1)设 M (x, y) ,由已知得 A(?2,0) , B(2,0) , C(2,2 3) A

C1 B1
C E B

D(?2,2 3) 由 D、E、M 及 C、F、M 三点共线得

xE

?

2 3x ? 2y 2 3 ? y , xF

?

2 3x ? 2y 2 3?y



D

G y
C M

x

A OF B E

?

?

?2

??

?2

AE ? (xE ? a,0), BF ? (xF ? a,0), EF ? (xE ? xF )2 , 代入 AE? BF ? EF ? 0. 得

x 2 ? y 2 ? 1………6 分 43

(2)设直线 l : y ? kx ? m ?m ? 0?, A? x1, y1 ?, B ? x2, y2 ? , M ? x0, y0 ? .
? y ? kx ? m 由 ??3x2 ? 4 y2 ? 12
? ? 得 3 ? 4k 2 x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0

? ?? ? ? ? ?8km?2 ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ?12 ﹥0 即 4k 2 ? m2 ? 3 ﹥0



x1

?

x2

?

?

8km 3 ? 4k 2



M

? ??

?

4km 3 ? 4k 2

,

3m 3 ? 4k2

? ??



M

? ??

?

4km 3 ? 4k 2

,

3m 3 ? 4k2

? ??

代入

y2

?

4x



m ? ? 16k(3 ? 4k 2 ) , (k ? 0) .........10 分 9

将(2)代入(1)得:16k 2 (3 ? 4k 2 ) ? 81

解得 ?

6 ?k? 8

6 8



k

?

0

.即

k

?

? ???

?

6 8

,

0

? ???

? ??? 0,

6 8

? ???

.--12



21.(1) b ? 1…………4 分 (2)由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ?1 ? 0 ? b ? e ? a ?1 ,又 f (0) ? 0 ,若函数 f (x) 在区间

(0,1) 内 有 零 点 , 则 函 数 f (x) 在 区 间 (0,1) 内 至 少 有 三 个 单 调 区 间 , 因 为

f (x) ? ex ? ax2 ? bx ?1 所 以 g(x) ? f ?(x) ? ex ? 2ax ? b , 又 g?(x) ? ex ? 2a , 因 为

x ?[0,1] ,1 ? ex ? e 所以:

①若 a ? 1 ,则 2a ? 1, g?(x) ? ex ? 2a ? 0 , 2
所以函数 g(x) 在区间[0,1] 上单增,

②若 a ? e ,则 2a ? e ,g?(x) ? ex ? 2a ? 0 所以函数 g(x) 在区间[0,1] 上单减,于是, 2

当 a ? 1 或 a ? e 时,函数 g(x) 即 f ?(x) 在区间[0,1] 上单调,不可能满足“函数 f (x) 在区

2

2

间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求。

③若 1 ? a ? e ,则1 ? 2a ? e ,于是当 0 ? x ? ln(2a) 时 g?(x) ? ex ? 2a ? 0 ,当

2

2

ln(2a) ? x ? 1时 g?(x) ? ex ? 2a ? 0 ,所以函数 g(x) 在区间[0, ln(2a)) 上单调递减,在区

间 (ln(2a),1] 上单调递增,则

g(x)min ? 2a ? 2a ln(2a) ? b ? 3a? 2 aln(2 a) ? e?1 ,令

h(x) ? 3 x ? x ln x ? e ?1(1 ? x ? e) ,则 h' (x) ? 1 ? ln x ,由 h' (x) ? 1 ? ln x ? 0 可得:

2

2

2

x ? e ,所以 h(x) 在区间 (1, e) 上单调递增,在区间 ( e, e) 上单调递减,所以

h(x)max ? h(

e) ? 3 e ? 2

e ln

e ? e ?1 ? 0 ,即 g(x)min ? 0 恒成立.于是,函数 f (x) 在

区间

(0,1)

内至少有三个单调区间等价于:

?g

? ?

g

(0) (1)

? 2?e?a ? ? ?a ?1 ? 0

0



?a ??a

? ?

e 1

?

2

,又因为

1 ? a ? e ,所以 e ? 2 ? a ? 1.

2

2

综上所述,实数 a 的取值范围为 (e ? 2,1) .……12 分

22. (1) DE 与圆相切, ?EDC ? ?EAD, ?DCB ? ?DAB , DA 平分 ?EAB ,

? ?EDC ? ?DCB, 所以 BC // DE

(2)设

?CAB ? ?CBA ? ? , ?EDA ? ?EDC ? ?CDA ? 3 ? , 2

? ?ACB ? 3 ? , 7 ? ? ? , ?BAC ? 2 ?

22

7

23.(1)曲线C的参数方程为

? ? ?

x y

? 2cos? ,

? 3sin?

为参数).直线 l 的普通方程为 2x ?

y

?

6

?

0.

(2)曲线C上任意一点 P(2cos? ,3sin? ) 到 l 的距离为 d ? 5 4 cos? ? 3sin? ? 6 , 5

则 PA ? d ? 2 5 | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中? 为锐角,且 tan? ? 4 .

sin30? 5

3

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,|PA|取得最大值,最大值为 22 5 . 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时, |PA|取得最小值,最小值为 2 5 . 5

24.(1) f ? x? ? x ? 3 ? x ? 4 , f ?4? ? 9

? x?3 ? x?4 ?9

原不等式等价于

?x ? ?4 ???2x ?1

?

9



?? ??7

4 ?

? 9

x

?

3


?x ? 3 ??2x ? 1

?

9

解得 x ? ?5 或 x ? 4

即不等式的解集为 ???, ?5? ?4, ??? .

?? 2x ?1, x ? ?4
(2) f (x) ? ??7,?4 ? x ? 3 , g ? x? ? k ? x ? 3?
??2x ? 1, x ? 3
由其函数图像知: k ???1, 2? .


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