fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

二项式定理(1)


(a 引 入 : 计算: ? b) (a ? b) (a ? b) 4
2
3

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2
2

2

(a ? b) ? (a ? b) ?a (
3

b) 2 2 ? (a ? b)(a ? ab ? ba ? b ) 2 2 3 2 ? a ? a b ? aba ? ab ? ba 3 2 1 0 0 ? bab ? b a ? b (a ? b) ? ?
? a ? 3a b ? 3ab ? b
3 2 2 3

2

(a ? b) ? a ? 4a b ? 6a b ? 4ab ? b
4 4 3 2 2 3

4

展开式中各项字母的形式是什么?展开式项的次数 提问:

是什么?有几项?有何规律?

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
4 4 3

2 2 2 1.按字母a的降幂排列或字母b的升幂排列

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 3.若乘方的次数为n,则共有n+1项
n

2.各项的次数相同,若乘方的次数为n,则次数为n 3 3 2 2 3
2 2 3 4

(a ? b) ? a ? (a ?b)? ??b ? 4ab ? b 那么我们可猜想: 4a b 6a
展开式中各项是 a b ?i ? j ? n? 的形式, 可按a(或b)的降幂排成:
i j

a ,a

n

n ?1

b, a

n ?2

b , ???, ab
2

n ?1

,b

n

探求:展开式中各项的系数的规律。

(a+b)2= (a+b)

(a+b)

由多项式乘法知,其展开式的每一项 是由每个括号中各取一项相乘而得

展开后其项的形式为:a2 , ab , b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b
3
3 2 2

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
3

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3

(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

a4 b4 都 不 取 b a3b 取 一 个 b a2b2 取 两 个 b
2 C4

ab3 取 三 个 b 取 四 个 b

系数

C0 4

C1 4

C3 4

C4 4

(a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4

归纳提高 将(a+b)n展开的结果又是怎样呢? 发现规律: 对于(a+b)n=

(a ? b)( a ? b) ? (a ? b) ???? ???? ? ? ?
n个

的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么, 我们能不能写出(a+b)n的展开式? 引出定理,总结特征

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?? C a
r n

n? r

b ??? C b
n n

二项展开式定理:
一般地,对于n?N*,有:

(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?? C a
r n

n? r

b ??? C b
n n

这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 , Cr (r=0,1,2,……,n)叫做 二项式系数 , 其中 n r n?r r Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,该项是指展开式的第 r+1 项,展开式共有 n+1 _____个项. T ? C r a n?r br (r ? 0,1, 2,?n)
r ?1 n

二项展开式定理:

(a ? b) ? C a ? C a b ??? C a b ??? C b
n 0 n n

1 n?1 n

1.项数规律: 展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律:

(n ? N ? )

r n ?r r n

n n n

C 、C 、C 、? ?、C ?
0 n 1 n 2 n

n n

3.指数规律:

(1)各项的次数和均为n; (2)按字母a降幂,b升幂排列。

二项展开式定理:

(a ? b) ? C a ? C a b ??? C a b ??? C b
n 0 n n

1 n?1 n

特别地: 1、把b用-b代替 (a-b)n=

(n ? N ? )

r n ?r r n

n n n

0 n 1 Cna -Cnan-1b+



rC ran-rbr +(-1) n

+… 2、令a=1,b=x
n 1 n

nC nbn +(-1) n
2 n 2 r n r n n n

( ? x) ? 1 ? C x ? C x ? ?? C x ? ?? C x 1
3、 n ? C n ? ? ? C n ? (1 ? 1) ? 2 C
0 1 n

n

n

1 4 例1:展开(1+ ) x
1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解: 1+ ) ? 1 ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ( x x x x 4 6 4 1 4 1 4 ? C4 ( ) ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x x

1 6 例2:展开(2 x ? ) ,并求第3项的 x 二项式系数和第6项的系数.

1 6 1 6 解: (2 x ? ) = 3 (2x ? 1) x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) ? C6 (2 x) x 4 2 5 6
60 12 1 =64 x ? 192 x ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 x x x
3 2

?C6 (2x) ? C6 (2x) ? C6 ]

第三项的二项式系数为 C 2
6

? 15
5

第六项的系数为

C ? 2(?1) ? ?12
5 6

注意区别二项式系数与项的系数的概念 r 二项式系数为 C n ; 项的系数为:二项式系数与数字系数的积

例3:(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7

1 9 3 (2)求(x ? ) 的展开式中x 的系数和中间项 x 3 解: (1)T3?1 ? C7 ?17?3 (2x)3 ? 280x3
第四项系数为280

(2)Tr ?1 ? C x
r 9

9? r

由9 ? 2r ? 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C ? ?84
3 3 3 9

1 r r r 9? 2 r (? ) ? (?1) C9 x x
4 9? 4 9

中间一项是第5, 6项, T4?1 ? C x T5?1 ? C x
5 9?5 9

1 4 (? ) ? 70x x

1 5 ?70 (? ) ? x x

?x 1 ? 例4(1):试判断在 ? ? 3 ? x? ?2

8

的展开式中有

无常数项?如果有,求出此常数项;如果 没有,说明理由.

(2):由 ( 3 x ? 2 ) 展开式所得的x的 多项式中,系数为有理数的共有多少项?
3 100

?x 1 ? 例4(1):试判断在 ? ? 3 ? x? ?2

8

的展开式中有

无常数项?如果有,求出此常数项;如果 没有,说明理由.
解:设展开式中的第r+1项为常数项,则: r 8? r 8? r 24 ? 4 r ? 1 ? r r ? x? r ?1? Tr ?1 ? C8 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ?1? C8 ? ? ? ? x 3 x? ?2? ?2? ?
24 ? 4r ?0?r ?6 由题意可知, 3

故存在常数项且为第7项,
6 6 8

?1? 常数项T ? ? ?1? ? C ? 7 ? ? ?2?

8? 6

?x ?7
0

常数项即 0项. x

(2):由 ( 3 x ? 2 ) 展开式所得的x的 多项式中,系数为有理数的共有多少项?
3 100

解: ( 3 x ? 3 2 )100 的展开式的通项公式为:
r Tr ?1 ? C100 ?

?

3x

?

100 ? r

?

? ?
3

r

2

?3

100 ? r 2

100 ? r r , 均为整数时, T 为有理数. 有理项即 2 3 整数次幂项 ? r为6的倍数, 且0 ? r ? 100. 即r为0, 6,12, ???,96, 展开式中共有17项有理项.

,2, 100 ? r ? 01,?, ?

r ? 2 ? C100 ? x100? r

r 3

点评:求常数项、有理项等特殊项问题一般由 通项公式入手分析,综合性强,考点多且对思 维的严密性要求也高.

练习:

x 3 9 1、求 ( ? ) 的展开式常数项 3 x
解:

x 9?r 3 r r 1 9?r r Tr ?1 ? C ( ) ( ) ? C9 ( ) 3 x 3 3 x 1 由9-r- r ? 0得r ? 6. 2
r 9

1 9? r ? r 2

1 9?6 6 T7 ? C ( ) 3 ? 2268 3
6 9

x 3 9 ) 的展开式的中间项 2、求 ( ? 3 x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项 3 4 4 x 9? 4 3 T5 ? T4?1 ? C9 ( ) ( ) ? 42 x 3 x

x 9 ?5 3 5 T6 ? T5?1 ? C ( ) ( ) ? 42 x 3 x
5 9

3 2

课堂小结:
①二项式定理是初中多项式乘法的延 伸,又是后继学习概率的基础,要理解和 掌握好展开式的规律,利用它对二项式展 开,进行相应的计算与证明; ②要注意“系数”、“二项式系数” 等概念的区别与联系,对二项式展开式的 特征要分析清楚,灵活正用、逆用展开式.


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图