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江苏省盐城市时杨中学2016-2017学年高二下学期期末模拟考试数学试题(3)Word版含答案

2016-2017 高二数学第二学期期末模拟试卷 一、填空题:
1.命题“对 ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 ▲ .
2.已知复数 Z=3+ai,若|Z|=5,则实数 a= ▲ . 3.某校高一有 550 名学生,高二有 700 名学生,高三有 750 名学生,学校为了解学生的课外
阅读情况,决定按年级分层抽样,抽取 100 名学生,则高二年级应抽取 ▲ 名学生. 4.从 1,2,3 中任选两个数字构成一个两位数,则该两位数是偶数的概率为 ▲ .
5.已知双曲线 C 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲线的离心率为 ▲ .

6.已知质点运动方程为 S ? t3 ? t ? 2( S 的单位是 m ,t 的单位是 s ), Re ad x

则该质点在 t ? 2s 时刻的瞬时速度为 ▲ . 7.运行右边程序后输出 p = ▲ .

If x ? 10 then P ? 5x Else

P ?10?5+(x ?1)? 0.7

?2x ? y ? 0

8.设实数

x、y

满 足 ??x ? y ? 4 ? 0 , 则 ??x ? 3

u=

y x

的取值范围是

End if Pr int P

▲.

9.曲线 y ? 3ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为 ▲ .

10.椭圆 x2 ? y2 ? 1焦距为 2,则实数 m = ▲ . m4

11.(理科)从 3 个女生 5 个男生中选 4 个人参加义务劳动,其中男生女生都有且男生不少于

女生的概率是 ▲ .
(文科)已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 上单调递减,则不等式 f (x 2 ? 3x) ? f (4) 的解集为 ▲ .

12.(理科)在(1+2x)5 的展开式中,x3 的系数为

▲ .(用数字作答)

(文科)若函数 f(x)=﹣2x+sinx,则满足不等式 f(2m2﹣m+π ﹣1)≥﹣2π 的 m 的取值范

围为 ▲ .

13.已知 x,y ? R? ,满足 4 ? 1 ? 1 ,不等式 ? x ? y? a ? 2a2 ? 3≥ 0 恒成立,则实数 a 的取值范
xy 围是 ▲ .

14.已知函数 y=f(x)为 R 上可导函数,且对? x∈R 都有 f(x)=﹣x3f′(1)﹣8x 成立, 则函数 y=f(x),x∈[﹣1,1]的值域为 ▲ . 二、解答题: 15.(文科)已知命题 p:函数 f(x)=x2+2mx+2+m2 在区间[2,+∞)上是增函数, 命题 q:函数 g(x)=4x﹣2x+1+m2﹣m+3 的最小值大于 4,若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假 命题,求实数 m 的取值范围. (理科)有红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球,每种小球数量不限且 它们除颜色不同外,其余完全相同,将小球放入如图所示编号为 1, 2,3,4,5 的盒子中,每个盒子只放一只小球. (1)放置小球满足:“对任意的正整数 j(1≤j≤5),至少存在另一个正整数 k(1≤k≤5, 且 j≠k)使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率; (2)记 X 为 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值,求 X 的概率分布和数学期望 E(X).

?

?

16.(文科)已知 m =(sinω x,﹣1), n =(1,﹣ 3 cosω x)(其中 x∈R,ω >0),f(x)

??
= m? n ,且函数 f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为 5,

(1)求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)若 f( 3? )= 6 (其中θ ∈( ? 5? , ? ),则求 f( 6? +1)的取值.

?5

66

?

(理科)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2 , AF ?1,

点 M 是线段 EF 的中点. (1)求证: AM // 平面 BDE ;
(2)求锐二面角 A ? DF ? B 的大小; (3)试在线段 AC 上一点 P ,使得 PF 与 CD 所成的角是 60? .
D

E M F

C

B

N A

17.(理科)用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2=13n(4n2-1). (文科)已知函数 f (x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) . (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)记函数 g(x) ? 10 f (x) ? 3x, 求函数 g(x) 的值域.

18.某市近郊有一块大约 500m?500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性
休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,总面积为 3000 平方米,其中阴影部分为通 道,通道宽度为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地 形状相同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米.

x米

a

a

y米
(1)分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式,并给出定义域;
(2)怎样设计能使 S 取得最大值,并求出最大值.

19.已知函数 f (x) ? a ln x ? x2 (a 为实常数) . (1)求函数 f (x) 在[1,e] 上的最小值; (2)若存在 x ?[1,e] ,使得不等式 f (x) ? (a ? 2)x 成立,求实数 a 的取值范围.

20.已知椭圆 x2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (?3,2) ,离心率为 3 ,圆 O 的圆心为坐标原点,直

a2 b2

3

径为椭圆的短轴,圆 M 的方程为 (x ? 8)2 ? ( y ? 6)2 ? 4 .过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的切线

PA, PB ,切点为 A, B .

(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 PA 与圆 M 的另一交点为 Q ,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程;

(3)求 OA?OB 的最值.

答案:
11.(理科) 6 (文科) ??1,4?
7
12.(理科)80 (文)解答: 解:f(﹣x)=2x﹣sinx=﹣f(x),所以 f(x)为奇函数,f′(x)=﹣2+cosx≤0, 所以 f(x)在定义域 R 为减函数. 又 f(π )=﹣2π +sinπ =﹣2π ,所以 f(2m2﹣m+π ﹣1)≥﹣2π 可转化为 f(2m2﹣m+π ﹣1) ≥f(π ). 根据函数的单调性可知,2m2﹣m+π ﹣1≤π 即 2m2﹣m+﹣1≤0
解得

13.解:

x,y

?

R? ,? x

?

y

?

?x

?

y ? ???

4 x

?

1 y

???

?

5

?

???

4y x

?

x y

???≤5

?

2

4y x

x ?1, y

当且仅当

? ?? ? ?

4y x 4?

? 1

x, y ? 1.



? ? ?

x y

? ?

2,解得 1.

x

?

y≤1

.令

t

?

x

?

y

,则

t≤1



?? x y

不等式 t ? a ? 2a2 ? 3≥0 在 t ?(??,1] 时恒成立.

? ? 当 a ≥0 时,显然不成立;当 a ? 0 时, ta ? 2a2 ? 3≥0 恒成立,即 t ? a ? 2a2 ? 3 ≥0 , min

所以

a

?

2a2

?

3≥0

,解得

a≤ ?

3 2

,则实数

a

的取值范围是

? ??

??,-

3? 2 ??

.

14.解答: 解:设 t=2x,则 x= t,代入 f(2x)=x3f′(1)﹣10x 得,

y= t3f′(1)﹣5t,则 f(x)= t3f′(1)﹣5x,

所以 f′(x)= x2f′(1)﹣5,

令 x=1 代入上式可得,f′(1)=f′(1)﹣5,解得 f′(1)=﹣8, 所以 f(x)=﹣x3﹣5x,则 f′(x)=﹣3x2﹣5<0, 则函数 f(x)在[﹣1,1]上是减函数, 当 x=﹣1 时,函数 f(x)取到最大值 f(﹣1)=6, 当 x=1 时,函数 f(x)取到最小值 f(1)=﹣6,

所以所求的函数值域是[﹣6,6].

15(文科)f(x)=x2+2mx+2+m2=(x+m)2+2

若命题 p 是真命题,则﹣m≤2,即 m≥﹣2

若命题 p 是假命题,则﹣m>2,即 m<﹣2… 又 g(x)=4x﹣2x+1+m2﹣m+3=(2x﹣1)2+(m2﹣m+2),

即当 x=0 时,



若命题 q 是真命题,则 m2﹣m+2>4,即 m>2 或 m<﹣1, 若命题 q 是假命题,则 m2﹣m+2≤4,即﹣1≤m≤2,… ∵命题“p 或 q”为真;命题“p 且 q”为假, ∴命题 p 和命题 q 必为一真一假













解之得:﹣1≤m≤2 或 m<﹣2 则所求实数 m 的取值范围是[﹣1,2]∪(﹣∞,﹣2)…

(理科) 解:(1)4 种颜色的球放置在 5 个不同的盒子中,共有 45 种放法,

满足条件的发放分为两类:

①每个盒子中颜色都相同,共有 4 种,②有 2 种颜色组成,共有 2×

=120,

所求的概率为 P=

=;

(2)X 的可能的值为 2,3,4,5.

则:P(X=2)=

=,

P(X=3)=

=,

P(X=4)=

=,

P(X=5)= = ; 所以 X 的概率分布列为:
X2345 P E(X)=2×

=.

16.(文科)解:(1)∵



(其中 x∈R,ω

>0),





,…(2 分)

又∵函数 f(x)图象的某个最高点到其相邻的最低点之间的距离为 5,



,解之得:T=6,…(4 分)



,则

,即









即所求函数 f(x)的单调递增区间为

(2)由(1)可知





…(10 分)



,∴



,…(6 分)
…(8 分) ,

,则 ,…(12 分)

也即

= …(14 分)

理科解:(1)以 C 为原点,CD 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,CE 所在的直线

为 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A( 2, 2,0) , E(0,0,1) , F ( 2, 2,1) ,

N ( 2 , 2 ,0) , M ( 2 , 2 ,1) , AM ? (? 2 ,? 2 ,1) , NE ? (? 2 ,? 2 ,1) , 所 以

22

22

22

22

AM // NE ,又 AM 与 NE 不共线,所以 AM // NE ,又 AM ? 平面 BDE, NE ? 平面

BDE,所以 AM // 平面 BDE;…………4 分

学§科§

( 2 ) 平 面 A D F的 法 向 量 AB ? (? 2,0,0) , 设 平 面 B D F的 法 向 量 n ? (x, y, z) , 由

??n ?

?

BF

?

0



?? ?

??n ? BD ? 0 ??

2x ? z ? 0 ,取 n ? (1,1,
2x ? 2y ? 0

2) ,则 c os? AB, n ?? ? 1 , 所以二面角 2

A ? DF ? B 大小为 ? ;…………8 分 3

(3)设 P(x, x,0) , PF ? ( 2 ? x, 2 ? x,1) , CD ? ( 2,0,0) ,则

cos? ?

2 ? ( 2 ? x) ,解得 x ? 2 或 x ? 3 2 (舍去)

3 2 ? 2( 2 ? x)2 ?1

2

2

Z&xx&k

所以当点 P 为线段 AC 的中点时,直线 PF 与 CD 所成的角为 60? .………12 分

17.(理科)(1)当 n=1 时,左边=12=1, 右边=13×1×(4-1)=1,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 12+32+52+…+(2k-1)2=13k(4k2-1). 则当 n=k+1 时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2 =13k(4k2-1)+(2k+1)2=13k(4k2-1)+4k2+4k+1 =13k[4(k+1)2-1]-13k·4(2k+1)+4k2+4k+1

=13k[4(k+1)2-1]+13(12k2+12k+3-8k2-4k) =13k[4(k+1)2-1]+13[4(k+1)2-1] =13(k+1)[4(k+1)2-1]. 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式都成立.

(文科)解:(1)由题意得,

x

应满足:

?2 ??2

? ?

x x

? ?

0 0



所以

f (x) 的定义域为 (?2, 2)

(2)由于 g(x) ? 10 f (x) ? 3x, 得 g(x) ? ?x2 ? 3x ? 4 (?2 ? x ? 2)

而 g(?2) ? ?6 , g( 3) ? 25 , g(2) ? 6 ∴函数 g(x) 的值域为 (?6, 25]

24

4

18.解:(1)由已知 xy ? 3000 ,? y ? 3000 ,其定义域是 (6,500) . x
S ? (x ? 4)a ? (x ? 6)a ? (2x ?10)a,



y

?

2a ? 6 ,?a

?

y?6

?

3000 x

?6

?

1500

?3,

2

2

x

S ? (2x ?10)(1500 ? 3) ? 3030 ? (15000 ? 6x) (6 分),定义域是 (6,500)

x

x

(2) S ? 3030 ? (15000 ? 6x) ? 3030 ? 2 6x ? 15000 ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430

x

x

当且仅当 15000 ? 6x ,即 x ? 50 ? (6,500) 时,上述不等式等号成立, x
此时, x ? 50 , y ? 60 , Smax ? 2430 .

答:设计 x ? 50m , y ? 60m 时,运动场地面积最大,最大值为 2430 平方米.

19.解:(1) f ?(x) ? 2x 2 ? a (x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e2 ] . x
若 a ? ?2 , f ?(x) 在[1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?(x) ? 0 ),
故函数 f (x) 在[1, e] 上是增函数,此时[ f (x)]min ? f (1) ? 1.

若 ? 2e2 ? a ? ?2,当 x ? ? a 时, f ?(x) ? 0 ; 2

当1 ? x ? ? a 时, f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 是减函数; 2

当 ? a ? x ? e 时, f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 是增函数. 2

故 [ f (x)]min ? f (

? a ) ? a ln(? a ) ? a . 2 2 22

若 a ? ?2e2 , f ?(x) 在[1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e2 ,x=e 时, f ?(x) ? 0 ),故函数 f (x) 在[1, e]

上是减函数,

此时[ f (x)]min ? f (e) ? a ? e2 .

?1 (a ? ?2)

综上可知, [

f

( x)]m in

?

?? a

? ?

2

ln(?

a) 2

?

a 2

(?2e2 ? a ? ?2)

??a ? e2 (a ? ?2e2 )

(3)不等式 f (x) ? (a ? 2)x , 可化为 a(x ? ln x) ? x 2 ? 2x .

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ?1? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0,

因而 a ? x2 ? 2x ( x ?[1, e] ) x ? ln x

令 g(x) ? x2 ? 2x ( x ?[1, e] ),又 g ?(x) ? (x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) ,

x ? ln x

(x ? ln x)2

当 x ?[1, e]时, x ?1? 0,ln x ?1 , x ? 2 ? 2ln x ? 0 ,

从而 g?(x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号),所以 g(x) 在[1, e] 上为增函数,

故 g(x) 的最小值为 g(1) ? ?1,所以 a 的取值范围是[?1,??) .

20.解:(1)可知 9 ? 4 ? 1, c = 3 ,又 a2 ? b2 ? c2 ,

a2 b2

a3

解得 a 2 ? 15, b2 ? 10 ,椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1
15 10
(2)可知,此时直线 PA 应经过圆心 M ?8,6? ,且直线 PA 的斜率存在,设直线 PA 的方程为:

y ? 6 ? k?x ? 8?,

因为直线 PA 与圆 O: x2 ? y 2 ? 10 相切,所以 6 ? 8k ? 10 , k2 ?1

解得 k ? 1 或 k ? 13 ,

3

9

所以,直线 PA 的方程为 x ? 3y ?10 ? 0 或13x ? 9y ? 50 ? 0

(3)设 ?AOB ? 2? ,

? ? 则 OA?OB =10 cos2?

=10

2 cos2 ?

?1

=10?? ?

20 PO

2

?1?? , ?

因为 OM=10,所以10 ? 2 ? PO ? 10 ? 2 ,

所以, OA?OB 的最大值为 ? 55 , OA?OB 的最小值为 ? 155

8

18


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