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河南省郑州外国语学校2012届高三下学期综合测试验收(1)数学(文)试题

河南省郑州外国语学校 2011—2012 学年度下学期高三数学(文)综合验收试题(1)

第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 150 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的.

1 . 设 集 合 M ? {x | x ? 2012} , N ? {x | 0 ? x ? 1} , 则 下 列 关 系 中 正 确 的 是
()

A. M N ? R

B. M N ? {x | 0 ? x ? 1}

C. N ? M

D. M N ? ?

i 2012 2.复数 i2011 ? 2 的虚部为

()

2

1

2

1

A. 5 B. 5 C.― 5 D.― 5

a
3.已知平面向量

?

(m,1), b

?

(m2 ,

1) 9

,且 c

?

(1,

n)

d


?

(1 4

,n2)

??a ? c ? ,满足 ??b ? d

?? ?1

的解(m,

n)仅有一组,则实数 ? 的值为

()

A.2

B.3

C. 13

4.根据下列三视图(如下图所示),则它的体积是

()

D. ? 13

a3 A. a3 B. 3a3 C. 3 D. 4a3
5.函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) 的图象如图所示,为了得到 g(x) ? ? Acos?x 的图像,可以将

f (x) 的图像

()

? A.向右平移 12 个单位长度

5? B.向右平移 12 个单位长度

? C.向左平移 12 个单位长度

5? D.向左平移 12 个单位长度

6.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1=d,

a12 ? a22 ? a32 b1=d2,且 b1 ? b2 ? b3 是正整数,则 q 等于

()

1 A. 7

?1 B. 7

1 C. 2

?1 D. 2

7.右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是

1

2

1

A. 2 B. 3

,

3

3

4

,

C. 4 D. 5

5

()

x2 ? sin? x ? cos? ? 0, (? ? (0,? ))

8.方程

4

有实根的概率为( )

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

3 D. 4

9.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1F2 : PF2 =4:3:2,

则曲线 C 的离心率等于

()

1或 3 A. 2 2

2 B. 3 或 2

1或 C. 2 2

2或 3 D. 3 2

10.已知空间直角坐标系 O ? xyz 中有一点 A(1,1,1),点 B 是 xOy 平面内的圆 x 2 ? y 2 ? 1

上的动点,则 A, B 两点的最长距离是

()

A. 6

B.1 ? 2

C.3 ? 2 2

17 D. 2

y ? log2 | x |

11.函数

x 的图象大致是

()

?y ? x

??x ? 2 y ? 4则t ? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2

12.已知 x,y 满足不等式组 ?? y ? ?2

的最小值为

9 A. 5 B.2 C.3 D. 2

()

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。

f (x) ? sin(πx) ? cos(πx) ? 2 (1 ? x ? 5)

13.已知函数

x

4

4 ,则 f(x)的最小值为



18 0 1 14.一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位 cm)分布茎叶图如图, 17 0 3 x 8 9 测得平均身高为 177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值 为;
15 . 在 △ ABC 和 △ AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , BC=6 , CA ? 33 , 若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于



16.下列说法:

①“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”;

②函数

y

?

sin(2x

?

? 3

) sin(? 6

?

2x)

的最小正周期是? ;

③命题“函数 f (x)在x ? x0 处有极值,则 f '(x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;

④ f (x)是(-?,0) (0,+?)上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f (x) ? 2x ,则 x ? 0 时

的解析式为 f (x) ? ?2?x. 其中正确的说法是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)

? a

?

(cos

3

x, sin

3

x)

? b

?

(cos

x

,? sin

x)

x ?[? , 3? ]

已知向量

2

2,

2

2 ,且 2 2

(1)求

|

? a

?

? b

|

的取值范围;

?? ? ? (2)求函数 f (x) ? a ? b ? | a ? b | 的最小值,并求此时 x 的值

18.(本小题满分 12 分)
已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an? 的前 n 项和为 Sn .
(Ⅰ)求 an 及 Sn ;
1
(Ⅱ)令 bn= an2 ?1 ( n ? N * ),求数列?bn? 的前 n 项和Tn 。

19.(本小题满分 12 分) 一个四棱锥的三视图如图所示,E 为侧棱 PC 上一动点。

(1)画出该四棱锥的直观图,并指出几何体的主要特征(高、底等).

(2)点 E 在何处时, PA // 平面EBD ,并求出此时点 A 到平面 EBD 的距离.

20.(本小题满分 12 分)

某校高三年级共有 450 名学生参加英语口语测试,其中男生 250 名,女生 200 名。现按

性别用分层抽样的方法从中抽取 45 名学生的成绩。

(I)求抽取的男生与女生的人数?

(II)从男生和女生中抽查的结果分别如下表 1 和表 2;

表1

成绩分组 ?60, 70?

?70,80?

?80, 90?

?90,100?

人数

3

m

8

6

表2
成绩分组 ?60, 70?

?70,80?

?80, 90?

?90,100?

人数

2

5

n

5

分别估计男生和女生的平均分数,并估计这 450 名学生的平均分数。(精确到 0.01)

21.(本小题满分 12 分)

x2 椭圆 C : a2

?

y2 b2

?1 (a

?b

?

0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为

A , P 为椭

圆 C 上任意一点.已知 PF1 ? PF2 的最大值为 3 ,最小值为 2 . (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点( M 、 N 不是左右顶点),

且以 MN 为直径的圆过点 A .求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

22.(本小题满分 14 分)

设函数 f (x) = | x + 1| + | ax + 1|,已知 f (?1) ? f (1)

f (? 1) ? ,且 a

f (1) a (a∈R,且 a

≠0),函数 g(x) ? ax3 ? bx2 ? cx (b∈R,c 为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象
上取得极值的两点 A、B 与坐标原点 O 在同一直线上。

(1)试求 a、b 的值;
(2)若 x ? 0 时,函数 g(x) 的图象恒在函数 f (x) 图象的下方,求正整数 c 的值。

参考答案

一.选择题 1.B;2.B;3.D;4.D;5.B;6.C;7.C;8.D;9.A;10.C;11.D;12.D; 二.填空题

45

cos θ ? 2

13. 5 ;14.6;15.

3 ;16.①④;

三.解答题

x ?[? , 3? ]

17.解析:(1)∵

22

∴ ?1 ? cos 2x ? 1;

??

??

| a ? b |? 2 ? 2 cos 2x ∴ 0≤| a ? b | ≤2

4分

x ?[? , 3? ]

(2)∵

22

∴ ?1 ? cos x ? 0 ;…………6 分

?? ? ? ∵ f (x) ? a ? b ? | a ? b |? cos 2x ? 2 ? 2 cos 2x

? 2 cos2 x ?1 ? 4 cos2 x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ?1 ………………10 分



cos


x

?

?

1 2

,即

x

?

2? 3



x

?

4? 3

时,

f

(x)

?

? a

? ?b?

|

? a

?

? b

| 取最小值-

3 2



……………………12 分
18.解析:(Ⅰ)设等差数列?an? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ??2a1 ?10d ? 26 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 ,

所以 an

?

3 ? (2 n

?1)=2n+1; Sn

3n+
=

n(n-1) 2

?2

= n2 +2n

。………………6



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

2n+1,所以 bn=

1

1

an2 ?1 =(2n+1)2

= ?1

1? 1 4 n(n+1)

1?( 1 =4 n

-1) n+1 ,

1 111

11 1 1

n

所以Tn = 4 ? (1- 2 + 2 ? 3 +

+ - ) ? (1- )= n n+1 = 4 n+1

4(n+1) ,

n
即数列?bn? 的前 n 项和Tn = 4(n+1) 。……………12 分

19.(1)直观图如下:
………………3 分 该四棱锥底面为菱形,边长为 2,其中角 A 为 60 度,顶点 A 在底面内的射影为底面菱形的中 心,四棱锥高为 1。………………4 分 (2)当 E 为 PC 中点时, PA // 平面EBD 。………………5 分 如图所示:

证明:连接 AC,且 AC BD ? O ,由于四边形 ABCD 为正方形,
∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线,
∴ PA // EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA // 平面EBD 。…………8 分
当 E 为棱 PC 中点时,
?底面 ABCD 为菱形,P 在面 ABCD 内的射影为 O,
∴BD ? 面PAC,面 BDE ? 面PAC.

同时?PA//OE,∴点 A 到平面 EBD 的距离等于 ?POE 中 OE 边的高.

PO ? 1, tan P ? OC ? 3, PE ? 1 PC ? 1 PO2 ? OC 2 ? 1

在 ?POE 中,

OP

2

2



3 即 ?POE 为正三角形,OE 边的高等于 2 。………………12 分
20.解析:(Ⅰ)由抽样方法知,被抽取的男生人数为 250×44550=25,

被抽取的女生人数为 200×44550=20.……………………………………………2 分 (Ⅱ)男生甲和女生乙被抽到的概率均为 0.1,所以男生甲与女生乙至少有 1 人被抽到的概 率:P=1-(1-0.1)2=0.19.……………………………………………………………7 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,m=25-(3+8+6)=8,n=20-(2+5+5)=8,据此估计 男生平均分为65×3+75×82+585×8+95×6=81.8, 女生平均分为65×2+75×52+085×8+95×5=83; 这 450 名学生的平均分数为81.8×254+5 83×20≈82.33.………………………12 分
21.解析:(1) P 是椭圆上任一点,?| PF1 | ? | PF2 |? 2a 且 a ? c ?| PF1 |? a ? c ,

y ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ?F1PF2

?

1 [| 2

PF1

|2

?

|

PF2

|2

?4c2 ]

?

1 [| 2

PF1

|2

?(|

2a?

|

PF1

|)2

?

4c2 ]

? (| PF1 | ?a)2 ? a2 ? 2c2 ……………………2 分

当 | PF1 |? a 时, y 有最小值 a2 ? 2c2 ;当| PF2 |? a ? c 或 a ? c 时, y 有最大值 a2 ? c2 .

? a2 ? c2 ? 3

?

? ?a

2

?

2c2

?

2,

?a2 ? 4

? ?

c2

?1



b2 ? a2 ? c2 ? 3.

x2 ? y2 ?1 ?椭圆方程为 4 3 。……………………4 分

(2) 设 M (x1, y1) , N (x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(4k 2 ? 3)x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .

?

x1

?

x2

?

?8km 4k 2 ? 3

,

x1x2

?

4m2 4k 2

?12 ?3

………………6



y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m2 ,

MN 为直径的圆过点 A ? AM ? AN ? 0 ,?7m2 ?16km ? 4k 2 ? 0 ,

?m ? ? 2 k 7 或 m ? ?2k 都满足 ? ? 0 ,……………………9 分

若 m ? ?2k 直线 l 恒过定点 (2, 0) 不合题意舍去,

m??2k

y ? k(x ? 2)

( 2 ,0)



7 直线 l :

7 恒过定点 7 。………………12 分

22.解析:(1) f (?1) ? f (1) ,∴ 1? a ? 2 ? a ?1 ①

f (? 1) 又a

?

f

(

1 a

)

,∴

1

?

1 a

?

1 a

?1

? 2 ,即 1? a

?2

a

?

a ?1



由①②得 a ? 1 ,?a ? ?1 .又 a ? 1时,①、②不成立,故?a ? ?1 .------2 分

∴ g(x) ? ?x3 ? bx2 ? cx , 设 x1 、 x2 是 函 数 g(x) 的 两 个 极 值 点 , 则 x1 、 x2 是 方 程

g / (x) ? ?3x2 ? 2bx ? c =0 的两个根, ? ? 4b2 ?12c ? 0(c为正整数) ,

2b

? ?x13 ? bx12 ? cx1 ?x23 ? bx22 ? cx2

∴x1+x2= 3 ,又∵ A、O、B 三点共线,

x1

=

x2



2b ∴ (x1 ? x2 )[?(x1 ? x2 ) ? b] =0,又∵x1≠x2,∴b= x1+x2= 3 ,∴b=0.----------------6 分

(2) x ? 0 时, f (x)min ? 2 ,

-----------------------7 分

由 g / (x) ? ?3x2 ? c ? 0 得 x ?

c

(0,

3 ,可知 g(x) 在

c)

( c , ??)

3 上单调递增,在 3

g(x)极大值 ? g(
上单调递减,

c)??c 33

c ?c 3

c ? 2c 33

c 3 . ---------------------9 分

? ??

c ?1 3

?

? 2c ①由 ?? 3

c ?2 3 得 c ? 3, ?c 的值为 1 或 2.(∵ c 为正整数)

-----------------11 分



c 3

?1
时,记

g(x)



x ?[1,

c 3 ] 上切线斜率为 2 的切点的横坐标为 x0 ,

c?2 则由 g / (x) ? ?3x2 ? c ? 2 得 x0 ? 3 ,依题意得 g(x0 ) ? f (x0 ) ,

? ?x03

?

cx0

?

2x0 ,

? x02

?

c

? 2,

?

c

? 3

2

?

c

?

2, 得 c

?

2,

与c

?

3 矛盾.

(或构造函数 h ? x? ? 2x ? g ? x? 在 x ? 1上恒正)

综上,所求 c 的值为 1 或 2.

-----------------------14 分


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