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2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习教案 新人教A版必修2.doc

第二章 2019-2020 学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置 关系复习教案 新人教 A 版必修 2
教学目标: 1.理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系. 2.熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题. 3.通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力,学会用数学方法认识世界改造世界. 教学重点:总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。 教学难点:总结求二面角的方法。 教学过程: 一、知识结构 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

----------------------------------------------------直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系

--------------------------------------------(平行) 判定 性质

直线与平面平行

平面与平面平行

直线与平面平行

平面与平面平行

判定

=--------------------------------------性质 (垂直)

---------------------------------------------------------直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直

二、典例解析: 例 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点,O 为 AC 与 BD 的交点(如图) ,求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H; (3)A1O⊥平 面 BDF; (4)平面 BDF⊥平面 AA1C。 解析: (1)欲证 EG∥平面 BB1D1D,须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线, 构造辅助平面 BEGO’及辅助直线 BO’ ,显然 BO’即是。 (2)按线线平行 线面平行 ? 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内寻找 B1D1 和 O’H

两条关键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面 BDF,O’H∥平面 BDF。 (3)为证 A1O⊥平面 BDF,由三垂线定理,易得 BD⊥A1O,再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另 一条直线。 猜想 A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得:A1O +OF =A1F ? A1O⊥OF。
2 2 2

(4)∵ CC1⊥平面 AC ∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC ∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD ? 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 评注:化“动”为“定”是处理“动”的思路 例 2.如图,三棱锥 D—ABC 中,平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角三角形, ∠ABC= ∠BAD=90 ,其腰 BC=a,且二面角 D—AB—C=60 。 (1)求异面直线 DA 与 BC 所成的角;
0 0

(2)求异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值; 解析: (1)在平面 ABC 内作 AE∥BC,从而得∠DAE=60 ∴ DA 与 BC 成 60 角 (2)过 B 作 BF∥AC,交 EA 延长线于 F,则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由△DAF 易得 AF=a,DA=a,∠DAF=120 ∴ DF =a +a -2a ·( ? ∴ DF= 3 a △DBF 中,BF=AC= 2 a ∴ cos∠DBF=
1 4 1 4
2 2 2 2 0 0 0

1 2 )=3a 2

∴ 异面直线 BD 与 AC 成角的余弦值为

例3.如图,斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’与底面相邻两边 AB、AC 都成 45 角,求此三棱柱的 解析: 在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D 连结 CD ∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=45 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=90 ,BD=CD ∴ BD⊥AA’ ,CD⊥AA’ ∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在 Rt△ADB 中,BD=AB·sin45 =
0 0 0 0

侧面积和体积。

2 a 2

∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=( 2 +1)a,△DBC 的面积= ∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab ∴ V= S ?DBC ·AA’=
a 2b 4

a2 4

评注:求斜棱柱的侧面积有两种方法,一是判断各侧面的形状,求各侧面的面积之和, 二是求直截面的周长与侧棱的乘积,求体积时同样可以利用直截面,即 V=直截面面积×侧棱 长。 例4.在三棱锥 P—ABC 中,PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥的体积 VP-ABC。

解析: 取 PC 和 AB 的中点 M 和 N ∴ VP ? ABC ? VP ? AMB ? VC ? AMB ?
2 2 2 2

1 ? PC ? S ?AMB 3

在△AMB 中,AM =BM =17 -8 =25×9 ∴ AM=BM=15cm,MN =15 -9 =24×6 ∴ S△AMB=
1 1 1 2 3 ×AB×MN= ×18×12=108(cm )∴ VP-ABC= ×16×108=576(cm ) 2 2 3
2 2 2

评注:把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法,这样分割的 结果,一方面便于求体积,另一方面便于利用体积的相关性质,如等底等高的锥体的体积相等, 等底的两个锥体的体积的比等 三.课堂练习 1.一直线 l 与其外三点 A,B,C 可确定的平面个数是( A.1 个 C.1 个或 3 个 B.3 个 D.1 个或 3 个或 4 个 )

解析:当 A、B、C 共线且与 l 平行或相交时,确定一个平面;当 A、B、C 共线且与 l 异 面时,可确定 3 个平面;当 A、B、C 三点不共线时,可确定 4 个平面. 答案:D

2.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,PA⊥面 ABC,AB=AC,D 是 BC 的中点,则图中直角 三角形的个数是( )

A.5 C.10

B.8 D.6

解析:这些直角三角形是:△PAB,△PAD,△PAC,△BAC,△BAD,△CAD,△PBD,△PCD. 共 8 个. 答案:B

3.如右上图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别 是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM( A.与 AC、MN 均垂直相交 B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直 C.与 MN 垂直,与 AC 不垂直 D.与 AC、MN 均不垂直 解析:易证 AC⊥面 BB1D1D,OM? 面 BB1D1D,∴AC⊥OM.计算得 OM +MN =ON =5,∴OM⊥
2 2 2

)

MN.
答案:A 4、已知 A、B、C、D 为空间四个点,且 A、B、C、D 不共面,则直线 AB 与 CD 的位置关系 是________. 解析:如图所示:由图知,AB 与 CD 为异面直线.

答案:异面 5、如下图所示,以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕.使△ABD 和△ACD 折 成互相垂直的两个平面,则:

(1)BD 与 CD 的关系为________. (2)∠BAC=________. 解析:(1)AB=AC,AD⊥BC, ∴BD⊥AD,CD⊥AD, ∴∠BDC 为二面角的平面角,∠BDC=90°, ∴BD⊥DC. (2)设等腰直角三角形的直角边长为 a,则斜边长为 2a.

∴BD=CD=

2 a. 2

∴折叠后 BC=

? 2 ?2 ? 2 ?2 ? a? +? a? =a. ?2 ? ?2 ?
(2)60°

∴折叠后△ABC 为等边三角形.∴∠BAC=60°. 答案:(1)BD⊥CD

6、如下图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且面 CDE⊥面 ABCD.

求证:CE⊥平面 ADE. 证明: 面ABCD⊥面CED? ?
? ? ?

ABCD为矩形

? AD⊥面CDE? AD⊥CE

? ? 点E在直径为CD的半圆上? CE⊥ED? ? 又AD∩ED=D ?
? CE⊥面 ADE. 7、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= 如图. 2 a, 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长. 解:(1)证明:作 NP⊥AB 于 P,连接 MP.NP∥BC,



AP AN A1M = = , AB AC A1B

∴MP∥AA1∥BB1, ∴面 MPN∥面 BB1C1C.

MN? 面 MPN,
∴MN∥面 BB1C1C. 2 a 3 NP AN 1 1 (2) = = = ,NP= a, BC AC 3 3 2a 2 同理 MP= a. 3 又 MP∥BB1, ∴MP⊥面 ABCD,MP⊥PN. 在 Rt△MPN 中 MN= 4 2 1 2 5 a + a = a. 9 9 3

四、课堂小结:1.复习巩固.2.规律总结.3.思想升华. 五、作业 教材 P78 复习参考题


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