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高中数学人教A版选修2.3.1《双曲线及其标准方程》知能演练轻松闯关


单元练习 1.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 5 4 5 4 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 2 9 16 答案:A 2.已知 A(0,-4),B(0,4),|PA|-|PB|=2a,则当 a=3 和 4 时,点 P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线 解析:选 D.当 a=3 时,2a=6<|AB|=8,轨迹为双曲线上支;当 a=4 时,2a=8=|AB|,轨 迹为以 B 为端点,向上的一条射线. y2 x2 3.(2018· 高考上海卷)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点,则 m= m 9 __________. 解析:由已知条件知 m+9=52,所以 m=16. 答案:16 x2 y2 4.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是__________. 9 16 x2 y2 16 解析:由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5,代入双曲线方程可得|yM|= , 9 16 3 16 34 即为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= . 3 3 34 答案: 3 [A 级 基础达标] 1.方程 x= 3y2-1所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 2 解析:选 C.依题意:x≥0,方程可化为:3y -x2=1,所以方程表示双曲线的一部分.故选 C. x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( ) 4 a a 2 1 A. B.1 或-2 2 1 C.1 或 D.1 2 ?a>0, 2 解析:选 D.依题意:?0<a <4, ? ? ?4-a2=a+2. 解得 a=1.故选 D. 单元练习 x2 y2 3.若方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( ) 10-k 5-k A.(5,10) B.(-∞,5) C.(10,+∞) D.(-∞,5)∪(10,+∞) 解析:选 A.由题意得(10-k)(5-k)<0,解得 5<k<10. x2 y2 4.已知双曲线方程为 - =1,那么它的焦距为__________. 20 5 解析:∵a2=20,b2=5,∴c2=a2+b2=25. ∴c=5.故焦距为 2c=10. 答案:10 5 5.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0)和 F2(3,0),且 P? ,1?在双曲线右支上,则该 ?2 ? 双曲线的方程是__________. 解析:法一:利用双曲线定义. 121 1 2a=|PF1|-|PF2|= +1- +1 4 4 5 5 5 = - =2 5, 2 2 ∴a= 5,b2=c2-a2=4. x2 y2 故所求方程为 - =1. 5 4 法二:待定系数法. x2 y2 设双曲线方程为 2- =1(0<a2<9), a 9-a2 25 1 则有 2- =1, 4a 9-a2 ∴4a4-65a2+225=0. 45 ∴a2=5 或 a2= >9(舍去). 4 x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 5 4 2 2 x y 答案: - =1 5 4 6.根据下列条件,求双曲线的方程: x2 y2 (1)以椭圆 + =1 的短轴的两个端

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