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高中数学人教A版选修2.3.1《双曲线及其标准方程》知能演练轻松闯关

单元练习 1.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 5 4 5 4 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 2 9 16 答案:A 2.已知 A(0,-4),B(0,4),|PA|-|PB|=2a,则当 a=3 和 4 时,点 P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线 解析:选 D.当 a=3 时,2a=6<|AB|=8,轨迹为双曲线上支;当 a=4 时,2a=8=|AB|,轨 迹为以 B 为端点,向上的一条射线. y2 x2 3.(2018· 高考上海卷)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点,则 m= m 9 __________. 解析:由已知条件知 m+9=52,所以 m=16. 答案:16 x2 y2 4.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是__________. 9 16 x2 y2 16 解析:由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5,代入双曲线方程可得|yM|= , 9 16 3 16 34 即为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= . 3 3 34 答案: 3 [A 级 基础达标] 1.方程 x= 3y2-1所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 2 解析:选 C.依题意:x≥0,方程可化为:3y -x2=1,所以方程表示双曲线的一部分.故选 C. x2 y2 x2 y2 2.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( ) 4 a a 2 1 A. B.1 或-2 2 1 C.1 或 D.1 2 ?a>0, 2 解析:选 D.依题意:?0<a <4, ? ? ?4-a2=a+2. 解得 a=1.故选 D. 单元练习 x2 y2 3.若方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( ) 10-k 5-k A.(5,10) B.(-∞,5) C.(10,+∞) D.(-∞,5)∪(10,+∞) 解析:选 A.由题意得(10-k)(5-k)<0,解得 5<k<10. x2 y2 4.已知双曲线方程为 - =1,那么它的焦距为__________. 20 5 解析:∵a2=20,b2=5,∴c2=a2+b2=25. ∴c=5.故焦距为 2c=10. 答案:10 5 5.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0)和 F2(3,0),且 P? ,1?在双曲线右支上,则该 ?2 ? 双曲线的方程是__________. 解析:法一:利用双曲线定义. 121 1 2a=|PF1|-|PF2|= +1- +1 4 4 5 5 5 = - =2 5, 2 2 ∴a= 5,b2=c2-a2=4. x2 y2 故所求方程为 - =1. 5 4 法二:待定系数法. x2 y2 设双曲线方程为 2- =1(0<a2<9), a 9-a2 25 1 则有 2- =1, 4a 9-a2 ∴4a4-65a2+225=0. 45 ∴a2=5 或 a2= >9(舍去). 4 x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 5 4 2 2 x y 答案: - =1 5 4 6.根据下列条件,求双曲线的方程: x2 y2 (1)以椭圆 + =1 的短轴的两个端点为焦点,且过点 A(4,-5); 16 9 x2 y2 (2)以椭圆 + =1 长轴的两个顶点为焦点,焦点为顶点. 16 9 y2 x2 解:(1)双曲线中 c=3,且焦点在 y 轴上,设方程为 2- 2=1(a>0,b>0),将 A(4,-5)代入, a b 得 25b2-16a2=a2b2. 又∵b2=c2-a2,即 b2=9-a2,∴25(9-a2)-16a2=a2(9-a2). 解得 a2=5 或 a2=45(舍),b2=9-a2=4. y2 x2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 5 4 (2)椭圆的焦点为(± 7,0),相应的两个顶点为(± 4,0), ∴双曲线中,c=4,a= 7. ∴b2=9,且双曲线的焦点在 x 轴上. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 7 9 [B 级 能力提升] 单元练习 7.(2018· 聊城质检)已知点 F1(- 2,0)、F2( 2,0),动点 P 满足|PF2|-|PF1|=2.当点 P 的纵 1 坐标是 时,点 P 到坐标原点的距离是( ) 2 6 3 A. B. 2 2 C. 3 D.2 解析:选 A.因为动点 P 满足|PF2|-|PF1|=2 为定值,又 2<2 2,所以 P 点的轨迹为双曲线 的一支.因为 2a=2,所以 a=1.又因为 c= 2,所以 b2=c2-a2=1.所以 P 点轨迹为 x2-y2 1 5 5 1 6 =1 的一支. 当 y= 时, x2=1+y2= , 则 P 点到原点的距离为|PO|= x2+y2= + = . 2 4 4 4 2 8.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0)、F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足 → → → → MF1·MF2=0,|MF1|·|MF2|=2,则该双曲线的方程是( ) 2 x2 2 2 y A. -y =1 B.x - =1 9 9 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 7 7 3 → → → → 解析:选 A.∵MF1·MF2=0,∴MF1⊥MF2, ∴MF1⊥MF2,∴|MF1|2+|MF2|2=40, ∴(|MF1|-|MF2|)2 =|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2 =40-2×2=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3, 又 c= 10,∴b

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