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三角函数恒等变形复习经典讲义


三角恒等变换
一、知识点总结
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

(1) cos (2) sin

?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

(3) tan ?? ? ? ? ? (1) sin 2?

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

? 2sin ? cos ? .

? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? ) 2

⑵ cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos? ? 2 sin 2

? 升幂公式 1 ? cos? ? 2 cos2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ? 降幂公式 cos2 ? ? 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

3、辅助角公式: ? sin ? ? ? cos ? ? 二、基础训练 1、特殊角的三角函数值: 角度 弧度 0° 30° 45°

? . ?

60°

90°

180°

270°

360°

sin? ?

cos? ?
tan? ?
2、直接计算:

cos( ? ) ? 3 4 sin( ? ) ? 3 4

?

?

?

?

cos(? )? 3 4 s in ( ? ) ? 3 4

?

?

?

?

tan( ? ) ? 3 4
3、知一个角求值: ① cos? ? ? , ? ? (

?

?

tan(? )? 3 4
, cos2? = , sin 2? = , tan 2? =

?

?

3 ? ? ? , cos( ? ? ) = , ? ) ,则 cos( ? ? ) = 5 2 4 4 5 ? ? ② sin ? ? ? , ? 是第三象限角,则 sin( ? ? ) = , sin(? ? ) = 13 6 3 1 ? ? ③ sin ? ? ? , ? 是第四象限角,则 tan(? ? ) = , tan(? ? ) = 2 4 3
4、已知两个角求值: ①已知: sin ? ? ?

2 3 3? 3? , cos ? ? , ? ? (? , ) , ? ? ( ,2? ) ,求 cos(? ? ? ) , sin(? ? ? ) , 3 4 2 2 tan 2? , tan(2? ? ? ) 。 3 12 ②已知 ? , ? 都是锐角, cos? ? , cos ? ? ,求 cos( ? ? ? ) + sin(? ? ? ) 和 tan(? ? ? ) 5 13 5 3 ③在△ABC 中, sin A ? , cos B ? , 求 cosC 的值。 13 5
5、降幂计算 ① sin x cos x ? ② cos x ? sin x ?
2 2

, sin x ?
2

, cos x ?
2

③ sin x cos x cos2x =
④ sin ? ? cos ? ?
4 4

⑤ sin ? ? cos ? ?
4 4

⑥ sin ? ? cos ? sin ? ?
4 2 2

⑦ cos x ? 2 sin x cos x ? sin x ?
4 4

⑧ y ? sin(x ?

?

) ? sin(x ? ) ? cos x = 6 6 3 ,45? ? x ? 135 ?, 求 sin x, cos x, tan x 。 5 1 11 , cos(x ? y) ? ? ,求 cos y , sin y , tan y 。 7 14

?

5、角的整体应用: ① 已知: sin(45? ? x) ?

② 已知 x, y 都是锐角, cos x ?

③ 已知 cos( ? x) ?

?

4

3 ? 12 ? ? 3? 5? , sin( ? y) ? ? , x ? (? , ), y ? ( , ) , 5 4 13 4 4 4 4

求 sin(y ? x) , sin(x ? y) , tan 2 x 的值。

两角和与差及二倍角强化训练
1、下列各式中,值为

1 的是 2
B、 cos 2

A、 sin15? cos 15?

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D、

1 ? cos 30? 2

2、已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ? 3、已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 4、已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? 求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3
5、求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 )
? ?

3 ,那么 cos 2? 的值为____ 5

6、已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

7、已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ?1 ,则 cos( A ? B) =_____ 8、设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? ____三角形 9、若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 ,则此三角形是 4

3 2

1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
10、化简:

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4
11、已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?
2 2

?

?

1 2

12、若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

__

13、若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。

2

14、若 ? , ? ? (0, ? ) , 且 tan ? 、tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根, 则求 ? ? ? 的值____
2

作业:练习题 1:已知 ? ∈( A.

1 7
1 2

3 ? ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( 5 2 4 1 B.7 C.- 7
( D.
3 2

) D.-7

(2) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于 A.- B.
1 2



C.-

3 2

3:设 cos( ? - 求 cos( ? +β).

? 1 ? 2 π π )=- ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< , 2 9 2 3 2 2

4:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2

7 A?C -- cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

5. 已知 α 为锐角,且 tan ? ?

1 sin 2? cos? ? sin? ,求 的值. 2 sin 2? cos 2?

6. 已知 α ? (

? ? 3? ? 3 5 3? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 5 13 4 4

7:已知

sin

x x ? 2 cos ? 0 2 2

(1)求 tan x 的值; (2)求

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.


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