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高三文科数学一轮复习立体几何7-4


命题要点:(1)直线与平面垂直的判定及性质(′11 年 5 考,′10 年 6 考); (2)平面与平面垂直的判定与性质.

A级

基础达标演练

(时间:40 分钟

满分:60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 答案 B ).

2.已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β” 是“m⊥β”的( ). B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 答案

D.既不充分也不必要条件

由面面垂直的判定定理,知 m⊥β?α⊥β. B

3.(2011· 温州十校联考)若 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平 面,则以下命题正确的是( ). B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n

C.若 m∥β,α∥β,则 m∥α D.若 α∩β=m,m⊥n,则 n⊥α 解析 m 与 n 也可能异面或相交,故 A 错;由线面垂直的性质定理知 B 正

确;对于 C 选项,直线 m 还有可能在平面 α 内;对于 D 选项,n 与 α 的关系不 确定. 答案 B

4.(2011· 惠州调研(三))设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则 下列命题正确的是( ).

A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α C.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α D.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 解析 答案 由 n⊥α,n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥α,故 C 正确,选 C. C ).

5.(2011· 深圳二模)已知三个不同的平面 α,β,γ,下列命题正确的是( A.若 α,β,γ 两两相交,则有三条交线 B.若 α⊥β,α⊥γ,则 β∥γ C.若 α⊥γ,β∩α=a,β∩γ=b,则 a⊥b D.若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ 解析

A 中三个平面两两相交,可以只有一条交线,A 错;B 中垂直于同一

个平面的两个平面也可能相交,B 错;C 中 a 与 b 可能平行,也可能垂直,C 错; D 正确. 答案 D

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,下列四个命题: ①若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β; ②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ④若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 解析 ②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β 或 α,β 相交,所以②错误.③若

m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β 或 α,β 相交,所以③错误.故填①④. 答案 ①④

7.已知平面 α,β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α; ④α∥β.当满足条件________时,有 m⊥β.(填所选条件的序号). 解析 答案 若 m⊥α,α∥β,则 m⊥β. ②④

8.(2012· 西安模拟)已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两

垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 解析

如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P,∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC?平面 PBC,∴PA⊥BC. 同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 答案 3个

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)

若 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC, 求证:BC⊥AC. 证明 ∵平面 PAC⊥平面 PBC,作 AD⊥PC 垂足为 D,

根据平面与平面垂直的性质定理知: AD⊥平面 PBC,又 BC?平面 PBC, 则 BC⊥AD,又 PA⊥平面 ABC, 则 BC⊥PA,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AC. 10.(12 分)

(2011· 福州模拟)如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是

AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45° ,求证:MN⊥平面 PCD. 证明 (1)如图,连结 AC,AN,BN,∵PA⊥平面 ABCD,

∴PA⊥AC,在 Rt△PAC 中,N 为 PC 中点,

1 ∴AN=2PC. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC,又 BC⊥AB, PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB, 从而在 Rt△PBC 中,BN 为斜边 PC 上的中线, 1 ∴BN=2PC.∴AN=BN,∴△ABN 为等腰三角形, 又 M 为底边的中点,∴MN⊥AB, 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)连结 PM、MC,∵∠PDA=45° ,PA⊥AD,∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AD=BC,∴PA=BC. 又∵M 为 AB 的中点,∴AM=BM. 而∠PAM=∠CBM=90° ,∴PM=CM. 又 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C, ∴MN⊥平面 PCD. B级 综合创新备选

(时间:30 分钟

满分:40 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.如图 1 所示,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合, 重合后的点记为 H, 如图 2 所示, 那么, 在四面体 AEFH 中必有( ).

A.AH⊥△EFH 所在平面 C.HF⊥△AEF 所在平面 解析 答案

B.AG⊥△EFH 所在平面 D.HG⊥△AEF 所在平面

折成的四面体有 AH⊥EH,AH⊥FH,∴AH⊥面 HEF. A

2.(2011· 九江模拟)已知 P 为△ABC 所在平面外的一点,则点 P 在此三角形 所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是( A.PA=PB=PC B.PA⊥BC,PB⊥AC C.点 P 到△ABC 三边所在直线的距离相等 D.平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等 解析 选 B. 答案 B 条件 A 为外心的充分必要条件,条件 C、D 为内心的必要条件,故 ).

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2012· 太原模拟)设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下 列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 解析 借助于正方体易知①②正确;对于③,若平面 α 内与直线 l 垂直的无

数条直线都平行,则直线 l 可能与平面 α 不垂直,所以③错;④中的不共线的三 点有可能是在平面 β 的两侧,所以两个平面可能相交可能平行.故填①②. 答案 ①②

4.如图,

PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、F 分别 是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.

又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC. 又 AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案 ①②③

三、解答题(共 22 分) 5.(★)(10 分)(2011· 武汉模拟)

如图所示是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图

中的左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视 图是等腰直角三角形. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD. 证明 (1)连接 MN,则 MN∥CD,AE∥CD,

1 又 MN=AE=2CD, ∴四边形 ANME 为平行四边形, ∴AN∥EM. ∵AN? 平面 CME,EM?平面 CME,

∴AN∥平面 CME.

(2)∵AC=AB,N 是 BC 的中点,AN⊥BC, 又平面 ABC⊥平面 BCD,∴AN⊥平面 BCD. 由(1),知 AN∥EM,∴EM⊥平面 BCD. 又 EM?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD. 【点评】 解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有: 第一步:根据条件合理转化. 第二步:写清推证平行或垂直的所需条件,注意要充分. 第三步:写出结论. 6.(12 分)

(2012· 泉州模拟)如图所示,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥ AC,点 M 是棱 BB1 上一点. (1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

(1)证明

由直四棱柱,得 BB1∥DD1,

又∵BB1=DD1, ∴BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD. 而 BD?平面 A1BD,B1D1? 平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,

∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B, ∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC.

(3)解

当点 M 为棱 BB1 的中点时,

平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所示. ∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC. 又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1. 又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴BM∥ON 且 BM=ON, 即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM?平面 DMC1, ∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.


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