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2016年高三一轮复习《函数的奇偶性与周期性》课件


第3讲
最新考纲

函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会

运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期 性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
1.奇函数、偶函数
图像关于原点对称的函数叫作奇函数. 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.

2.奇(偶)函数的性质
相同 ,偶 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______ 相反 填“相 函数在关于原点对称的区间上的单调性______( 同”、“相反”).

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)在公共定义域内 奇函数 ,两个奇函数的积函数 ①两个奇函数的和函数是_______

偶函数 . 是_______
②两个偶函数的和函数、积函数是_______ 偶函数 . 奇函数 . ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是_______ (3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0. 3.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,对 f(x) ,就把f(x) 定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)= ____
称为周期函数,称T为这个函数的周期.
基础诊断 考点突破 课堂总结

存在一 (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中______ ______的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周 个最小 期.

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (× ) (×) (√ )

(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数. 点. =a对称.

(2)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原
(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x (4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期

为2a(a>0)的周期函数.

(√ )

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.(2014· 广东卷)下列函数为奇函数的是
1 A.y=2 - x 2 C.y=2cos x+1
x

(

)

B.y=x3sin x D.y=x2+2x

1 解析 易知 y=2 - x是奇函数,y=x3sin x 和 y=2cos x 2 +1 是偶函数,y=x2+2x 是非奇非偶函数,故选 A.
x

答案

A

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考点突破

课堂总结

3.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x) 是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 解析 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 ( )

依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=

g(x),因此,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)· g(x)],f(x)g(x)是

奇函数,A错;|f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|· g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)
是偶函数,B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|], f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;

|f(-x)· g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,
|f(x)g(x)|是偶函数,D错. 答案 C
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4.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当
x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于 A.-2 B.2 C.-98 D.98 ( )

解析

∵f(x+4)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,

即f(2 015)=-2.
答案 A

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考点突破

课堂总结

5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= x(1+x),则x<0时,f(x)=________.

解析

当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).

又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x). 答案 x(1-x)

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考点一

函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2)f(x)=(1-x) 1+ x ; 1- x

2 ? ?-x +2x+1 (x>0), (3)f(x)=? 2 ? ?x +2x-1 (x<0);

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3

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考点突破

课堂总结



(1)∵ x2+1>|x|≥0,

∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ (-x)2+1) =-xlg( x2+1-x) =xlg( x2+1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1,

由于定义域关于原点不对称,

∴函数f(x)是非奇非偶函数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
2 ? ?4-x ≥0, (4)∵? ?-2≤x≤2 ? ?|x+3|≠3

且 x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x , x+3-3 4-(-x)2 4-x2 又 f(-x)= =- x , -x ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
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规律方法

判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:(1)

定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否 具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判 断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或

f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

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考点突破

课堂总结

【训练1】 (1)(2015· 渭南质量预测)下列函数中,既是偶函数 又在区间(1,2)上单调递增的是
A.y=log2|x| 2x-2 C.y= 2
-x

(

)

B.y=cos 2x 2-x D.y=log2 2+x

(2)(2014· 日照模拟 ) 函数 f(x) = log2(x + x2+1)(x∈R) 与 g(x) = lg|x - 2| 分 别 为 ________ 和 ________ 函 数 ( 填 “奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析 (1)对于 A, 函数 y=log2|x|是偶函数且在区间(1, 2)上是增函数;对于 B,函数 y=cos 2x 在区间(1,2) 2x-2-x 上不是增函数;对于 C,函数 y= 不是偶函数; 2 2- x 对于 D,函数 y=log2 不是偶函数,故选 A. 2+ x (2)法一 易知 f(x)的定义域为 R.
2

1 ∵f(-x)=log2[-x+ (-x) +1]=log2 x+ x2+1 =-log2(x+ x2+1)=-f(x),

∴f(x)是奇函数.
对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}.
基础诊断 考点突破 课堂总结

∵g(x)的定义域关于原点不对称,
∴g(x)为非奇非偶函数. 法二 易知f(x)的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ (-x)2+1]+ log2(x+ x2+1)=log21=0,

即f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2.

∴g(x)的定义域为{x|x≠2}.
∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 答案 (1)A (2)奇函数 非奇非偶
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二

函数周期性的应用

【例 2】 (1)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇 函 数 , 且 在 [0 , 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) =
? ?x(1-x),0≤x≤1, ? 则 ? ?sin π x,1<x≤2,

f

?29? ?41? ? ?+f ? ?=________. ?4? ?6?

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-f(x),

当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________.
解析
所以 f =f

(1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数,
?29? ?41? ? ? 3? 7? ? ?+f ? ?=f ?2×4- ?+f ?2×4- ? 4? 6? ?4? ?6? ? ?

? 3? ? 7? ?3? ?7? ?- ?+f ?- ?=-f ? ?-f ? ? ? 4? ? 6? ?4? ?6?
基础诊断 考点突破 课堂总结

π 5 3 =- +sin = . 16 6 16

(2)由f(x+2)=-f(x), 得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), 所以函数f(x)的周期为4,

∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.
答案 5 (1) 16 (2)2.5

规律方法

函数的周期性反映了函数在整个定义域上的

性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判 断,利用函数周期性求值.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时, f(x)=2 -1,则 f(log26)的值为
5 A.- 2 B.-5 1 C.- 2
x 1

(
D.-6

)

解析

∵f(x)是周期为 2 的奇函数. ? ? ? 1 3? 1 ∴f(log 6)=f ?log 2? ? ? 2 2 =f
? ? 3? ?-log2 ?=-f ?log2 2? ? ?

3? ? 2?

=-(

1 -1)=- . 2

答案

C
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考点三

函数性质的综合应用 ( )

【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且 在区间[0,2]上是增函数,则

A.f(-25)<f(11)<f(80)
B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25)

D.f(-25)<f(80)<f(11)
(2)(2014· 新课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2 对称,f(3)=3,则f(-1)=________.

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考点突破

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解析

(1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).

由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得
f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).

(2)因为f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),
f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 答案 (1)D (2)3
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

比较不同区间内的自变量对应的函数值的大

小.对于偶函数,如果两个自变量的取值在关于原点对

称的两个不同的单调区间上,即正负不统一,应利用图
像的对称性将两个值化归到同一个单调区间,然后再根 据单调性判断.

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【训练 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),
2

则 a 的取值范围是

(
? 1? B.?0,2? ? ?

)

A.[1,2]
?1 ? C.?2,2? ? ?

D.(0,2]

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解析

因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)
2

=f(x)=f(|x|),又因为 log1a=-log2a, 且 f(x)是偶函数, 所以 f(log2a)+f(log1a)
2

=2f(log2a)=2f(|log2a|)≤2f(1),即 f(|log2a|)≤f(1),又函数在[0,+∞) 上单调递增,所以 0≤|log2a|≤1,即 1 -1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2

答案

C

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[思想方法]
1.奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一,为了便于 判断, 有时需要将函数进行化简, 或应用定义的变通形式: f(-x) f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f(x)

2.已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是:利用函数 的奇偶性的定义,转化为f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))对 x∈R恒成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问 题获得解决.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x 1 1 +a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是 f(x) f(x) 常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

[易错防范] 1.在用函数奇偶性的定义进行判断时,要注意自变量在定 义域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x),

就确定函数的奇偶性.
2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定

函数在整个定义域的奇偶性.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图像的 对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的 是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

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