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数学选修2-2测试1


选修 2-2 试题 1
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中只有一个是符合要求的) 。 1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为
A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1





2、函数 y=1+3x-x3 有



) B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 (
C. ? ln 2 D. ln 2 )

A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 41 3. ? dx 等于 2 x A. ?2 ln 2 B. 2 ln 2

)

1 4.已知曲线 C: f ( x) ? x 3 ? 1 , 则与直线 y ? ? x ? 4 垂直的曲线 C 的切线方程为 ( 3
A .3x ? y ? 1 ? 0 C .3x ? y ? 1 ? 0或3x ? y ? 3 ? 0 B .3x ? y ? 3 ? 0 D .3x ? y ? 1 ? 0或3x ? y ? 3 ? 0

5.设 a,b 为实数,若复数
A. a ?

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? bi

(

)

3 1 ,b ? B. a ? 3, b ? 1 2 2 1 3 C. a ? , b ? D. a ? 1, b ? 3 2 2 1 1 1 1 n ? (n ? N ? ), 假设 n=k 时成立,当 n=k+1 时,左 6. 证明 1 ? ? ? ? ? ? n 2 3 4 2 ?1 2 端增加的项数是 ( )

A.1 项

B. k ? 1 项

C. k 项

D. 2 k 项
y

7.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间

y ? f ?( x)

b

( a, b) 内有极大值点

( C.3 个

) D. 4 个

a

O

x

A.1 个

B.2 个

8. 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

)

9.设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f '( x) 的图象画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是
1





A

B

C

D

10.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点
(1, f (1)) 处的切线方程是

( C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3



A. y ? 2 x ? 1

B. y ? x

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2i 11.若复数 z ? ,则 | z ? 3i |? 。 1? i 12.设函数 f ( x) ? 取值范围是
5? sin ? 3 3 cos? 2 x ? x ? tan? ,其中 ? ? [0, ] ,则导数 f / (1) 的 12 3 2



13.已知 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 14.已知 a1 ? 3, an ? an an?1 ? 1(n ? N ? ), An 表示数列 {an } 的前 n 项之积,则 A2010 ? 15.已知在等差数列 {an } 中,
a11 ? a12 ? ? ? a 20 a1 ? a 2 ? ? a30 ? ,则在等比数列 10 30

{bn } 中,类似的结论为
三.解答题 16.(12 分)计算: (1)求 y ?

x x x ? sin cos ? e ? x 的导数。 2 2

(2)

?

1

-3

x 2 ? 4 dx ?

2

17. (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? m2 x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (1)求 m 的值; (2)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

18. (12 分)已知数列 {bn } 的通项为 bn ? n ? 2 。 求证:数列 {bn } 中任意三项都不可能成为等比数列。

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? 16ln( 1 ? x) ? x 2 ? 10x . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围.

3

2 20. (13 分)已知函数 f ( x) ? x ? ? a(2 ? ln x), (a ? 0) 。 x

(1)讨论 f ( x) 的单调性. (2)若 f ( x ) 在区间(1,2)上单调递减,求实数 a 的取值范围。

21. (14 分) 在数列 ?an ?, ?bn ?中, a1 ? 2, b1 ? 4 且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列 n ? N * . (1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?an ?, ?bn ?的通项公式,并用数学归纳 法证明你的结论; 1 1 1 5 (2)证明: ? ??? ? a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn 12

?

?

4

选修 2-2 试题 1 答案
一.选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 D 10 A

二.填空题: 11. 5 14. 1 三.解答题 16.(1) 解: 12. 15.
10

[ 2 ,2]

13.

a ? ?3或a ? 6

b11 ? b12 ? ? ? b20 ? 30 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b30

1 ? y ? x ? sinx ? e ? x 2 1 1 ? y? ? ? cos x ? e ? x 2 x 2
(2) 解:原式=

?

?2

?3

( x 2 ? 4)dx ? ? (4 ? x 2 )dx
?2

1

=34/3

1 17.解:(1) f ’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= m, 3
当 x 变化时,f ’(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f’(x) f (x) (-∞,-m) + -m 0 极大值 (-m,

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

(

1 m ,+∞) 3
+



从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2. (2)由(1)知,f(x)=x3+2x2-4x+1, 1 依题意知 f ’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- . 3 1 68 又 f(-1)=6,f(- )= , 3 27 68 1 所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- =-5(x+ ), 27 3
即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 18 证明:假设数列 {bn } 中存在三项
2 bp , bq , br , ( p, q, r是互不相等的正整数 ) 成等比数列,则 bq ? bp ? br

5

? ( q ? 2 ) 2 ? ( p ? 2 )(r ? 2 ) 整理得( q 2 ? pr) ? ( 2q ? p ? r ) 2 ? 0 ? p, q, r ? N ? ?q 2 ? pr ? 0 ?? 消 q得 ( p ? r ) 2 ? 0 ?2 q ? p ? r ? 0 ? p ? r .与p ? r相矛盾
故数列 {bn } 中任意三项都不可能成为等比数列。
16 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) 19. (1)f ( x) ? 16ln(1 ? x) ? x2 ?10x , x ? (?1, ??) f '( x) ? ? 2 x ? 10 ? ? 1? x x ?1 x ?1

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , x ? 3 . f '( x) 和 f ( x) 随 x 的变化情况如下: (?1,1) x 1 f '( x) ? 0
f ( x)

(1,3)

?

极大 减 值 f ( x) 的增区间是 (?1,1) , (3, ??) ;减区间是 (1,3) . 增

3 0 极小 值

(3, ??)

?


(2)由(1)知, f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增,在 (3, ??) 上单调递增,在 (1,3) 上单 调递减. ∴ f ( x)极大 ? f (1) ? 16ln 2 ? 9 ,
f ( x)极小 ? f (3) ? 32ln 2 ? 21 .

又 x ? ?1? 时, f ( x) ? ?? ; x ??? 时, f ( x) ? ?? ;
可据此画出函数 y ? f ( x) 的草图(图略) ,由图可知, 当直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点时, b 的取值范围为 (32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9) 附加题: (本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分。 ) 20.解: (1) f ( x ) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2
2

2 设 g ( x) ? x ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .

22 ① 当 ? ? a ?8 ? 0, 即0 ? a ?
2

时, 对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, ??)

上是增函数。 ② 当 ? ? a ?8 ? 0 , 即 a ? 2 2 时 , 仅 对 x ?
2

2 有 f ?( x) ? 0 , 对 其 余 的 x ? 0 都 有

f ?( x ) ? 0,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数。
③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

6

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 2 2

? 由 f ( x) ? 0 ,得 (0, f ?( x) ? 0


a ? a2 ? 8 ) 2 ,

(

a ? a2 ? 8 , ??) 2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 2 2 得 (
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增 , 在 ( , ) 是上单调递减 , 2 2 2

此时 f ( x ) 在 (0,

a ? a2 ? 8 在( , ??) 上单调递增. 2
(2)解: f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2

2 依题意 f ?( x) ? 0 (等零的点是孤立的)即 x ? ax ? 2 ? 0 在(1,2)上恒成立

令 g ( x) ? x 2 ? ax ? 2 。则有 ?

? g (1) ? 0 解得 a ? 4 ? g ( 2) ? 0

满足题意的实数 a 的取值范围为 [4,??] .
2 21. (1) 2bn ? an ? an?1 , an ?1 ? bn bn ?1 得 a 2 ? 6, b2 ? 9, a3 ? 12, b3 ? 16 , a4 ? 20 ,

b4 ? 25 ,于是猜测 an ? n(n ? 1) , bn ? (n ? 1) 2 下面用数学归纳法证明
①当 n ? 1 时, 结论显然成立 ②假设 n ? k 时, 结论成立。 即 ak ? k (k ? 1) , bk ? (k ? 1) 2 , 那么 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2bk ? ak ? (k ? 1)(k ? 2) , bk ?1 ?
2 ak ?1 ? (k ? 2) 2 ,所以,当 bk

n ? k ? 1 时结论成立,由(1) (2)可知 an ? n(n ? 1) , bn ? (n ? 1) 2 对一切正整数成立。 1 1 5 (2)证明:当 n ? 1 时, ? ? ,当 n ? 2 时, an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? a1 ? b1 6 12 1 1 1 2n(n ? 1) ,所以 ? ??? ? a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) 6 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)
=

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? 6 2 2 3 3 4 n n ?1



1 1 1 1 1 1 5 ? ( ? )? ? ? ,故原不等式成立。 6 2 2 n ?1 6 4 12

7


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