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2008—2009学年度江苏省如东县第二学期期中四校联考高二数学试卷苏教版必修4


如东县 2008—2009 学年度第二学期期中四校联考

高二数学试卷
必做题部分
注意事项: 1.本试卷共 160 分,考试时间 120 分。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内,试题的答 案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后,交回答题纸。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上 1、命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定
2





2、计算

2?i ? 3 ? 4i



. ▲ .

x 3、设函数 f ( x) ? 2 ? ln x ,则 f ?( x) ?

4、以下几个说法: ①由平面几何中圆的一些性质,推测出球的某些性质这是运用的类比推理。 ②2375 的个位是 5,因此 2375 是 5 的倍数,这是运用的演绎推理。 ③当 n ? 0,1, 2,3, 4 时,n ? n ? 11 对应值都是质数, 推测出对任意自然数 n ,n ? n ? 11 对
2 2

应值都是质数,这是运用的归纳推理。 其中正确的序号为 ▲ . 5、已知复数 z ? (m ? 3m ? 4) ? (m ? 2m ? 24)i 是纯虚数, 则实数 m 的值为
2 2





6、设函数 f ( x) ? ?

6 ?1 ? ? 3? 在区间上 ? ,1? , ?1, ? 的平均变化率分别为 a, b ,则 a, b 的大小关 x ?2 ? ? 2?

系为 ▲ . 7、将以下三段论补充完整: ▲ a⊥ ? , b⊥ ? . a∥b

.(大前提) (小前提) (结 论)

8、如图:直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线, 设 h( x) ? xf ( x) ,则 h?(2) ? ▲ .

. 4 2. . . 0 1 2
y

l
y ? f ( x)

x

用心

爱心

专心

9、 “ x ? 2 x ?3 ? ” “ 2 x ? m ? 0 ” 若 成立的必要条件, 则实数 m 的范围为 0 是
2
3 2





10、若函数 f ( x) ? ax ? ax ? (a ? 2) x(a ? 0) 在 R 上无极值,则实数 a 的取值范围 为 ▲ . ▲ .

11、设复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 4 ,则 z ? i 取值范围为
2
2

12、有下列四个命题:①“若实数 x,y 满足 x +y ≠0,则实数 x,y 不全为零”的否命题, ②“若 a ? b ,则 a ? b ”的否定;③“若 m>0,则 x +x-m=0 有实根”的逆否命题,④
2 2

2

“对顶角相等”的逆命题;其中真命题的个数为 ▲ . 13、一个表面积为 S 的多面体,若它的内切球的半径是 r,则该多面体的体积为 14、如图质点 M 从抛物线 y ? 4 x 的顶点沿 x 轴向右做匀速
2





y A

运动,速度 v ? 1cm s ,过 M 点作抛物线的内接等腰 ?ABC , 则当 M 点在焦点处时等腰 ?ABC 面积的瞬时变化率 为 ▲

O
B

M

x

cm2 s

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、 (本题满分 14 分)
2 已知复数 z 满足 z ? ( z ? 1) ? 3i ,且复数 ( z ? mi ) 在复平面上对应的点在第一象限,求实

数 m 的取值范围.

16、 (本题满分 16 分,第一小题 8 分,第二小题 8 分)

1 x ? sin x 在 x ? ? 0, ? ? 上的最值。 2 x ?1 (2)求函数 f ( x) ? 2 在 x ? ? ?4, 4? 上的极值。 x ?3
(1)求函数 f ( x) ?

用心

爱心

专心

17、 (本题满分 14 分) 设有两个命题: (1)关于 x 的方程 4 ? (a ? 4)2 ? 4 ? 0 有解; (2) f ( x) ? (2a ? a) 在定
x x

2

x

义域上是减函数。当(1)和(2)至少有一个是真命题时,实数 a 的取值范围。

18、 (本题满分 14 分) 设 f ( x )= x +a x +b,(a,b∈R)且 b<0 (1)求证:方程 f ( x )=0 有两个不等的实根。 (2)若︱a︱+︱b︱<1, 求证:方程 f ( x )=0 的两根中至少有一个根的绝对值小于 1。
2

19、 (本题满分 14 分) 设强度分别为 8, 的两个点光源 A,B,它们间的距离为 3, 1 试问在连接这两个光源的线段 AB 上,何处的照度最小?(照度与光的强度成正比,而和这一点到光源的距离的平方成反比)

20、 (本题满分 18 分,第一小题 8 分,第二小题 4 分,第二小题 6 分) x a ?1 已知函数 f ( x) ? ? ( a ? 0 且 a ? 1) . a x (1)试就实数 a 的不同取值,写出该函数的单调递增区间; .. (2)已知当 x ? 0 时,函数在 (0, 6) 上单调递减,在 ( 6, ??) 上单调递增,求 a 的值并 写出函数 F ( x) ? 3 f ( x) 的解析式; (3)记(2)中的函数 F ( x) ? 3 f ( x) 的图像为曲线 C ,试问是否存在经过原点的直线 l , 使得 l 为曲线 C 的对称轴?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由.

用心

爱心

专心

高二数学联考参考答案
一、填空题 1、 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;2、
2

2 1 1 ? i ;3、 2 x ln 2 ? ;4、①②③;5、1;6、 a ? b ; 5 5 x

7、垂直于同一平面的两直线平行;8、6;9、 m ? 2 ;10、 a ? 3 或 a ? 0 ;11、 ?1, 3? ; 12、3;13、 二、解答题 15 解:设 z ? x ? yi x, y ? R 由 z ? ( z ? 1) ? 3i (4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

rs ;14、3 3

? x ? yi ? x 2 ? y 2 ? 1 ? 3i

? x ? x2 ? y 2 ?1 ? ?? ?y ? 3 ? ?

? z ? 4 ? 3i

? ( z ? mi )2 ? ?m2 ? 6m ? 7 ? 8(m ? 3)i
由题意由? ?

? ? m 2 ? 6m ? 7 ? 0 ? ?8( m ? 3) ? 0

(12 分) (14 分)

??7 ? m ? ?3
16 解: (1)由 f ?( x) ? 列表(略) 由表知: f ( x)min ? f (0) ? 0

1 ? cos x ? 0 2

x ? ? 0, ? ?

2 ? x ? ? (3 分) 3
(6 分) (7 分)

2 ? 3 f ( x) max ? f ( ? ) ? ? 3 2 2
(2)由 f ?( x) ? 列表(略) 由表知: f ( x) 的极小值为 f (?3) ? ?

(8 分)

? x2 ? 2 x ? 3

? x 2 ? 3?

2

? 0 ? x ? 1 或—3

(11 分) (14 分)

1 6

(15 分) (16 分)

f ( x) 的极大值为 f (1) ?
17、解:由 4 ? (a ? 4)2 ? 4 ? 0 得 2
x x 2x

1 2

? (a ? 4)2 x ? 4 ? 0

令 t ? 2 (t ? 0)
x

用心

爱心

专心

所以命题(1)为真,即关于 t 的方程 t ? (a ? 4)t ? 4 ? 0 有正根, 分) (3
2

4 4 ? a ? ?t ? ? 4 ? ?(t ? ) ? 4 ? 0 t t ?a ? 0 ,命题(1)为真;
当命题(2)为真,则 0 ? 2a ? a ? 1
2

(5 分) (7 分)

解得 ?

1 1 ? a ? 0 或 ? a ?1 2 2


当(1)和(2)至少有一个是真命题,即(1)为真或(2)为真,

?a ? 0

1 ? a ?1 2
2

18、 (1)证明:?? ? a ? 4b

?b ? 0
而a ? 0
2

??4b ? 0
?? ? a 2 ? 4b ? 0
(4 分) (6 分)

?方程 f ( x) ? 0 有两个不等实根
(2)证明:假设方程两根的绝对值均大于等于 1 设两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? 1 , x2 ? 1

? x1 ? x2 ? ?a ? ? x1 x2 ? b
? a ? b ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1
这与 a ? b ? 1 矛盾

(8 分)

(12 分) (14 分) (2 分)

?方程 f ( x) ? 0 两根的绝对值均大于等于 1
19.设点 P 在线段 AB 上,且 P 距光源 A 为 x ,则距光源 B 为 3 ? x

P 点受 A 光源的照度为 P 点受 B 光源的照度为

ka 8k ? x2 x2
kb k ? 2 (3 ? x) (3 ? x) 2 8k k ? 2 x (3 ? x) 2
(6 分)

其中 k 为比例常数,从而 P 点的总照度为 I ( x) ?

由 I ?( x) ? ?

16k 2k 12k ( x ? 2)( x 2 ? 6 x ? 12) ? ? ?0 x3 (3 ? x)3 x3 (3 ? x)3
用心 爱心 专心

(9 分)

解得 x ? 2 当 0 ? x ? 2 时, I ?( x) ? 0 当 2 ? x ? 3 时, I ?( x) ? 0 因此, x ? 2 时 I 取得极小值,也是最小值 答在两光源 A, B 的连线段上,与光源 A 的距离是 2 处的照度最小 (12 分) (14 分)

1 a ? 1 x 2 ? a(a ? 1) 20.由题设知: f '( x) ? ? 2 ? a x ax 2

(2 分)

①当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? a( a ? 1),0) 及 (0, a(a ? 1)) , 分) (4 ②当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) 及 (0, ??) , 分) (6 ③当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? a(a ? 1)) 及 ( a(a ? 1), ??) . (8 分) (2)由题设及(Ⅰ)中③知 a(a ? 1) ? 6 且 a ? 1 ,解得 a ? 3 , 因此函数解析式为 F ( x) ? (11 分) (12 分)

3x 2 3 ( x ? 0) . ? 3 x

(3)假设存在经过原点的直线 l 为曲线 C 的对称轴, 显然 x 、y 轴不是曲线 C 的对称轴, 故可设 l : y ? kx ( k ? 0 ) 设 P( p, q) 为曲线 C 上的任意一点, P?( p?, q?) 与 ,

P( p, q) 关于直线 l 对称,且 p ? p? , q ? q? ,则 P? 也在曲线 C 上,由此得
p 2 3 p? 2 3 q ? q? p ? p? q ? q? 1 ? , , q? ? , (15 分) ? ? ? ,且 q ? ?k p? p p ? p? k 2 2 3 3
整理得 k ?

1 2 3 ,解得 k ? 3 或 k ? ? , ? k 3 3
3 x 为曲线 C 的对称轴. 3
(18 分)

所以存在直线 y ? 3 x 及 y ? ?

用心

爱心

专心


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