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绥中县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

绥中县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在△ABC 中,已知 a=2 ,b=6,A=30°,则 B=( D.45° ) C.(﹣2,0)∪(2,+∞) D.(﹣2,0)∪(0, ) A.60° B.120° C.120°或 60° (x)>0 成立的 x 的取值范围是( 2) 3. 若 tanα>0,则( A.sinα>0 A.10 ) ) B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 C.8 D.5 ) D.﹣ ,则 B. D.
2 2

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣2)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

4. 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( B.9 5. sin(﹣510°)=( A. B. C.﹣

6. 设命题 p: A. C. 7. 设 F 为双曲线

p 为(



x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,若 OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到 2 a b 1 另一条渐近线的距离为 | OF | ,则双曲线的离心率为( ) 2 2 3 A. 2 2     B.     C. 2 3      D.3 3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想. 8. 若函数 y=x2+bx+3 在[0,+∞)上是单调函数,则有( A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 )   9. 函数 y=2sin2x+sin2x 的最小正周期( A.   10.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f( A.2 或 0 B.0 C.﹣2 或 0 D.﹣2 或 2
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) D.b<0

B.

C.π

D.2π +x)=f(﹣x),则 f( )=( )

11.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AA1 ? 平面 ABC,AA1 =2,BC ? 2 3, ?BAC ? 柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( A. ) C.

?
2

,此三棱

32? 3


B. 16?

25? 3

D.

31? 2

12.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 解析式为(

)的部分图象如图所示,则函数 y=f(x)对应的

A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】函数 f ? x ? ?
2

14.不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数的值是__________. 15.已知 f(x)= 16.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则   17. ( )+

1 2 x ? lnx 的单调递减区间为__________. 2

,则 f(﹣ )+f( )等于  . =      .

1 4

-2

1 log 3 6- log 3 2 = 2

.

18.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照此规律,第 n 个等式为      .  

三、解答题
19.从某中学高三某个班级第一组的 7 名女生,8 名男生中,随机一次挑选出 4 名去参加体育达标测试. (Ⅰ)若选出的 4 名同学是同一性别,求全为女生的概率; (Ⅱ)若设选出男生的人数为 X,求 X 的分布列和 EX.

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20.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】设 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? 1 ? x (1)证明 (2) 若曲线 证明: m ?
3

在 0, a ? 1 上仅有一个零点; 在点 处的切线与 轴平行,且在点 处的切线与直线 平行,(O 是坐标原点) ,

?

?

?

2

?e

x

?a.

a?

2 ?1 e

21.【镇江 2018 届高三 10 月月考文科】已知函数 (1)当 (2)当 (3)当 时,求函数 时,如果函数 的单调区间; ; 时,解关于 的不等式

,其中实数 为常数, 为自然对数的底数.

不存在极值点,求 的取值范围.

22.已知全集 U=R,函数 y= (1)集合 A,B; (2)(?UA)∩B.

+

的定义域为 A,B={y|y=2x,1≤x≤2},求:

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23.对于任意的 n∈N*,记集合 En={1,2,3,…,n},Pn=

.若集合 A 满足下

列条件:①A?Pn;②?x1,x2∈A,且 x1≠x2,不存在 k∈N*,使 x1+x2=k2,则称 A 具有性质 Ω. 如当 n=2 时,E2={1,2},P2= 以 P2 具有性质 Ω. (Ⅰ)写出集合 P3,P5 中的元素个数,并判断 P3 是否具有性质 Ω. (Ⅱ)证明:不存在 A,B 具有性质 Ω,且 A∩B=?,使 E15=A∪B. (Ⅲ)若存在 A,B 具有性质 Ω,且 A∩B=?,使 Pn=A∪B,求 n 的最大值. .?x1,x2∈P2,且 x1≠x2,不存在 k∈N*,使 x1+x2=k2,所

24.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PA 与圆 O 相切于点 A , PBC 是过点 O 的割线, ?APE ? ?CPE ,点 H 是线段 ED 的中 点. (1)证明: A、E、F、D 四点共圆; (2)证明: PF ? PB ? PC .
2

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绥中县高中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:∵a=2 ,b=6,A=30°, = = ,

∴由正弦定理可得:sinB= ∵B∈(0°,180°), ∴B=120°或 60°. 故选:C.   2. 【答案】A 【解析】解:设 g(x)= g′(x)= ,

,则 g(x)的导数为:

∵当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立, 即当 x>0 时,g′(x)<0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)为减函数, 又∵g(﹣x)= = = =g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, ∴x<0 时,函数 g(x)是增函数, 又∵g(﹣2)= =0=g(2),

∴x>0 时,由 f(x)>0,得:g(x)<g(2),解得:0<x<2, x<0 时,由 f(x)>0,得:g(x)>g(﹣2),解得:x<﹣2, ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故选:A.   3. 【答案】C 【解析】解:∵tanα>0, ∴ 故选:C. ,

则 sin2α=2sinαcosα>0.

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  4. 【答案】D 【解析】解:∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即 cos2A= ∴cosA= , 又 a=7,c=6, 根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即 49=b2+36﹣ 解得:b=5 或 b=﹣ 则 b=5. 故选 D   5. 【答案】C 【解析】解:sin(﹣510°)=sin(﹣150°)=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣ , 故选:C.   6. 【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, 故答案为:A 7. 【答案】B 【 解 析 】 p 为: 。 (舍去), b, ,A 为锐角,

8. 【答案】A 【解析】解:抛物线 f(x)=x2+bx+3 开口向上, 以直线 x=﹣ 为对称轴,

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若函数 y=x2+bx+3 在[0,+∞)上单调递增函数, 则﹣ ≤0,解得:b≥0, 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.   9. 【答案】C 【解析】解:函数 y=2sin2x+sin2x=2× 则函数的最小正周期为 故选:C. 【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Asin(ωx+φ)的周 期为 ,属于基础题. =π, +sin2x= sin(2x﹣ )+1,

  10.【答案】D 【解析】解:由题意:函数 f(x)=2sin(ωx+φ), ∵ f( +x)=f(﹣x), = ,

可知函数的对称轴为 x= 根据三角函数的性质可知, 当 x= ∴ f(

时,函数取得最大值或者最小值. )=2 或﹣2

故选 D.   11.【答案】A 【解析】

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考点:组合体的结构特征;球的体积公式. 【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算,其中解答中涉及到三棱柱的线面位置 关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力和学生的空间想象能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 12.【答案】A 【解析】解:由函数的图象可得 A=1, 解得 ω=2, 再把点( 结合 故有 故选:A.   ,1)代入函数的解析式可得 sin(2× ,可得 φ= , , +φ)=1, = ? = ﹣ ,

二、填空题
13.【答案】 ? 0,1?

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【解析】 14.【答案】 a ? 1 【解析】 试题分析:因为不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,所以当 a ? 0 时,不等式可化为 x ? 1 ? 0 ,不符合题意;
2

当 a ? 0 时,应满足 ?

?a ? 0
2 ?? ? (a ? 1) ? 4a ? 0

,即 ?

?a ? 0
2 ?(a ? 1) ? 0

,解得 a ? 1 .1

考点:不等式的恒成立问题. 15.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4.   16.【答案】   . sin(x﹣ , ), . )=f( )=2× = ,

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= 则 = sin(﹣ )=﹣ =﹣

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故答案为:﹣



【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.   17.【答案】 【解析】 试题分析:原式= 4 ? log 3
2

33 2

6 ? log 3 2 ? 16 ? log 3

6 1 33 ? 16 ? log 3 3 ? 16 ? ? 。 2 2 2

考点:指、对数运算。 18.【答案】 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 .

【解析】解:观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 12,32,52,72…第 n 个应该是(2n﹣1)2 左边的式子的项数与右边的底数一致, 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的, 照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2, 故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之 间的关系,本题是一个易错题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)若 4 人全是女生,共有 C74=35 种情况;若 4 人全是男生,共有 C84=70 种情况; 故全为女生的概率为 = .…

(Ⅱ)共 15 人,任意选出 4 名同学的方法总数是 C154,选出男生的人数为 X=0,1,2,3,4… P(X=0)= = ;P(X=1)= = ;P(X=2)= = ;

P(X=3)=

=

;P(X=4)=

=

.…

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故 X 的分布列为 X 0 1 2 P EX=0× +1× +2×

3

4

+3×

+4×

=

.…

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式,正确理解题意是解决问题的基 础.   (﹣?, ? ?) 20.【答案】(1) ( 在 上有且只有一个零点(2)证明见解析 f x) 【解析】试题分析:

(1) f ? ? x ? ? e

x

? f ? x ? ? 1 ? x2
又f

?

?x ?e

2
x

? 2 x ? 1 ? e ? x ? 1? ,? f ? ? x ? ? 0 ,
x 2

?

试题解析:

? a 在 ? ??, ?? ? 上为增函数.

? a ? 1 ,? f ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 ,

?

a ? 1 ? ae

?

a ?1

?a ? a e

?

a ?1

?1 ,

? a ? 1 ? 0,? e

a ?1

? 1 ,即 f

?

a ?1 ? 0 ,

?

?

由零点存在性定理可知, f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上为增函数,且 f ? 0 ? ? f

? f ? x ? 在 0, a ? 1 上仅有一个零点。
x x (2) f ? ? x ? ? e ? x ? 1? ,设点 P ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x0 ? ? e 0 ? x0 ? 1? , 2 2

?

?

?

a ?1 ? 0 ,

?

? y ? f ? x ? 在点 P 处的切线与 x 轴平行,? f ? ? x0 ? ? e x0 ? x0 ? 1? ? 0 ,? x0 ? ?1 ,
2

2 2 ? ? ? P ? ?1, ? a ? ,? kOP ? a ? , e e ? ? ? 点 M 处切线与直线 OP 平行,
? 点 M 处切线的斜率 k ? f ? ? m ? ? e m ? m ? 1? ? a ?
2

2 , e

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又题目需证明 m ?

3
3

a?

2 2 3 ? 1 ,即 ? m ? 1? ? a ? , e e
m 2

? m ? 1? ,即 m ? 1 ? em 。 m m 令 g ? m ? ? e ? ? m ? 1? ,则 g ? ? m ? ? e ? 1 , 易知,当 m ? ? ??, 0 ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递减, 当 m ? ? 0, ?? ? 时, g ? ? m ? ? 0 ,单调递增, ? g ? m ?min ? g ? 0 ? ? 0 ,即 g ? m ? ? e m ? ? m ? 1? ? 0 ,
? m ? 1 ? em ,

则只需证明 ? m ? 1? ? e

?m ? 3 a ?

2 ? 1 ,得证。 e
;单调递减区间为 , ,函数 .(2) (3) ,所以函数化为 ,分 和 , 两种情

21.【答案】(1)单调递增区间为 【解析】试题分析:把

代入由于对数的真数为正数,函数定义域为

求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间;代入 况解不等式;当 试题解析: 时, ,求导

不存在极值点,只需

恒成立,根据这个要求得出 的范围.

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(2) 当 记 当 所以 当

时, 时,原不等式可化为

. . ,则 ,

时, 在

, 单调递增,又 . ,故不等式解为 ,显然不成立, ;

时,原不等式可化为

综上,原不等式的解集为

22.【答案】

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【解析】解:(1)由 A=[0,3], 由 B={y|y=2x,1≤x≤2}=[2,4],

,解得 0≤x≤3

(2))?UA=(﹣∞,0)∪[3,+∞), ∴(?UA)∩B=(3,4]   23.【答案】 【解析】解 : (Ⅰ)∵对于任意的 n∈N*,记集合 En={1,2,3,…,n},Pn= ∴集合 P3,P5 中的元素个数分别为 9,23, ∵集合 A 满足下列条件:①A?Pn;②?x1,x2∈A,且 x1≠x2,不存在 k∈N*,使 x1+x2=k2,则称 A 具有性 质 Ω, ∴P3 不具有性质 Ω.….. 证明:(Ⅱ)假设存在 A,B 具有性质 Ω,且 A∩B=?,使 E15=A∪B.其中 E15={1,2,3,…,15}. 因为 1∈E15,所以 1∈A∪B, 不妨设 1∈A.因为 1+3=22,所以 3?A,3∈B. 同理 6∈A,10∈B,15∈A.因为 1+15=42,这与 A 具有性质 Ω 矛盾. 所以假设不成立,即不存在 A,B 具有性质 Ω,且 A∩B=?,使 E15=A∪B.….. 解:(Ⅲ)因为当 n≥15 时,E15?Pn,由(Ⅱ)知,不存在 A,B 具有性质 Ω,且 A∩B=?,使 Pn=A∪B. 若 n=14,当 b=1 时, , .

取 A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14}, 则 A1,B1 具有性质 Ω,且 A1∩B1=?,使 E14=A1∪B1. 当 b=4 时, 集合 令 中除整数外, 其余的数组成集合为 , , . ,

则 A2,B2 具有性质 Ω,且 A2∩B2=?,使 当 b=9 时,集 中除整数外,其余的数组成集合 , 令 则 A3,B3 具有性质 Ω,且 A3∩B3=?,使 . ,



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集合 它与 P14 中的任何其他数之和都不是整数,

中的数均为无理数,

因此,令 A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则 A∩B=?,且 P14=A∪B. 综上,所求 n 的最大值为 14.….. 【点评】本题考查集合性质的应用,考查实数值最大值的求法,综合性强,难度大,对数学思维要求高,解题 时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.   24.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【 解 析 】

1111] 试题解析:解:(1)∵ PA 是切线, AB 是弦,∴ ?BAP ? ?C , ?APD ? ?CPE , ∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE , ∵ ?ADE ? ?BAP ? ?APD, ?AED ? ?C ? ?CPE ∴ ?ADE ? ?AED ,即 ?ADE 是等腰三角形 又点 H 是线段 ED 的中点,∴ AH 是线段 ED 垂直平分线,即 AH ? ED 又由 ?APE ? ?CPE 可知 PH 是线段 AF 的垂直平分线,∴ AF 与 ED 互相垂直且平分, ∴四边形 AEFD 是正方形,则 A、E、F、D 四点共圆.
2

(5 分)

(2 由割线定理得 PA ? PB ? PC ,由(1)知 PH 是线段 AF 的垂直平分线, ∴ PA ? PF ,从而 PF ? PB ? PC
2

(10 分)

考点:与圆有关的比例线段.

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