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乾安县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

乾安县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图可能是下列哪个函数的图象( )

姓名__________

分数__________

A.y=2x﹣x2﹣1

B.y= D.y= ) B. S1 ? S2 ? S3
2

C.y=(x2﹣2x)ex 为 S1 、 S2 、 S3 ,则( A. S1 ? S2 ? S3 A.0.1

2. 棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应截面面积 C. S2 ? S1 ? S3 C.0.3 D.0.4 )的值为( ) D. S2 ? S1 ? S3 )

3. 如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于( B.0.2

4. 函数 f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(

A.

B.0

C.
x

D.

5. 设函数 f ? x ? ? e 取值范围是( A.? ?

? 2x ?1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数,使得 f ?t ? ? 0 ,则的
B.? ? D.?



? 3 3? ? 3 3? C.? , ? , ? ? 2e 4 ? ? 2e 4 ? x 6. 已知全集 U ? R , A ? {x | 2 ? 3 ? 9} , B ? { y | 0 ? y ? 2} ,则有( ) A. A ? B B. A B ? B C. A (?R B) ? ? D. A (?R B) ? R

? 3 ? ,1? ? 2e ?

?3 ? ,1? 1111] ? 2e ?

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7. 函数 y=sin2x+cos2x 的图象,可由函数 y=sin2x﹣cos2x 的图象( A.向左平移 C.向左平移 个单位得到B.向右平移 个单位得到 D.向左右平移 个单位得到 个单位得到



8. 已知向量 =(1, A.1 为( ) B.

), =( C.

,x)共线,则实数 x 的值为( tan35° D.tan35°



9. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,则△ABC 的形状 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 10.α 是第四象限角, A. B. B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ,则 sinα=( C. ) D. ,则下列结论

11.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 中错误的是( )

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 12.若向量 =(3,m), =(2,﹣1), ∥ ,则实数 m 的值为( A.﹣ B. C.2 D.6 )

二、填空题
13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 不是直角三角形,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号) ①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC

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②tanA+tanB+tanC 的最小值为 3 ③tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数 ④若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 A=45° ⑤当 tanB﹣1=
2 时,则 sin C≥sinA?sinB.

14.若函数 f(x)=

﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是



8 15. ( x ? ) 的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)

1 x

【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项,基础题. 16.已知 f ( x ) 是定义在 R 上函数, f ?( x ) 是 f ( x ) 的导数,给出结论如下: ①若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e? x 的解集为 (0, ??) ; ②若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ; ③若 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,则 f (2n?1 ) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf ( x) 有极小值 0 ; x ex ⑤若 xf ?( x) ? f ( x) ? ,且 f (1) ? e ,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上递增. x
④若 f ?( x) ? 其中所有正确结论的序号是 . . 17.在(1+x)(x2+ )6 的展开式中,x3 的系数是

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥, 圆锥的体积 V 圆锥=
2

π( )2dx=

x3| =



据此类推:将曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V= .

三、解答题
19.如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF, ,EF=2,BE=3,CF=4.

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(Ⅰ)求证:EF⊥平面 DCE; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

20.已知函数 f(x)=x﹣1+

(a∈R,e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)当 a=1 的值时,若直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值.

21.已知向量 , 满足| |=1,| |=2, 与 的夹角为 120°. (1)求 及| + |; (2)设向量 + 与 ﹣ 的夹角为 θ,求 cosθ 的值.

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22.已知函数 y=f(x)的图象与 g(x)=logax(a>0,且 a≠1)的图象关于 x 轴对称,且 g(x)的图象过(4, 2)点. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x﹣1)>f(5﹣x),求 x 的取值范围.

23.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x . (1)若 f ( x ) 在 [3,5] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (2)记 g ( x) ? f ( x) ? (2 ? a) ln x ? 2(b ? 1) x ,并设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值.

7 , 2

24.【无锡市 2018 届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出一个三角 形 (如图) 区域, 在三角形 ABC 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米, 设角 C ? ? , AC 边长为 BC 边长的 a ? a ? 1? 倍,三角形 ABC 的面积为 S(千米 2). 试用 ? 和 a 表示 S ; (2)若恰好当 ? ? 60 时,S 取得最大值,求 a 的值.

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乾安县二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 C
x 2 x 2 【解析】解:A 中,∵y=2 ﹣x ﹣1,当 x 趋向于﹣∞时,函数 y=2 的值趋向于 0,y=x +1 的值趋向+∞, x 2 ∴函数 y=2 ﹣x ﹣1 的值小于 0,∴A 中的函数不满足条件;

B 中,∵y=sinx 是周期函数,∴函数 y= ∴B 中的函数不满足条件;

的图象是以 x 轴为中心的波浪线,

C 中,∵函数 y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,当 x<0 或 x>2 时,y>0,当 0<x<2 时,y<0; 且 y=e >0 恒成立,
2 x ∴y=(x ﹣2x)e 的图象在 x 趋向于﹣∞时,y>0,0<x<2 时,y<0,在 x 趋向于+∞时,y 趋向于+∞; x

∴C 中的函数满足条件; D 中,y= ∴y= 的定义域是(0,1)∪(1,+∞),且在 x∈(0,1)时,lnx<0,

<0,∴D 中函数不满足条件.

故选:C. 【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题,解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征, 是综合性题目. 2. 【答案】A 【解析】

考 点:棱锥的结构特征. 3. 【答案】A 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4, ∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .
2

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【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位. 4. 【答案】C 【解析】解:由图象可得 A= 再由五点法作图可得 2×(﹣ 故 f(x)= 故 f( )= sin(2x﹣ sin( ), ﹣ )= sin = , , = ﹣(﹣ ),解得 T=π,ω= , =2.

)+θ=﹣π,解得:θ=﹣

故选:C. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+θ)的部分图象求函数的解析式,属于中档题. 5. 【答案】D 【解析】

考 点:函数导数与不等式.1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用,涉及划归与转化的数学思想方法.首先令 f ? x ? ? 0 将函数变为两个函 数 g ? x? ? e 范围. 6. 【答案】A 【解析】解析:本题考查集合的关系与运算, A ? (log3 2, 2] , B ? (0, 2] ,∵ log3 2 ? 0 ,∴ A ? B ,选 A. 7. 【答案】C 【解析】解:y=sin2x+cos2x= sin(2x+ ),

? 2x ?1? , h ? x? ? ax ? a ,将题意中的“存在唯一整数,使得 g ?t ? 在直线 h ? x ? 的下方”,转化为 存在唯一的整数,使得 g ? t ? 在直线 h ? x ? ? ax ? a 的下方.利用导数可求得函数的极值,由此可求得 m 的取值
x

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y=sin2x﹣cos2x=

sin(2x﹣

)=

sin[2(x﹣

)+

)], sin(2x+ ),

∴由函数 y=sin2x﹣cos2x 的图象向左平移 故选:C.

个单位得到 y=

【点评】本题主要考查三角函数的图象关系,利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键. 8. 【答案】B 【解析】解:∵向量 =(1, ∴x= 故选:B. 【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 9. 【答案】D 【解析】解:∵sinC+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA, ∴2cosA(sinA﹣sinB)=0, ∴cosA=0,或 sinA=sinB, ∴A= ,或 a=b, = ), =( = ,x)共线, = ,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选:D. 【点评】本题考查三角形形状的判断,涉及三角函数公式的应用,本题易约掉 cosA 而导致漏解,属中档题和 易错题. 10.【答案】B 【解析】解:∵α 是第四象限角, ∴sinα= 故选 B. 【点评】已知某角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值,应用平方关系、倒数关系、商的关系,这是 三角函数计算题中较简单的,容易出错的一点是角的范围不确定时,要讨论. ,

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11.【答案】 D 【解析】解:∵在正方体中,AC⊥BD,∴AC⊥平面 B1D1DB,BE?平面 B1D1DB,∴AC⊥BE,故 A 正确; ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,EF?平面 A1B1C1D1,∴EF∥平面 ABCD,故 B 正确; ∵EF= ,∴△BEF 的面积为定值 ×EF×1= ,又 AC⊥平面 BDD1B1,∴AO 为棱锥 A﹣BEF 的高,∴三棱

锥 A﹣BEF 的体积为定值,故 C 正确; ∵利用图形设异面直线所成的角为 α,当 E 与 D1 重合时 sinα= ,α=30°;当 F 与 B1 重合时 tanα= 直线 AE、BF 所成的角不是定值,故 D 错误; 故选 D. ,∴异面

12.【答案】A 【解析】解:因为向量 =(3,m), =(2,﹣1), ∥ , 所以﹣3=2m, 解得 m=﹣ . 故选:A. 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,基本知识的考查.

二、填空题
13.【答案】 ①④⑤ 【解析】解:由题意知:A≠ ,B≠ ,C≠ ,且 A+B+C=π

∴tan(A+B)=tan(π ﹣C)=﹣tanC, 又∵tan(A+B)= ,

∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC,

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即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故①正确; 当 A= ,B=C= 时,tanA+tanB+tanC= <3 ,故②错误;

若 tanA,tanB,tanC 中存在两个数互为倒数,则对应的两个内角互余,则第三个内角为直角,这与已知矛盾, 故③错误;
3 由①,若 tanA:tanB:tanC=1:2:3,则 6tan A=6tanA,则 tanA=1,故 A=45°,故④正确;



tanB﹣1= ,

时,

tanA?tanB=tanA+tanB+tanC,即 tanC=

,C=60°,

2 此时 sin C=

sinA?sinB=sinA?sin =sinA? (120°﹣A) ( cos2A= sin(2A﹣30°) ≤ ,

cosA+

sinA) =

sinAcosA+

sin2A=

sin2A+



2 则 sin C≥sinA?sinB.故⑤正确;

故答案为:①④⑤ 【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了和角的正切公式,反证法,诱导公式等知识点,难度中档. 14.【答案】 ﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2,
2 即有 f′(x)=﹣2x +2x=﹣2(x﹣1)x, 2 ﹣m 的导数为 f′(x)=mx +2x,

﹣m 在 x=1 处取得极值,

可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题. 15.【答案】 70
8 r 8? r r r r 8? 2 r 【 解 析 】 ( x ? ) 的 展 开 式 通 项 为 Tr ?1 ? C8 x (? ) ? ( ?1) C8 x ,所以当 r ? 4 时,常数项为

1 x

1 x

(?1)4 C84 ? 70 .
16.【答案】②④⑤ 【解析】解析:构造函数 g ( x) ? e f ( x) , g ?( x) ? e [ f ( x) ? f ?( x)] ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,
x x

∴ f ( x) ? e

?x

? ex f ( x) ? 1 ? g ( x) ? g (0) ? x ? 0 ,∴①错误;

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f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,∴ g (2015) ? g (2014) , , g ?( x) ? x e ex ∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确; 构造函数 g ( x) ? x 2 f ( x) , g ?( x) ? 2xf ( x) ? x2 f ?( x) ? x[2 f ( x) ? xf ?( x)] ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,∴
构造函数 g ( x ) ?

g (2n?1 ) ? g (2n ) ,∴ f (2n?1 ) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;
f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? xf ( x) ?? ? 0 ,∴函数 xf ( x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递 ?0得 ? 0 ,即 x x x 减,∴函数 xf ( x) 的极小值为 0 ? f (0) ? 0 ,∴④正确;
由 f ?( x) ? 由 xf ?( x) ? f ( x) ?

ex e x ? xf ( x) 得 f ?( x) ? ,设 g ( x) ? e x ? xf ( x) ,则 2 x x x e ex g?( x) ? ex ? f ( x) ? xf ?( x) ? e x ? ? ( x ? 1) ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,∴当 x x x ? 0 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ,∴⑤正确.

17.【答案】 20 .
2 6 【解析】解:(1+x)(x + ) 的展开式中,

x3 的系数是由(x2+ )6 的展开式中 x3 与 1 的积加上 x2 与 x 的积组成;
2 6 又(x + ) 的展开式中,

通项公式为 Tr+1=

?x12﹣3r,

令 12﹣3r=3,解得 r=3,满足题意; 令 12﹣3r=2,解得 r=
3

,不合题意,舍去; =20.

所以展开式中 x 的系数是 故答案为:20. 18.【答案】 8π .

【解析】解:由题意旋转体的体积 V= 故答案为:8π.
2

=

=8π,

【点评】本题给出曲线 y=x 与直线 y=4 所围成的平面图形,求该图形绕 xy 轴转一周得到旋转体的体积.着重 考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识,属于基础题.

三、解答题

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19.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)在△BCE 中,BC⊥CF,BC=AD=
2 2 2

,BE=3,∴EC=



∵在△FCE 中,CF =EF +CE ,∴EF⊥CE 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB, ∴DC⊥EF,又 DC 与 EC 相交于 C,∴EF⊥平面 DCE 解:(Ⅱ) 方法一:过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连接 AH. 由平面 ABCD⊥平面 BEFC,平面 ABCD∩平面 BEFC=BC, AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC,从而 AH⊥EF. 所以∠AHB 为二面角 A﹣EF﹣C 的平面角. 在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4.EC= ∴∠CEF=90°,由 CE∥BH,得∠BHE=90°,又在 Rt△BHE 中,BE=3, ∴ 由二面角 A﹣EF﹣C 的平面角∠AHB=60°,在 Rt△AHB 中,解得 所以当 xyz. 设 AB=a(a>0),则 C(0,0,0),A( 从而 设平面 AEF 的法向量为 则 ,即 ,由 , , ,0,a),B( , 得, ,取 x=1, ,0,0),E( ,3,0),F(0,4,0). 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60° ,

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C﹣

不妨设平面 EFCB 的法向量为 由条件,得 解得 .所以当

时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

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【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,其中(I)的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直 与面面垂直的之间的相互转化,(II)的关键是建立空间坐标系,将二面角问题,转化为向量的夹角问题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由 f(x)=x﹣1+ ,得 f′(x)=1﹣ ,

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, ∴f′(1)=0,即 1﹣ (Ⅱ)f′(x)=1﹣ =0,解得 a=e. ,

①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(﹣∞,+∞)上的增函数,所以 f(x)无极值; ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,x=lna, x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0; ∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=lna 处取到极小值,且极小值为 f(lna)=lna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,f(x)无极值;当 a>0 时,f(x)在 x=lna 处取到极小值 lna,无极大值. (Ⅲ)当 a=1 时,f(x)=x﹣1+ ,令 g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ ,

则直线 l:y=kx﹣1 与曲线 y=f(x)没有公共点, 等价于方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解.

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假设 k>1,此时 g(0)=1>0,g(

)=﹣1+

<0,

又函数 g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知 g(x)=0 在 R 上至少有一解, 与“方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k≤1. 又 k=1 时,g(x)= 所以 k 的最大值为 1. 21.【答案】 >0,知方程 g(x)=0 在 R 上没有实数解,

【解析】解:(1) ∴ ∴ ; ; =

=

; ;

(2)同理可求得

; . 求 的方法,以及向量夹角



=

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式,根据 余弦的计算公式. 22.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵g(x)=logax(a>0,且 a≠1)的图象过点(4,2), ∴loga4=2,a=2,则 g(x)=log2x.… ∵函数 y=f(x)的图象与 g(X)的图象关于 x 轴对称, ∴ .…

(Ⅱ)∵f(x﹣1)>f(5﹣x), ∴ , ,解得 1<x<3,



所以 x 的取值范围为(1,3)…

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【点评】本题考查对数函数的性质的应用,注意真数大于零,属于基础题. 23.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题,利用导数研究函数的最值,但本题对函 数的构造能力及运算能力都有很高的要求, 判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点, 本题综合性 很强,难度大,但有梯次感.

(2)∵ g ( x) ? x 2 ? a ln x ? (2 ? a) ln x ? 2(b ?1) x ? x 2 ? 2 ln x ? 2(b ?1) x ,

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24.【答案】(1) S ?

1 asin? ? (2) a ? 2 ? 3 2 2 1 ? a ? 2acos?

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【解析】 解析: (1)设边 BC ? x ,则 AC ? ax , 在三角形 ABC 中,由余弦定理得:

试题

1 ? x2 ? ax2 ? 2ax2cos? , 1 2 所以 x ? , 2 1 ? a ? 2acos? 1 1 asin? 所以 S ? ax ? x ? sin? ? ? , 2 2 2 1 ? a ? 2acos?
(2)因为 S ? ?
2 1 acos? 1 ? a ? 2acos? ? 2asin? ? asin? , ? 2 2 2 1 ? a ? 2acos?

?

2 2 1 acos? 1 ? a ? 2a , ? ? 2 1 ? a 2 ? 2acos? 2

?

?

?

?

?

?

?

2a , 1 ? a2 2a 且当 ? ? ?0 时, cos? 0 ? , S? ? 0 , 1 ? a2 2a 当 ? ? ?0 时, cos? 0 ? , S? ? 0 , 1 ? a2
令 S ? ? 0 ,得 cos? 0 ? 所以当 ? ? ?0 时,面积 S 最大,此时 ?0 ? 600 ,所以 解得 a ? 2 ? 3 , 因为 a ? 1 ,则 a ? 2 ? 3 . 点睛:解三角形的实际应用,首先转化为几何思想,将图形对应到三角形,找到已知条件,本题中对应知道一 个角,一条边,及其余两边的比例关系,利用余弦定理得到函数方程;面积最值的处理过程中,若函数比较复 杂,则借助导数去求解最值。

2a 1 ? , 2 1? a 2

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