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2016_2017学年高中数学第3章不等式3.2.2一元二次不等式的应用学案

第 2 课时

一元二次不等式的应用

1.掌握含字母参数的一元二次不等式的解法.(重点) 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题.(难点) 3.会以一元二次不等式为数学模型,求解相应的实际问题.(重点)

[小组合作型] 含参数的一元二次不等式 的解法 (1)解关于 x 的不等式:x +(1-a)x-a<0. (2)解关于 x 的不等式:ax -(a-1)x-1<0(a∈R). 【精彩点拨】 (1) 解相应方程的根― →比较讨论两根大小― →得解集
2 2

【自主解答】 (1)方程 x +(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x +(1-

2

2

a)x-a 的图象开口向上,则当 a<-1 时,原不等式解集为{x|a<x<-1};当 a=-1 时,原
不等式解集为?;当 a>-1 时,原不等式解集为{x|-1<x<a}. (2)原不等式可化为: (ax+1)(x-1)<0, 当 a=0 时,x<1;

? 1? 当 a>0 时,?x+ ?(x-1)<0, ?
a?
1 ∴- <x<1;

a

当 a=-1 时,x≠1; 1 ? 1? 当-1<a<0 时,- >1,?x+ ?(x-1)>0,

a

?

a?

1

1 ∴x>- 或 x<1;

a

1 当 a<-1 时,- <1,

a

1 ∴x>1 或 x<- .

a

综上,原不等式的解集是: 当 a=0 时,{x|x<1};
? ? 1 当 a>0 时,?x|- <x<1?; ?

a

?

当 a=-1 时,{x|x≠1}; 当-1<a<0 时,
? 1? ?x|x<1或x>- ?; a? ? ? ? 1 当 a<-1 时,?x|x<- 或x>1?. ?

a

?

含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式 Δ 进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.

[再练一题] 1.解关于 x 的不等式 2x +ax+2>0(a∈R). 【解】 Δ =a -16,下面分情况讨论: (1)当 Δ <0,即-4<a<4 时,方程 2x +ax+2=0 无实根,所以原不等式的解集为 R. (2)当 Δ ≥0,即 a≥4 或 a≤-4 时,方程 2x +ax+2=0 的两个根为
2 2 2 2

x1= (-a- a2-16), x2= (-a+ a2-16).
当 a=-4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1};
? ? 2 ? 1 当 a>4 或 a<-4 时,原不等式的解集为?x?x< ?-a- a -16? 4 ? ? ?

1 4 1 4



2

? 1 2 或x> ?-a+ a -16??; 4 ?

当 a=4 时 ,原不等式的解集为 {x|x∈R,且 x≠-1}. 一元二次不等式的实际应用 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆, 年销售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应地提高比例为 0.75x, 同时预计年销 售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内? 【精彩点拨】 (1)利用“年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量”. (2)解“y>(12-10)×10 000”即可. 【自主解答】 0.6x)(0<x<1), 整理得 y=-6 000x +2 000x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有
?y-?12-10?×10 000>0, ? ? ? ?0<x<1, ? ?-6 000x +2 000x>0, 即? ?0<x<1, ?
2 2

(1) 由 题 意 得 y = [12(1 + 0.75x) - 10(1 + x)]×10 000×(1 +

1 解得 0<x< , 3

? 1? 所以投入成本增加的比例应在?0, ?范围内. ? 3?

解不等式应用题的一般步骤: (1)认真审题,抓住问题中的关键词,找准不等关系; (2)引入数学符号,用不等式表示不等关系,使其数学化; (3)求解不等式; (4)还原实际问题.

[再练一题]
3

2.某校园内有一块长为 800 m,宽为 600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化, 规划四周种花卉(花卉带的宽度相同), 中间种草坪, 若要求草坪的面积不小于总面积的一半, 求花卉带宽度的范围. 【解】 设花卉带的宽度为 x m,则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根 1 2 据题意可得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600,整理得 x -700x+600×100≥0,即(x- 2 600)(x-100)≥0,所以 0<x≤100 或 x≥600,x≥600 不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m. [探究共研型] 不等式的恒成立问题 探究 1 一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集是 R 的等价条件是什么? 【提示】 ?
?a>0, ? ?Δ =b -4ac<0. ?
2 2

探究 2 不等式 f(x)≤a 恒成立,x∈[m,n]的等价条件是什么? 【提示】 f(x)≤a,x∈[m,n]恒成立?f(x)的最大值≤a,x∈[m,n]. 设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【精彩点拨】 (1)分 m=0 和 m≠0 两类,结合函数图象求解. (2)利用函数最值或分离变量 m,求范围. 【自主解答】 (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0.
?m<0, ? 若 m≠0,? 2 ?Δ =m +4m<0 ?
2 2

? -4<m<0.

∴-4<m≤0. (2)法一 要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立.

? 1?2 3 就要使 m?x- ? + m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. ? 2? 4 ? 1?2 3 令 g(x)=m?x- ? + m-6,x∈[1,3]. ? 2? 4
当 m>0 时,g(x)是增函数, ∴g(x)的最大值为 g(3)=7m-6<0, 6 ∴0<m< ; 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立;
4

当 m<0 时,g(x)是减函数, ∴g(x)的最大值为 g(1)=m-6<0,得 m<6, ∴m<0. 6 综上所述,m< . 7 法二 当 x∈[1,3]时,f(x)<-m+5 恒成立, 即当 x∈[1,3]时,m(x -x+1)-6<0 恒成立.
2

? 1?2 3 2 ∵x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4
又 m(x -x+1)-6<0, ∴m< = 6 x -x+1
2 2

6 . ?x-1?2+3 ? 2? 4 ? ?

又 x∈[1,3],

? 1?2 3 ? 1?2 3 ∴?x- ? + ≥?3- ? + =7, ? 2? 4 ? 2? 4
6 ∴m< . 7

有关不等式恒成立求参数的取值范围问题,通常处理方法有两种: (1)考虑能否分离参数,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值, 从而建立参数的不等式; (2)若参数不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数),并结合图象建立 参数的不等式求解.

[再练一题] 3.若(m+1)x -(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解】 由题意可知当 m+1=0, 即 m=-1 时, 原不等式可化为 2x-6<0, 不符合题意, 应舍去; 当 m+1≠0 时,由(m+1)x -(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,
?m+1<0, ? 则有? 2 ?Δ =?m-1? -12?m+1??m-1?<0, ?
2 2

5

13 解得 m<- . 11 13? ? 综上所述,实数 m 的取值范围是?-∞,- ?. 11 ? ? [构建·体系]

1.若 a<0,则关于 x 的不等式(x-5a)(x+a)>0 的解集为________. 【导学号:91730057】 【解析】 ∵a<0,∴-a>5a, ∴(x-5a)(x+a)>0 的解集为 {x|x>-a 或 x<5a}. 【答案】 {x|x>-a 或 x<5a} 2. 关于 x 的不等式 x(x+m)-2<0 的解集为(-1, n), 则实数 m, n 的值分别为__________. 【解析】 不等式 x(x+m)-2<0,即 x +mx-2<0,
?-1+n=-m, ? 由题意得? ? ?-1×n=-2,
2

解得 m=-1,n=2.

【答案】 -1,2 3 2 3.如果关于 x 的不等式 2kx +kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围是 8 ________. 3 【解析】 当 k=0 时,- <0 显然成立. 8

k<0, ? ? 当 k≠0 时,由题意得? ? 3? 2 Δ =k -4×2k?- ?<0, ? ? 8? ?

6

∴?

?k<0, ? ?k +3k<0, ?
2

即-3<k<0.

综上可知-3<k≤0. 【答案】 (-3,0] 4.已知不等式 ax +2x-4>0 的解集为空集,则 a 的取值范围是__________.
? ?a<0, 【解析】 由题意知,? ?Δ =4+16a≤0 ?
2

1 对 x∈R 恒成立,解得 a≤- . 4

1? ? 【答案】 ?-∞,- ? 4? ? 5.已知 a>0,解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0.

? 2? 【解】 当 a>0 时,原不等式化为(x-2)·?x- ?>0. ?
a?
? ? ? 2 2 (1)当 0<a<1 时,两根的大小顺序为 2< ,原不等式的解集为?x?x> 或x<2

a

? ?

? a

? ? ?; ? ?

2 (2)当 a=1 时 ,2= ,原不等式的解集为{x|x≠2};

a

? ? 2 ? 2 (3)当 a>1 时,两根的大小顺序为 2> ,原不等式的解集为?x?x< 或x>2

a

? ?

? a

? ? ?. ? ?

综上所述, 当 0<a<1 时,原不等式的解集为
? ? ? 2 ?x?x> 或x<2 ? ? ? a ? ? ?; ? ?

当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠2};
? ? ? 2 当 a>1 时,原不等式的解集为?x?x< 或x>2 ? ?

? a

? ? ?. ? ?

我还有这些不足: (1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________

学业分层测评(十六) (建议用时:45 分钟)
7

[学业达标] 一、填空题 1.若实数 a,b 满足 a+b<0,则不等式

x+a <0 的解集为________. b-x

【解析】 原不等式等价于(x+a)(b-x)<0?(x-b)(x+a)>0. 又 a+b<0,∴b<-a. ∴原不等式的解集为{x|x>-a 或 x<b}. 【答案】 {x|x>-a 或 x<b} 2.若关于 x 的不等式 2x -8x-4-a>0 在 1<x<4 内有解,则实数 a 的取值范围是 ________. 【解析】 令 f(x)=2x -8x-4-a=2(x-2) -12-a 数形结合知只需 f(4)>0 即可, 即 2×4 -8×4-4-a>0,解得 a<-4. 【答案】 (-∞,-4) 3.若关于 x 的不等式 x -4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 【解析】 令 f(x)=x -4x=(x-2) -4, 则 x∈(0,1]时,
2 2 2 2 2 2 2

f(x)min=f(1)=12-4×1=-3,
∴m≤-3. 【答案】 (-∞,-3] 4.若 f(x)= kx -6kx+8的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是________. 【导学号:91730058】 【解析】 由题意知,kx -6kx+8≥0 对任意实数 x 恒成立. 当 k=0 时,8≥0 显然成立, 当 k≠0 时,需满足:
? ?k>0, ? 2 ?Δ =?-6k? -4×k×8≤0, ?
2 2

8 8 解得 0<k≤ ,综上,0≤k≤ . 9 9

? 8? 【答案】 ?0, ? 9 ? ?
2 2

5. 不等式 x -2x+3≤a -2a-1 在 R 上的解集为?, 则实数 a 的取值范围是__________. 【解析】 ∵x -2x-(a -2a-4)≤0 的解集为?, ∴Δ =4+4(a -2a-4)<0, ∴a -2a-3<0,
8
2 2 2

2

∴-1<a<3. 【答案】 (-1,3) 6 .若产品的总成本 y( 万元 ) 与产量 x( 台 ) 之间的函数关系式是 y = 3 000 + 20x - 0.1x (0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本) 时的最低产量为________台. 【解析】 y-25x=-0.1x -5x+3 000≤0,∴x +50x-30 000≥0,解得 x≥150 或
2 2 2

x≤-200(舍去).
【答案】 150 7.已知 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0(k≠0)的解,则 k 的取值范围是________. 【解析】 因为 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0(k≠0)的解,所以 k -6k+8≥0,解得
2 2 2 2 2

k≥4 或 k≤2 且 k≠0.
【答案】 k≥4 或 k≤2 且 k≠0 8.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 成立, 则 a 的取值范围是__________. 【导学号:91730059】 【解析】 由题意可知,(x-a)?(x+a)=(x-a)·(1-x-a), ∴原不等式可化为(x-a)(1-x-a)<1. 即 x -x-a +a+1>0 对任意实数 x 都成立, 所以只需 Δ =(-1) -4(-a +a+1)<0. 1 3 解得- <a< . 2 2
2 2 2 2

? 1 3? 【答案】 ?- , ? ? 2 2?
二、解答题 9.已知关于 x 的不等式(a -4)x +(a+2)x-1≥0 的解集是空集,求实数 a 的取值范 围. 【解】 ①a=-2 时,原不等式?-1≥0 无解.
?a -4<0, ? ②当? 2 2 ?Δ =?a+2? -4?a -4?×?-1?<0 ?
2 2 2

6 ?-2<a< . 5 6 由①②知-2≤a< . 5 10.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b 的值;
9
2

(2)解不等式

x-c >0(c 为常数). ax-b
2

【解】 (1)由题知 a>0,且 1,b 为方程 ax -3x+2=0 的两根, 2 ? ?b=a, 即? 3 1+b= , ? ? a

∴a=1,b=2,

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0, 当 c>2 时 ,其解集为{x|x>c 或 x<2}, 当 c<2 时,其解集为{x|x>2 或 x<c}, 当 c=2 时,其解集为{x|x≠2}. [能力提升]
? ?x-1≥a , 1.关于 x 的不等式组? ?x-4<2a ?
2

有解,则实数 a 的取值范围是________.

【解析】
2

?x≥a +1, ? 由已知得? ?x<2a+4, ?

2

若不等式组有解,

∴2a+4>a +1, 即 a -2a-3<0, ∴-1<a<3. 【答案】 (-1,3) 2.对任意 a∈[-2,3],不等式 x +(a-6)x+9-3a>0 恒成立,则 x 的取值范围为 ________. 【解析】 设 f(a)=x +(a-6)x+9-3a =(x-3)a+x -6x+9, 由已知条件得
? ?f?-2?=-2x+6+x -6x+9>0, ? 2 ?f?3?=3x-9+x -6x+9>0, ?
2 2 2 2 2

即?

?x -8x+15>0, ? ? ?x -3x>0, ? ?x<3或x>5, ?x<0或x>3, ?
2

2

∴?

∴x<0 或 x>5. 【答案】 (-∞,0)∪(5,+∞)

10

3.若 a+1>0,则不等式 x≥ 【解析】 ∵x≥ ∴1≥- ∴

x2-2x-a 的解集为________. x-1

x2-2x-a ?x-1?2-?a+1? a+1 = =x-1- , x-1 x-1 x-1

a+1 , x-1

x+a ≥0,∴(x+a)(x-1)≥0. x-1

又 a+1>0,∴1>-a, ∴原不等式的解集为{x|x≥1 或 x≤-a}. 【答案】 {x|x≥1 或 x≤-a} 4.甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10),每一小时 3? ? 可获得的利润是 100?5x+1- ?元.

?

x?

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此 最大利润. 3? 3 ? 【解】 (1)根据题意,得 200?5x+1- ?≥3 000,即 5x-14- ≥0,又 1≤x≤10,

?

x?

x

所以 5x -14x-3≥0,解得 3≤x≤10. 3? 900 ?1 1?2 61? ? 4? (2)设利润为 y 元, 则 y= ·100?5x+1- ?=9×10 ?-3? - ? + ?.故当 x=6 时, x? x ? ? ?x 6? 12?

2

ymax=457 500, 即甲厂以 6 千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大, 最大利润为 457 500
元.

11


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