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对数运算性质_图文

1.关系:
指数式

底数对底数
指数对以a为底N的对数

ab=N

b = log a N
幂值对真数

对数式

2.特殊对数:1)常用对数 — 以10为底的对数;lg N 2)自然对数— 以 e 为底的对数;ln N 3.对数指数恒等式: loga N a

? N?a ? 0且a ? 1,N ? 0?

4.重要结论:1)log a a = 1;2)log a 1 = 0

对数的运算性质
主讲人:叶蕾 2012.10.18

求下列各式的值:
(1)、

log 2 8, log 2 32, log 2 (8 ? 32);
100 lg 100 , lg 1000 , lg ; 1000

(2)、

(3)、

log3 9 ,2 ? log3 9
2

猜想 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log aM ? log a N (1) M log a ? log aM ? log a N (2) N n log aM ? nlog aM(n ? R) (3)

证明:①设log a M ? p, log a N ? q,

由对数的定义可以得:M ? a ,
p

N ?a

q

∴MN= a ? a
p

q

?a

p?q

? log a MN ? p ? q

即证得

log a (MN) ? log a M ? log a N

(1)

积的对数等于对数的和

证明:②设 log a M ? p, log a N ? q,

M 由对数的定义可以得: ? a , N ? a
p

q



M ? N

ap aq

?a

p ?q

M ? log a ? p ?q N

即证得

M log a ? log a M ? log a N (2) N

商的对数等于对数的差

证明:③设 log a M ? p, 由对数的定义可以得: ? a , M
p

? M ?a
n

np

? log a M n ? np

即证得
log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)

幂的对数等于幂指数乘以幂底数的对数

分析:
1、逆向运用公式
log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1

2、真数的取值范围必须是
log10 (?10) 与2 log10 (?10)可相等?
2

(0,??)

log 2 (?3)(?5)与log 2 (?3) ? log 2 (?5)可相等?

3、对公式容易错误记忆,要特别注意: log a (MN ) ? log a M ? log a N ,

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N

探索:把左右两列中一定相等的用线连起来
log a ( MN )
M log a N

log a M ? log a N
log a M ? log a N

log a M

n

log a M log a N
n ? log a M

log(M ? N )
log(M ? N )

log a M ? log a N

(log a M ) n

讲解范例
例一:判断下列式子是否正确: (其中a ? 0且a ? 1, x ? y ? 0)

( ) a x ? log a y ? log a ( x ? y ) 1 log ( 2) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ) x ? log a x ? log a y y ( 4) log a xy ? log a x ? log a y (3) log a (5) log a 1 ? ? log a x x

(6) log a x

?

?

n

? n log a x

讲解范例 例1 用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式:
x2 y xy (1)log a ; (2) log a 3 z z 解(1) xy ? log ( xy) ? log z log a a a z ? log a x ? log a y ? log a z

log 解(2) a

x2 y
3

z

? log a ( x 2 y ) ? log a z
1 2

1 2

1 3

? log a x 2 ? loga y ? log a z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

例二 求下列各式的值
(1)
log 2 (4 7 ? 25 );

(2) lg 5 100

补充: log

n a

1 M ? log a M n

讲解范例

7 (1) lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 例3计算: 3

解法一:

解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg 14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg 18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 ? lg 7 ? lg(2 ? 32 ) 14 ? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg 1 ? 0 ?0

讲解范例
lg 243 例3计算: ( 2) lg 9
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 ( 3) lg 1.2

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解: ( 2) ? ? ? 2 2 lg 3 lg 9 lg 3 2
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) ( 3) ? 3 ? 22 lg 1.2 lg 10 3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1
1 3 2 1 2

(4)

lg 4 ? lg 5 ? lg 20 ? ?lg 5?

2

1、指数式与对数式:

底数对底数

指数对以a为底N的对数

指数式

ab=N

b = log a N
幂值对真数

对数式

2、对数指数恒等式:

a

loga N

?N

3、对数运算性质: a > 0 且 a ≠ 1,M > 0,N > 0 (1)log a ( MN ) = log a M + log a N (2)log a M = log a M - log a N
N

(3)log a N n = nlog a N

( n ∈R )

作业
? 教材P68页练习1、2、4


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