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2016-2017学年人教A版必修五 3.1 不等关系与不等式 课件 (20张)


著名的“木桶理论”:一个木桶装水 量的多少,取决于长度最短的那一块 木板。

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不等关系与不等式
内容要点: “世界上没有相同的两片树叶”, 不等关系是 普遍存在的.怎样研究不等关系呢?

比较两数大小的方法是什么?
2

问题 1: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0), 若再加 m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?

b 分析:起初糖水的浓度为 ,加入 m 克糖后的糖 a b?m b?m b ? 即可,怎么 水浓度为 ,只要证明 a?m a?m a 证呢?

这个数学问题怎么解决?

这是一个不等式的证明问题
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问题 2: 某杂志以每本 2 元的价格发行时,发行量为 10 万 册.经过调查,若价格每提高 0.2 元,发行量就减少 5000 册.要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元,每本杂志的价 格应定在怎样的范围内?

这个数学问题又怎么解决?
分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 x?2 ? ? ? 0.5 ? x 万元。那么不等关系“销售的 ?10 ? 0.2 ? ? 总收入 大于 22.4 万元”可以表示为不等式 x?2 ? ? ? 0.5 ? x >22.4 ?10 ? 0.2 ? ?

这是一个解不等式的问题

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问题 3: 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。应怎样截更好?

分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根, 截得 600mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: ?解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; ?截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; ?解得两钟钢管的数量都不能为负。
?500 x ? 600 y ≤ 4000 ? 由以上不等关系,可得不等式组: ?3x ≥ y ? ?x ≥ 0 ? ?y≥0

这是一个二元一次不等式组的问题
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不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥、≤、≠. (2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R.

不等式是否与等式有类似的性质呢?
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不等式的基本性质: ①对称性:a>b?b<a;

②传递性:a>b,b>c ?a>c;
③可加性:a>b?a+c>b+c; ④加法法则:a>b,c>d ? a+c>b+d;

⑤可乘性:a>b,c>0 ? ac>bc; a>b,c<0 ? ac<bc;
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⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0 ? ac>bd;
⑦倒数法则:a>b,ab>0 ? ?
1 a 1 b;

⑧乘方法则:a>b>0 ?an>bn;

⑨开方法则:a>b>0 ? a ? b; ⑩绝对值不等式的性质: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
n n
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对于任意两个实数 a、b,在 a>b,a = b,a<b 三种关系中有且仅有一种成立.
判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
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例 1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.

10

答案

例 1 比较(a+3)( a-5)与(a+2)( a-4)的大小. 作差 解: ∵ (a ? 3)( a ?5) ? ( a? 2)( a ? 4)
? (a 2 ? 2a ? 15) ? (a 2 ? 2a ? 8) ? ?7 ( a? 2)( a ? 4) ∴ (a ? 3)( a ?5) ?
2)( a ? 4) ∴ (a ? 3)( a ?5) ?( a ?

变形

<0 定符号
确定大小

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例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

12

答案

例 2 已知 x≠0,比较 ( x ? 1) 与 x ? x ? 1的大小.
2 2
4 2

解:

∵ ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)
? x4 ? 2 x 2 ? 1 ? ( x 4 ? x 2 ? 1) ? x2
∴当 x ? 0 时, ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1) ? 0
∴当 x ? 0 时, ( x2 ? 1)2 ? ( x4 ? x2 ? 1)

作差

变形

定符号
确定大小

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b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a

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答案

b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3 已知 a 、 a?m a
b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0
b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

作差

变形

定符号
确定大小
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课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
? ( 3 ? 2) 2 _____ < 6 ? 2 6;
2 ? ( 3 ? 2) 2 ____( 6 ? 1) ; <

1 1 < ? ______ ; 5?2 6? 5

> log 1 b. ?若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2
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c?a b?c ? 例 4、已知 a ? b ? 0 , c ? 0 , 求证: a b

解:法一:作差比较法

作差

c ? a b ? c cb ? ab ? (ab ? ac ) c (b ? a ) ? ? ? ∵ 变形 a b ab ab

∵ a ? b ? 0,? a ? b ? 0, ab ? 0 ∵ c ? 0 c (b ? a ) ?0 ∴ ab
c?a b?c ? ∴ a b
另一种方法

定符号
确定大小
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c?a b?c ? 例 4、已知 a ? b ? 0 , c ? 0 , 求证: a b

解:法二:巧用不等式的性质(综合法)
∵ a ? b ? 0 , c ? 0 ,∴ ab ? 0

从已知出发
运用不等式 的性质变形

1 1 1 1 a ? ? b ? ∴ 即 ? ab ab b a

c c ∴ ? (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ? ∴ ?1 ? ?1 继续变形 a b a b c?a b?c ? ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
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课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ? a ? b, c ? d ? a ? c _______ b?d ; ? a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ < bd ; 3 > ? a ? b ? 0 ? 3 a ______ b; 1 1 ? a ? b ? 0 ? 2 ____ < 2. a b

19

例 5、非负实数 x1、 x2,且 x1+x2≤ 1, 求证: 1 ? x1 ? 1 ? x2 ≥ 1 ? x1 ? x2 ? 1

20

答案


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