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圆锥曲线---教师版

椭圆、双曲线、抛物线 专题复习

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第一部分

专题五

第 2 课时

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(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) A 级 x2 y2 1.(2012· 东北四校模拟)已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 2-k 2k-1 的取值范围是( 1 A.?2,2? ? ? C.(1,2) 解析: 由题意可得,2k-1>2-k>0,
? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2,故选 C. ?2-k>0, ?

) B.(1,+∞) 1 D.?2,1? ? ?

答案: C x2 y2 2.(2012· 山东日照一模)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,一个焦点与抛 a b 物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( 3 A.y=± x 2 3 C.y=± x 3 )

3 B.y=± x 2 D.y=± 3x

解析: 由题意可得,抛物线的焦点坐标为(4,0),即 c=4. c 又∵e= =2,得 a=2.∴b= c2-a2= 16-4=2 3. a b b ∴ = 3,则双曲线渐近线方程为 y=± x=± 3x. a a 答案: D 3.从抛物线 y2=8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线 的焦点为 F,则△PFM 的面积为( A.5 6 C.10 2 ) B.6 5 D.5 2

解析: 抛物线的焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2.设 P(m,n),则|PM|=m+2=5,解 1 1 得 m=3.代入抛物线方程得 n2=24,故|n|=2 6,则 S△PFM= |PM|· |n|= ×5×2 6=5 6. 2 2 答案: A 4.(2012· 四川卷)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2, y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( )
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A.2 2 C.4

B.2 3 D.2 5

P P 解析: 由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0), M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3, 则 2 2 ∴P=2,∴y2=4x.∴y2=4×2, 0
2 ∴y0=± 2,∴|OM|= 4+y0= 4+8=2 3. 2

答案: B x2 y2 5.(2012· 山东卷)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若拋物线 C2:x2 a b =2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则拋物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y )

x2 y2 解析: ∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, a b a2+b2 c ∴ = =2,∴b= 3a, a a p ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0,∴拋物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点?0,2?到双曲 ? ? p ? 3×0± ? 2? ? 2

线的渐近线的距离为 答案: D

=2,∴p=8.∴所求的拋物线方程为 x2=16y.

x2 y2 6.(2012· 哈尔滨一模)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点, a b 5 → → 双曲线的离心率是 ,且PF1· 2=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( PF 4 A.5 C.7 → → → → 解析: 由PF1· 2=0 得PF1⊥PF2, PF → → 设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设 m>n,
?a=4 ? 1 c 5 则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得? , 2 a 4 ? ?c=5

)

B.6 D.8

∴b=3,∴a+b=7,故选 C. 答案: C x2 y2 x2 y2 7.(2012· 天津卷)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相 a b 4 16 同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________.
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x2 y2 x2 y2 x2 y2 解析: 与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ, 即 - 4 16 4 16 4λ 16λ 1 =1.由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a2=1,b2=4.又 a>0,b>0,故 a=1,b 4 =2. 答案: 1 2 8.(2012· 陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱 顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________m. 解析: 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2 =-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py 得 p=1,

∴x2=-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0), 将其坐标代入 x2=-2y 得 x2=6, 0 ∴x0= 6. ∴水面宽|CD|=2 6 m. 答案: 2 6 x2 y2 9.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为右支上一动点,点 Q(1,4), 4 12 则|PQ|+|PF1|的最小值为________. 解析: |PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2a≥|F2Q|+2a. 又 F2(4,0),Q(1,4),所以|F2Q|=5,所以|PQ|+|PF1|≥|F2Q|+2a=5+4=9,当且仅当 F2, P,Q 共线时取等号,所以|PQ|+|PF1|的最小值为 9. 答案: 9 x2 y2 10.(2012· 安徽卷)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直 a2 线 x= 于点 Q. c

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(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. b2 -0 a b2 ?-c,b ?, 解析: (1)方法一: 由条件知, ? P a ? 故直线 PF2 的斜率为 kPF2=-c-c=-2ac.
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2ac 2ac2 因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 , b b a2 故 Q? c ,2a?. ? ? a2 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 b2 a2 方法二:设直线 x= 与 x 轴交于点 M.由条件知 P?-c, a ?. ? ? c |PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽△F2MQ,所以 = , |F2M| |MQ| 2c = ,解得|MQ|=2a. a2 |MQ| -c c
2



b2 a

?a =4, ? ? ?a=2, 所以? c 解得? ?c=1. ? ?2a=4, ?
x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 a2 x- c y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 -2a -c- a c c 即 y= x+a. a x2 y2 将上式代入 2+ 2=1 得 x2+2cx+c2=0, a b b2 解得 x=-c,y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

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x2 y2 11.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直线 a b l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解析: (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,因为 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|= 4 a. 3 l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2.

?y=x+c, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组?x2 y2 ?a2+b2=1, ?
化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, -2a2c a2?c2-b2? 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . a +b2 a +b2 因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2?2-4x1x2]. 4 4ab2 故 a= 2 ,得 a2=2b2, 3 a +b2 a2-b2 c 2 所以 E 的离心率 e= = = . a a 2 (2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x0= x1+x2 -a2c 2 c = 2 2=- c,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b

由|PA|=|PB|,得 kPN=-1, 即 y0+1 =-1, x0

得 c=3,从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 B 级 x y x2 y2 1.(2012· 太原模考)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: 2+ 2=1(a2>b2> a1 b1 a2 b2 0)的焦点相同且 a1>a2,给出如下四个结论:
2 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;②a2-a2=b2-b2; 1 2 1 2 2

a1 b1 ③ > ;④a1-a2<b1-b2. a2 b2 其中,所有正确结论的序号是( A.②③④ ) B.①③④
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C.①②④

D.①②③

2 解析: 由已知条件可得 a2-b2=a2-b2,可得 a2-a2=b2-b2,而 a1>a2,可知两椭 1 1 2 1 2 1 2 2 2 圆无公共点,即①正确;又 a2-a2=b1-b2,即②正确;由 a2-b2=a2-b2,可得 a2+b2= 1 2 2 1 1 2 1 2

a1 b1 b2+a2,则 a1b2,a2b1 的大小关系不确定, > 不正确,即③不正确;∵a1>b1>0,a2> 1 2 a2 b2 b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得 a1-a2<b1- b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④,故应选 C. 答案: C 2.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在 x 轴上,左、右焦点分别为 F1、F2,且它们在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|= 10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是________. 解析: 设椭圆的长半轴长,半焦距分别为 a1,c,双曲线的半实轴长,半焦距分别为

?m+n=2a , ?m-n=2a , a , |PF |=m, |=n, ? c, |PF 则 m=10, ?n=2c ?
1 2 2 1 2

?a1=5+c, ? c ?? 问题转化为已知 1< <2, 5-c ? ?a2=5-c,



c 的取值范围. 5+c 设 c 5x c x 1 1 =x,则 c= , = = - . 5-c 1+x 5+c 2x+1 2 4x+2

1 1 1 1 1 1 ∵1<x<2,∴ - < - < - , 2 6 2 4x+2 2 10 1 c 2 即 < < . 3 5+c 5 1 2 答案: ?3,5? ? ? 3.(2011· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N x2 y2 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 4 2 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.

(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB. 解析: (1)依题意得 M(-2,0),N(0,- 2),

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MN 的中点坐标为?-1,-

?

2? , 2?

所以 k=

2 2

?y=2x ? 2 4 2 4 (2)由?x2 y2 得 P?3,3?,A?-3,-3?, ? ? ? ? ? 4 + 2 =1 ?
2 2 C?3,0?,直线 AC 的方程为 y=x- , ? ? 3 所以点 P 到直线 AB 的距离

d=

?2-4-2? ?3 3 3? 2 2
2 = 3

.

(3)证明:由题意设 P(x0,y0),B(x1,y1), 则 A(-x0,-y0),C(x0,0), ∵A、C、B 三点共线, ∴ y1 y0 y1+y0 = = , x1-x0 2x0 x1+x0

又因为点 P、B 在椭圆上,
2 x0 y2 x2 y2 0 1 1 ∴ + =1, + =1,两式相减得: 4 2 4 2

kPB=-

x0+x1 , 2?y0+y1?

x0+x1 ? y0? ∴kPAkPB= ?- x0? 2?y0+y1?? ? ?y1+y0??x0+x1? =- =-1, ?x1+x0??y0+y1? ∴PA⊥PB.

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