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08空间两条直线的位置关系(2)


异面直线

一:复习回顾
公理4:平行于同一直线的两条
直线互相平行。

a

b

c

证明:空间四边形各边中

点的连线是平行四边形

2.定理(等角): 空间中如果两个角的两边分别对应
平行,那么这两个角相等或互补.
B′

b
C′ B A′

B′ C′

b a

A′

a
C B A C

A

2.直线位置关系
?1

空间两条直线之间位置关系可分为几类,如何来分?

空 间 两 直 线

共 面 直 线 异 面 直 线

平行直线 相交直线

同一平面:没有公 共点. 同一平面:有且只 有一个公共点.

不同在任何一个平面内,没有公共点.

探 讨:
右图长方体中,AC1和BB1有怎样的位置关系?
D C B D1 A1 B1 C1

A

探究:那我们如何来刻画异面直线的具体位置关 b’ 系? b
P
a a O a’

异面直线a、b所成的角: a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,作直 线a′//a,b′//b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直 角)叫做异面直线a、b所成的角。 思考: 这样定义是否合理? ? 异面直线所成角的范围是: (0, 2 ] 若两条直线a,b所成的角是直角,则称这两条异面直线互相 垂直. 记作: a ? b

合作探讨
3.两直线异面如何判定?
(1)定义就是一种方法. (2)过平面内一点与平面外 一点的直线,和这个平面 内不经过该点的直线是异 面直线.
B l
·

A

a

问:用图形语言和符号语言分别如何表示? 若 l ? a , A ?a , B ?a , B ? l , 则直线AB与l是异面直线.

D'

C' B'

思考与练习
1.如 图 : 正 方 体 中 : AC
'

A'

D

C

A

B

AA 与
' '

BC、CD、B'C'、C' D'、B'C

是异面直线

AA '、DD '、AB、D'C'、AD、A ' D' B C与

是异面直线。

2.若 直 线 、b是 异 面 直 线 且 // c, 则 直 线 、c a a b 的位置关系是
异面或相交

例 题 研 讨:
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体 ⒈正方体的哪些棱所在的直 D 线与直线BC1是异面直线? A ⒉求异面直线AA1与BC所成 的角; D ⒊求异面直线BC1和AC所成 A 的角.
1 1

C1 B1

C B

解(1):

与直线BC1是异面直线的有 A1A、A1B1、 A1D1、DA、DC、DD1

例 题 研 讨:
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体 ⒈正方体的哪些棱所在的直 D 线与直线BC1是异面直线? A ⒉求异面直线AA1与BC所成 的角; D ⒊求异面直线BC1和AC所成 A 的角.
1 1

C1 B1

C B

解(2):

∵AD//BC ∴∠A1AD即为直线AA1与BC所成的角

∵ ∠A1AD=900 ∴直线AA1与BC所成的角为900

例 题 研 讨:
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体
⒈正方体的哪些棱所在的直线 与直线BC1是异面直线? ⒉求异面直线AA1与BC所成的 角; ⒊求异面直线BC1和AC所成的 角. 解(3): 见板书。 小结: 两异面直线所成角的求法: (1)找角; (2)证角; (3)算角; (4)结论.
D1 A1 B1 C1

D A B

C

例 题 研 讨:
例2、如图,四棱锥P-ABCD中,底面是正方形, 中心为O,且底面边长和侧棱相等,M是PC中点, 求MO与AB所成的角。 P
M D A O B C

N

例 题 研 讨:
例3、已知平面a与平面β交于直线l,A、B为直线l上的 两点,在平面a内作直线AC,在平面β内作直线BD,求 证:AC与BD 是异面直线。 b D
A B

l

a

C

课堂练习:

教材28页1~6

拓展提高:
例4、
已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成 600角,点M、N分别是BC、AD的中点,求直线AB 和MN所成的角。
A N D B M C

P

拓展提高:
例5、
(1)已知异面直线a和b所成角为600,P为空间一点, 则过点P与a和b所成角都为450的直线有几条? (2)已知异面直线a和b所成角为600,P为空间一点, 则过点P与a和b所成角都为600的直线有几条?

(3)已知异面直线a和b所成角为600,P为空间一点, 则过点P与a和b所成角都为700的直线有几条?

课堂小结:
1、异面直线的判定方法; 2、两条异面直线所成角的概念及求法。 说明: ? (0, ],在把异面直线所成 异面直线所成角的范围是 2 的角平移转化为平面三角形中的角时,常用余弦定 理求其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角, 这不符合两条异面直线所成角的定义,故其补角为 所求的角,这一点要注意.

作业
教材第29页第8、10、12题


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