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安徽省淮南市2013届高三第二次模拟考试(数学理)扫描版含答案


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淮南市 2013 届高三第二次模拟考试? 数学(理科)参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

(1)选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

题号 答案

1 D

2 B

3 B

4 C

5 D

6 C

7 D

8 C

9 B

10 A

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 24 12.

2 . 2

13. 7.

14.

13 .

15. ②?④.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.) 16. (本小题满分 12 分) 解:解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2 sin( 2 x ?
2

?
6

)1 ?

? y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

∵ x ? ? 0,

? ?? ? ? 2?
………………6 分

?0 ? y ? 3
(2)∵ f(A)= 2 ∴ sin(2 A ? ∴ 2sin(2 A ?

?
6

) ?1

1 ? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 6 2 3 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C )?
∴ b ? 3c ① ∵ ?ABC 面积为

?

3 3 4

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∴ S ?ABC ?

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即 bc ? 3

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1 1 ? 3 3 bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4

由①和②解得 b ? 3, c ? 1 ∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?
3



a ? 7 ………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的同学 中,1 男 1 女”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组 内选出的同学中 1 男 1 女”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且

p( A) ?

2 1 1 C m C1 C 4 C 1C 1 C 2 , p( B) ? 22 m 4 , 2 C m? 2 C52 Cm? 2 C52

2 1 1 1 1 2 Cm C1 C4 C2 Cm C4 7 ∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为 p( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 2 ? 2 ? 2 2 C m ? 2 C5 Cm? 2 C5 15

?

2 m 2 ? 5m 7 ? ,? m ? 2或m ? (舍) 7 2 5 m ? 3m ? 2 15

………………6 分

(2) ? 可能的取值为 0, 2 ,4 ∴ ? 的分布列为

?
P

0
11 30

2
8 15

4
1 10

∴ ? 的数学期望 E? ?

22 15

………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:证明: (1)G 为 PC 中点。证明如下: 取 PB 中点 H,连接 GH,EH.

? G、H分别为PC、PB中点, E、F分别为AB、AC中点
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? GH // BC, 且GH ? EF // BC, 且EF ?
?GH // EF, GH ? EF ,
∴四边形 GHEF 为平行四边形,

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1 BC 2

1 BC 2

?GF // HE,?GF // 面PBE

………………4 分

(2)在三角形 ABC 中,取 EF 的中点为 O,BC 的中点为 D,

? E、F分别为AB、AC中点

? OD ? BC, PO ? EF, EF // BC, EF // 面PBC, ?PEF为等边三角形
?点F到面PBC的距离等于点 到面PBC的 距 离 O

? 面PEF ? 面BCFE? PO ? 面BCFE

? PO ? BC, 又?OD ? BC ? BC ? 面POD?面PBC ? 面POD ,
连接 PD,在 ?POD 中做 ON ? PD ,则 ON ? 面PBC

?ON就是O到面PBC的距离。
在 ?POD中,PO ? OD ? 3

且PO ? OD? ON ?
(3) PC 的中点 G,

1 6 PD ? 2 2

………………8 分

? N为PD 的中点, GN // CD, GN ? ? 又 ? OF // CD, OF ?

1 CD 2

1 CD ? GN // OF , GN ? OF 2

?四边形FGNO为平行四边形, FG // ON ?

? FG ? 面PBC,??FPC就是PF与面PBC所成的角

在Rt?FGP中,FG ?

6 ,PF ? 2 2

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? Sin?FPG ?

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FG 6 10 ………………………12 分 ? ? Cos?FPG ? PF 4 4
…………………………………12 分

方法二:以点 o 为原点建系,用向量法可证 19. (本小题满分12分) 解: (1) f ?? x ? ? x ? 2 ?

1 x2 ? x ?1 ? x ?1 x ?1

? f ??x ? ?

x2 ? x ?1 1? 5 1? 5 ? 0, x ? ? 或x ? x ?1 2 2

? x ?[2,4], y ? f ( x)单调增
又 f(2)=ln3-1,f(4)=1+ln5,

? y=f(x)在区间 [0,4]上的值域[ln3-1,ln5+1]
(2)函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 1,??? , f ?? x ? ? ax ? 2 ?

………………………6 分

1 , f ??0? ? ?1, x ?1

所以曲线 C : y ? f ?x ? 在点 P?0,1? 处的切线方程为: y ? ? x ? 1 因为切线与曲线有唯一的公共点, 所以方程 令 g ?x ? ?

1 2 ax ? x ? ln ? x ? 1? ? 0 有且只有一个实数解,显然 x ? 0 是方程的一个解. 2
1 2 ax ? x ? ln? x ? 1? , 2
? ?1 ?? ax? x ? ? ? 1?? a ? ?? ? x ?1

则 g ?? x ? ? ax ? 1 ? 1 ? x ?1

2 (1) 当 a=1 时, g ?? x ? ? x ? 0 ,所以 g(x)在定义域内单调增,x=0 是唯一实数解

x ?1

? ?1 ?? ax? x ? ? ? 1?? ?a ?? ? (2) 当 a ? 1 时, g ??x ? ? ax ? 1 ? 1 ? ?0 x ?1 x ?1

x1 ? 0,x 2 ?

1 ? 1 ? ( ?1,0) a
a

1 在区间 - 1, - 1) 上 g(x)单调增, 在区间 1 - 1,) 上 g(x)单调减, ( ( 0 a

在区间 0, ?) 上 g(x)单调增, ( ? 而 x ? ?1, g ( x) ? 0, g( 1 - 1) ? g (0) ? 0
a

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因此 g ?x ? ? 0 在 ? ? 1,

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? ?

1 ? ? 1? 内也有一个解. a ?
… ……………………12 分

即当 a ? 1 时,不合题目的条件.综上讨论得 a ? 1

20. (本小题满分13分) 解: (1)由题意得: 4 - b ? 2 ? 1?b ? 1?b ? 1
2 2

? 椭圆C :

x2 ? y 2 ? 1, 设D(x, y ) 4

由AD2 ? DM 2 ? AM 2,得(x ? 2)2 ? y 2 ? x ?1)2 ? y 2 ? 9 (
又 x2 ? y2 ? 1 4
2

? x2 ? y 2 ? x ? 2 ? 0





由①②得 x ? 3 或x ? ?2(舍) ,代入得 y ?

2 2 3


? ?ADM





1 2 2 S ? ? 3? ? 2 2 3

… ……………………6 分

(2)设: lPA : y ? k ( x ? 2), D( xD , yD ), P( xP , yP )

yP k ( xP ? 2) k x ? 2 xD ? 1 x ?2 xP ? 2 ?? ? 1 ? P ? ? P ? yD k ( xD ? 2) xP ? 2 xD ? 2 k2 xD ? 1 xD ? 1
而 D 满足: ?

? y ? k ( x ? 2) ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

? x 2 ? 4k 2 ( x 2 ? 4 x ? 4) ? 4 ? 0
16k 2 ? 4 1 ? 4k 2

? 1 ? 4k 2)x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 ? - 2)xD ? ( ( ?
? xD ?

? y ? k ( x ? 2) 2 ? 8k 2 2 ? 2k 2 ? xP ? ? 2 1 ? 4k 2 ,同理:点 P 满足: ? x ? y 2 ? 4 ? 0 1? k 2

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2 2

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2 ? 2k 2 ? 8k ?2 ?1 2 1 1? k 1 ? 4k 2 … ……………………12 分 ?? ? ? ? 3? 2 ? 3 2 2 2 ? 2k 2 ? 8k 4k ?2 ?2 1? k 2 1 ? 4k 2 ( 0)( … 又 k1 , k 2 均不为 0,则 ? ? 0 , ? ? ? - ?, ? 0,3) ……………………13 分
21. (本小题满分 14 分) 解: (1) a 2013 ? a83?24?21 ?a 21? 2 ? 11-1 ? - 2) -18 … ……………………4 分 ( ) ( ?

(2) 128? 27 ,?a 是第K个周期的第14项,则 118

2mk + 14=118 ( m ? 7 ) ……………………9 分

? mk=52, m ? N *,k ? N *
? m=13、m=26 或 m=52
(3)

? a2 m?1 ? 2 ? (m ? 1) ? (?2) ? 4 ? 2m a2 m ? 2 ? 2m?1 ? 2m
? S 2 m?1 ? ( - 2m ) m(2 ? 4 - 2m) 21 ? ? 2 ? 2m?1 ? m 2 ? 3m 1? 2 2
2 m?1

m=1,2时,有 S 下面证明

? 2013 ,

f (m) ? 2 m?1 ? m2 ? 3m, (m ? 3) 单调增

f (m ? 1) - f (m) ? 2m?1 ? 2m ? 2 ? 1 ? 1 m ? 2m ? 2 ? 0 ( )


f (10) ? 211 ? 100? 30 ? 2013 f (11) ? 212 ? 121? 33 ? 2013

? m最大值为 . 10

……………………14 分

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