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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 圆的方程练习 理-课件


第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程练习 理
[A 组?基础达标练] 1. [2016?潍坊统测]若圆 C 经过(1,0), (3,0)两点, 且与 y 轴相切, 则圆 C 的方程为( A.(x-2) +(y±2) =3 B.(x-2) +(y± 3) =3 C.(x-2) +(y±2) =4 D.(x-2) +(y± 3) =4 答案 D 解析 圆 C 经过(1,0)(3,0)两点,所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y 轴相切,所以半径
2 2 2 2 2 2 2 2

)

r=2,设圆心坐标为(2,b),(2-1)2+b2=4,b2=3,b=± 3,故选 D.
2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切,则该圆的标 准方程是( )

? 7?2 2 A.(x-3) +?y- ? =1 ? 3?
B.(x-2) +(y-1) =1 C.(x-1) +(y-3) =1
2 2 2 2

? 3?2 2 D.?x- ? +(y-1) =1 ? 2?
答案 B |4a-3| 1 解析 设圆心为(a,1),由已知得 d= =1,所以 a=2,a=- 舍去,故选 B. 5 2 3.已知圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值 范围是( ) 1? ? A.?-∞, ? 4? ?
2 2

? 1? B.?0, ? ? 4?
1? ? D.?-∞,- ? 4? ?

? 1 ? C.?- ,0? ? 4 ?
答案 A

解析 由题可知直线过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即 b=1-a,ab=a(1-a)

? 1?2 1 1 =-?a- ? + ≤ ,故选 A. ? 2? 4 4
4.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的 方程为( )
2 2 2 2

A.(x+1) +(y-1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 答案 B

B.(x-1) +(y+1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2
2 2

2

2

解析 圆心在 x+y=0 上,排除选项 C、D,再验证选项 A、B 中圆心到两直线的距离是 否等于半径 r,故选 B. 5.如果把圆 C:x +y =1,沿向量 a=(1,m)平移到圆 C′,且圆 C′与直线 3x-4y=0
1
2 2

相切,则实数 m 的值为( 1 A.2 或- 2 1 C.-2 或 2 答案 A

) 1 B.2 或 2 1 D.-2 或- 2

|3-4m| 2 2 解析 圆 C′的方程为(x-1) +(y-m) =1,由题意可得 d= 2 2 =r=1,所以 m=2 3 +4 1 或 m=- ,故选 A. 2 6.[2015?课标全国卷Ⅱ]过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点, 则|MN|=( A.2 6 C.4 6 答案 C 解析 设过 A,B,C 三点的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2

) B.8 D.10

D+3E+F+10=0 ? ? 则?4D+2E+F+20=0 ? ?D-7E+F+50=0



解得 D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0,令 x=0,得

2

2

y2+4y-20=0,设 M(0,y1),N(0,y2),则 y1+y2=-4,y1y2=-20,所以|MN|=|y1-y2|
= ?y1+y2? -4y1y2=4 6.故选 C. 7.[2015?江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m -1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 答案 (x-1) +y =2 解析 因为直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时, 半径最大,此时半径 r= 2,故所求圆的标准方程为(x-1) +y =2. 8.[2014?课标全国卷Ⅱ]设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN= 45°,则 x0 的取值范围是________. 答案 [-1,1] 解析 由已知圆心(0,0),半径 r=1,M 位于直线 y=1 上,过 M 作圆的切线,切点为 C,
2 2 2 2 2 2 2

D(如图).

2

1 则∠OMN≤ ∠CMD, ∴∠CMD≥90°. 2 当∠CMD=90°时,则△OCM 为等腰直角三角形, 故 OC=CM=1. ∴所求 x0 的取值范围是-1≤x0≤1. 9.已知点 P(x,y)在圆 C:x +y -6x-6y+14=0 上, (1)求 的最大值和最小值; (2)求 x+y 的最大值与最小值. 解 (1)方程 x +y -6x-6y+14=0 可变形为(x-3) +(y-3) =4.
2 2 2 2 2 2

y x

y 表示圆上的点 P 与原点连线的斜率, 显然当 PO(O 为原点)与圆相切时, 斜率最大或最小, x
如图 1 所示.

设切线方程为 y=kx,即 kx-y=0,由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径长 2,可得 |3k-3| 9±2 14 y 9+2 14 9-2 14 =2,解得 k= ,所以 的最大值为 ,最小值为 . 2 5 x 5 5 k +1

3

(2)设 x+y=b,则 b 表示动直线 y=-x+b 在 y 轴上的截距,显然当动直线 y=-x+b 与圆(x-3) +(y-3) =4 相切时,b 取得最大值或最小值,如图 2 所示. |3+3-b| 由圆心 C(3,3)到切线 x+y=b 的距离等于圆的半径长 2,可得 =2,即|b-6| 2 2 1 +1 =2 2,解得 b=6±2 2,所以 x+y 的最大值为 6+2 2,最小值为 6-2 2. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线 段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 解 2 ,求圆 P 的方程. 2
2 2 2 2

(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.
2 2 2 2 2 2

由题设 y +2=r ,x +3=r .从而 y +2=x +3. 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 = . 2 2

?|x0-y0|=1, ? 2 2 又 P 在双曲线 y -x =1 上,从而得? 2 2 ? ?y0-x0=1.

由?

?x0-y0=1, ? ? ?y -x =1 ?x0-y0=-1, ? ? ?y -x =1
2 0 2 0 2 0 2 0

得?

?x0=0, ? ? ?y0=-1.

此时,圆 P 半径 r= 3.

由?

得?
2

?x0=0, ? ? ?y0=1.
2

此时,圆 P 的半径 r= 3.
2 2

故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. [B 组?能力提升练] 1.[2013?重庆高考]设 P 是圆(x-3) +(y+1) =4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动 点,则|PQ|的最小值为( A.6 C.3 答案 B 解析 |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为 2,所以|PQ|的最小值 d=3-(-3)-2=4,故选 B. 2.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2) +y =3 的圆心,圆上有一点 M(x,y),满足 OM⊥CM, 则 =________. 答案 ± 3 解析 因为 OM⊥CM,所以直线 OM 为圆的切线.设 =k,即直线 y=kx 与圆相切,所以 圆心到直线的距离等于半径 d= |2k| 1+k = 3,所以 k=± 3.
2 2 2 2

) B.4 D.2

y x

y x

2

3.[2015?南京一模]如果三角形三个顶点为 O(0,0),A(0,15),B(-8,0),那么它的内
4

切圆方程是________. 答案 (x+3) +(y-3) =9 |OA|+|OB|-|AB| 15+8-17 解析 易知△AOB 是直角三角形,所以某内切圆半径 r= = 2 2 =3.又圆心坐标为(-3,3),故圆的方程为(x+3) +(y-3) =9. 4.平面上有两点 A(-1,0),B(1,0),P 为圆 x +y -6x-8y+21=0 上的一点,试求 S =|AP| +|BP| 的最大值与最小值,并求此时相应的点 P 的坐标. 解 设 P 点坐标是(x0, y0), 得 S=2(x0+y0+1), 又 P(x0, y0)在(x-3) +(y-4) =4 上, 故可设
?x0=3+2cosθ ? ? ?y0=4+2sinθ ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

代入 S 中得

S = 4(6cosθ + 8sinθ ) + 60 = 40sin(θ + φ ) + 60 ,其中 0<φ <90°且 tanφ =
20≤S≤100 3 3 4 由 tanφ = ,知 sinφ = ,cosφ = . 4 5 5 当 S=100 时, sin(θ +φ )=1,θ +φ =90° 4 3 ∴sinθ =cosφ = ,cosθ = 5 5 21 x =3+2cosθ = ? ? 5 ∴? 28 y =4+2sinθ = ? ? 5
0 0

3 4



9 ? ? x =5 同理当 S=20 时? 12 ? ?y = 5
0 0

?21 28? ∴Smax=100,此时 P? , ? ?5 5? ?9 12? Smin=20,此时 P? , ?. ?5
5? 5.已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)求 M(m,n),求 解
2 2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2
2 2 2

(1)由圆 C:x +y -4x-14y+45=0,可得(x-2) +(y-7) =8,

所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= ?2+2? +?7-3? =4 2.
5
2 2

所以|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. (2)可知

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2 n-3 =k. m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

由直线 MQ 与圆 C 有交点, |2k-7+2k+3| 所以 ≤2 2, 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

6


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