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安徽省六校教育研究会2014届高三联考文科数学试题


安徽省六校教育研究会 2014 届高三联考

数学(文科)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定用笔将 所有试题的答案涂、写在答题卷上,在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 若a? ( i 是虚数单位, , 则 a ? b 的值是 ( ) b i ? 1 (? i( ) 2 ? ) i a, b 是实数) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 )

开始

S ? 0, n ? 1

1 2.若 正 实 数 x, y 满 足 x ? y ? 2 ,且 ? M 恒成立,则 M 的最大值为( xy

S ? S ?n
n ? 2n
) 否 ① 是 输出 S
结束

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 15 , 则框图中① 处可以填入( (A) n ? 4 ? (B) n ? 8 ? (C) n ? 16 ? (D) n ? 16 ?

4 .若定义域为 R 的函数 f ( x) 不是奇函数,则下列命题中一定为真命题的是 ( )

(A) " x ? R, f ( x) ?

f ( x)

(B) " x ? R, f ( x) = f ( x) (D) $ x0 ? R, f ( x0 ) ?

第 3 题图

(C) $ x0 ? R, f ( x0 ) = f ( x0 ) 5.函数 y ? x 2 cos x( ?

f ( x0 )

?
2
y

?x?

?
2

) 的图象是(


y

π 2

O

π 2

x

π 2

O

π 2

x

(A)

(B)

(C)


第 5 题

(D)

文科数学试题 第 1 页 共 9 页

6.等差数列前 n 项和为 S n ,若 a2 + a8 + a11 = 30 ,则 S13 的值是( (A) 130 (B) 65
2 2

) (D) 75

(C) 70

7. 已知直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 9 交于 A, B 两点,则与向量 OA ? OB ( O 为坐标原点 ) 共线的一个向量为( (A) ( 1, ? ) (B) (1, )

??? ? ??? ?

3 ) 3

3 3

(C) ( 1,3)

(D) (, 1 - 3) )

8. 某三棱椎的三视图如图所示, 该三棱锥的四个面的面积中, 最大的面积是 ( (A) 4 3 (B) 8
2

(C) 8 3

(D) 4 7

9.若点 P (a, b) 在函数 y ? ? x ? 3ln x 的图像上,点 Q (c, d ) 在函数

y ? x ? 2 的图像上,则 (a - c) 2 + (b - d ) 2 的最小值为(
(A) 2 (B) 2 (C) 2 2

) (D)8
第 8 题图

10 . 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a 2 b2
)

PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为(
(A) 2 (B) 2 2 (C) 3 (D)

4 3 3

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.已知函数 f ( x) = 6 x - 4, ( x = 1, 2,3, 4) 的值域为集合 A ,函数 g ( x) = 2
x- 1

,

( x = 1, 2,3, 4) 的值域为集合 B ,任意 a ? A ? B ,则 a ? A ? B 的概率是_______.
?x ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2 x, m), b ? (1, ?1) ,且 a / / b ,则 m 的最小值 2 ? 2 x ? y ? 10 ? ?
为 .

13.已知点 O ? 0 , 0 ? , A0 ? 0,1? , An ? 6 , 7 ? , 点 A1 , A2 ,? , An ?1 ? n ? N ,n ? 2 ? 是线段 A0 An 的 n 等分点,则

???? ? ???? ?????? ???? ? OA0 ? OA1 + ? ? OAn ?1 ? OAn 等于



文科数学试题 第 2 页 共 9 页

14. 抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的 旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与 旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是 .
第 14 题图

2

15.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,如果 ?x ? D ,存在唯一的 y ? D , 使

f ( x) ? f ( y ) ? C ( C 为常数)成立。则称函数 f ( x) 在 D 上的“均值”为 C 。已知四个函数: 2 1 3 ① y ? x ( x ? R) ;② y ? ( ) x ( x ? R) ;③ y ? ln x( x ? (0, ??)) ;④ y ? 2sin x ? 1( x ? R). 2
上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是 . (填入所有满足条件函数的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答 题卡上的指定区域内。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , (m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的值域; (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 别是 a, b ,求

? ? 3 , f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所对的边分
4 4

1 1 ? 的值. a b

17.(本小题满分 12 分) 某工厂生产 A, B 两种元件, 其质量按测试指标划分为: 大于或等于 7. 5 为正品, 小于 7. 5 为次品. 现 从一批产品中随机抽取这两种 元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下:

A

7 6

7

7.5 8.5

9 8.5

9.5

B

x

y

由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测数据的平均 值相等,方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值; (Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率. 18.(本小题满分 12 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 满足 an 且 a2 , a5 , a14 恰好是 ?1 ? 4 S n ? 4n ? 1, n ? N ,

等比数列 ?bn ? 的前三项.

文科数学试题 第 3 页 共 9 页

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求实数 k 的 取值范围.

3 2

19. (本小题满分 13 分) 如右图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, D1 D ? 底面 ABCD ,

AD ? 1 , CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(Ⅰ)求证:平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 ; D1 A1 B1 C1

(Ⅱ)若 D1 D ? BD ,求四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积.

D A 20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知 F1 , F2 分别是椭圆 G :
2

C B

第 19 题图

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 椭圆 G a 2 b2

与抛物线 y ? ?8 x 有一个公共的焦点,且过点 ( ?2, 2) . (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; ( Ⅱ ) 设直线 l 与椭圆 G 相交于 A 、 B 两点 , 若 OA ? OB ( O 为坐标原点 ), 试判断直线 l 与圆

??? ?

??? ?

x2 ? y2 ?

8 的位置关系,并证明你的结论. 3

21. (本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3?

(Ⅱ)设 g ( x) =

1+ x [xf ( x) - 1],若对任意 x ? (0,1) 恒有 g ( x) < - 2 ,求实数 a 的取值范围. a(1 - x)
文科数学试题 第 4 页 共 9 页

安徽省六校教育研究会 2014 届高三联考

数学(文科)答案
一、选择题(5'×10=50')

题号 答案

1
C

2 A

3 B

4 D

5 B

6 A

7 B

8 D

9 D

10 C

二、填空题(5'× 5=25') 11) 、

1 ; 12) 、 ? 6 ; 13)、 5(n + 1) 3

14) 、8;

15) 、①③

三、解答题(本大题共 6 小题,计 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .………………………2 分
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .…………………………………4 分 4

f ( x) 在 [0,

?

π ? ,π ? 递减, ] 上递增.在 ? ? 4 ?4 ?

所以函数 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的值域为 [? 2 ,2] ;…………………………………5 分
π π (2)化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B 得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .……7 分

由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab ,……………………………………………9 分 因为△ ABC 的外接圆半径为 R ? 所以

3 . a ? b ? 2ab .…………………………11 分

1 1 ? ? 2 …………………………………………………………………12 分 a b
1 5 1 5

17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5) , =8 , xB = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) 由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 . 因为 s2 1+1+0.25+1+2.25) =1.1, s2 A= ( B= ① ???????????2 分

1 5

1 2 2 ? 4+(x ? 8) ? +0.25+0.25+(y ? 8) ?, 5?
② ?????????4 分 ?6 分

(x ? 8)+(y ? 8)=1 . 由 sA =sB ,得
2 2

2

2

由①②解得 ?

? x ? 8, ? x ? 9, 或? 因为 x ? y ,所以 x ? 8 , y ? 9 . ? y ? 9, ? y ? 8.


(Ⅱ) 记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品, 文科数学试题 第 5 页 共 9 页

从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下:

? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B1 , B4 ? , ? B1 , B5 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? ,?????????8 分
记“2 件都为正品”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件:
[来源:Z§xx§k.Co m]

? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? .?????10 分
所以 P(C ) ?

6 3 3 ? ,即 2 件都为正品的概率为 . 10 5 5

???????12 分

18.(本题满分 12 分)
2 2 (Ⅰ)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ??????2 分 2

2 ? a2 ? a14 , ? 当 n ? 2 时 , ?an ? 是 公 差 d ? 2 的 等 差 数 列 . ? a2 , a5 , a14 构 成 等 比 数 列 , ? a5

? a2 ? 8 ?

2

? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,????3 分
2

由条件可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1 ??????4 分

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.??????5 分,
数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ………………6 分
n

(Ⅱ) Tn ?

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 ? ? ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, 即 ,? ( 1? q 1? 3 2 2 2

2n ? 4 对 n ? N * 恒成立,----9 分 3n 2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) 令 cn ? , cn ? cn ?1 ? , ? n ?1 ? n 3 3n 3 3n ?k ?
当 n ? 3 时, cn ? cn ?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn ?1 ? (cn )max ? c3 ? 19.(本题满分 13 分) 解: (1)证明: 在 ?ABD 中,由余弦定理得: BD ?

2 2 ,k ? .????12 分 27 27

AD 2 ? AB 2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 ,

所以 AD2 ? BD 2 ? AB 2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,??????????3 分 又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD , 又 D1 D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1 D ? BC ,??????????4 分 文科数学试题 第 6 页 共 9 页

又 D1 D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1 B1 , ??????????????5 分 又 BC ? 平面 A1 BCD1 ,所以平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 B1 .??????????????6 分 D1 C1 (2)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6 A1 B1 BDD B BC ? BD ∵ BC ? 平面 1 1 ,所以 1, M 所以四边形 A1 BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ?

1 ? BC ? BD1 ? 6 ,????8 分 2
6 , 2
A

D B
解法一图

C

取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ?

又平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1 BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A1 BCD1 ,??????????????11 分 所以四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积: A1 D1 B1 C1

1 V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . ??????????????13 分 3
法二: 四棱锥 D ? A1 BCD1 的体积V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ,?????8 分 A 而三棱锥 D ? A1 BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,?????10 分

D B
解法二图

C

所以V ? VD ? A1BD1 ? VD ? BCD1 ? 2VD ? BCD1 ? 2VD1 ? BCD ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 . ?????13 分 (20) (本小题满分 13 分)

1 3

4 2 + 2 ? 1 ,………………………2 分 2 a b 4 2 2 消去 a 可得, b ? 2b ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 或 b2 ? ?2 (舍去) ,则 a 2 ? 8 , x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .……………………………………………………4 分 8 4
解(Ⅰ)由已知得, 由题意得 c ? 2 ,又 (Ⅱ)结论:直线 l 与圆 x ? y ?
2 2

8 相切. 3

证明:由题意可知,直线 l 不过坐标原点,设 A, B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( y1 ? y2 ) (ⅰ)当直线 l ? x 轴时,直线 l 的方程为 x ? m( m ? 0) 且 ?2 2 ? m ? 2 2 则 x1 ? m , y1 ?

4?

m2 m2 , x 2 ? m , y2 ? ? 4 ? 2 2
2

??? ? ??? ? ? OA ? OB

m2 ) ?0 ? x1 x2 ? y1 y2 ?0 ? m ?( 4 ? 2
文科数学试题 第 7 页 共 9 页

解得 m

??

2 6 3

,故直线 l 的方程为

x??

2 6 3



因此,点 O(0, 0) 到直线 l 的距离为 d ?

8 2 6 2 2 ,又圆 x ? y ? 的圆心为 O(0, 0) , 3 3
2 2

半径 r ?

2 6 ?d 3

所以直线 l 与圆 x ? y ?

8 相切 …7 分 3

(ⅱ)当直线 l 不垂直于 x 轴时, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? n ,联立直线和椭圆方程消去 y 得; 得 (1 ? 2k ) x ? 4knx ? 2n ? 8 ? 0 ,
2 2 2

?4kn 2n 2 ? 8 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 n 2 ? 8k 2 y1 y2 ? (kx1 ? n)(kx2 ? n) ? k x1 x2 ? nk ( x1 ? x2 ) ? n ? 1 ? 2k 2
2 2

??? ? ??? ? ? OA ? OB
2 2

? x1 x2 ? y1 y2 ?0 ,故
2 2

2n 2 ? 8 n 2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

即 3n ? 8k ? 8 ? 0, 3n ? 8k ? 8 ① ………………………………………10 分 又圆 x ? y ?
2 2

8 2 6 的圆心为 O(0, 0) ,半径 r ? , 3 3
n 1? k2


圆心 O 到直线 l 的距离为 d ?
2

? n ? n2 3n 2 ?d ? ? ? ? ② ? 2 1 ? k 2 3(1 ? k 2 ) ? 1? k ?
2

将①式带入②式得: 切

8k 2 ? 8 8 2 6 d ? ? , 所以 d ? ?r 2 3 3(1 ?k ) 3
2

因此,直线 l 与圆 x ? y ?
2 2

8 相 3

………………13 分

文科数学试题 第 8 页 共 9 页

21. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ? ?

1 ? ln x , x ? 0 ??????????????1 分 x
????????????????2 分

1 ? ln x ?? ln x ? ?? 2 x ? x ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ??????????????3 分

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?
?????5 分

?0 ? m ? 1 2 ? ?2 ? 1? . 所以 ? ,得 ? m ? 1 .即实数 m 的取值范围是 ? , 1 3 m ? ? 1 3 ? ? ? 3 ?
(Ⅱ)有题可知 , a ? 0 ,因为 x ? (0,1) , 所以

1+ x ln x < 0 .当 a < 0 时 , g ( x) > 0 ,不合题意. 当 1- x

a > 0 时,由 g ( x) < - 2 ,可得 ln x +

2a(1 - x) < 0 .………8 分 1+ x

x 2 + (2 - 4a) x + 1 2a(1 - x) ? 设 h( x) = ln x + ,则 h ( x) = . x(1 + x) 2 1+ x
设 t ( x) = x + (2 - 4a) x + 1 , D = (2 - 4a) - 4 = 16a(a - 1) . (1)若 a ? (0,1],则 D
2 2

( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,1) 内单调递增,又 h(1) = 0 所以 0 , t ( x) ? 0 , h ?

h( x) < h(1) = 0 .所以 0 < a
(2)若 a ? (1,

1 符合条件. ……………………………10 分

) ,则 D > 0 , t (0) = 1 > 0 , t (1) = 4(1- a) < 0 ,所以存在 x0 ? (0,1) ,使得 t ( x0 ) = 0 ,

( x) < 0 .则 h( x) 在 ( x0 ,1) 内单调递减,又 h(1) = 0 ,所以当 x ? ( x0 ,1) 对任意 x ? ( x0 ,1) , t ( x) < 0 , h ?
时, h( x) > 0 ,不合要求. ……………………………12 分 综合(1)(2)可得 0 < a

1 .…………………………………………13 分

文科数学试题 第 9 页 共 9 页


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