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2015高中数学 第一章 集合与函数概念阶段质量检测 新人教A版必修1

阶段质量检测(一)

集合与函数概念
)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集 U={x∈Z|-1≤x≤5}, A={1,2,5}, B={x∈N|-1<x<4}, 则 B∩(?UA)=( A.{3} C.{0,4} B. {0,3} D.{0,3,4} )

2.如图所示,阴影部分表示的集合是(

A.(?UB)∩A C.?U(A∩B)
2

B.(?UA)∩B D.?U(A∪B) 2x +3,x∈?-6,-1?, 则 f( 2)等于( )

? ?1 3.已知 f(x)=? ,x∈[-1,1?, x ? ?x,x∈[1,6].
A. 2 2 B. 2

C.7

D.无法确定 )

4.对于定义域为 R 的偶函数 f(x),定义域为 R 的奇函数 g(x),都有( A.f(-x)-f(x)>0 B.g(-x)-g(x)>0 C.g(-x)g(x)≥0 D.f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0

? 1? 2 1 5.已知函数 f?x- ?=x + 2,则 f(3)=( ?
x? x
A.8 C.11 B.9 D.10

)

6.函数 f(x)对于任意实数 x 满足 f(x+2)= ( ) A.2 C.-5 B.5 1 D.- 5

1 ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))等于 f?x?

7.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如下图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是(

)
1

8. 设 f(x)是 R 上的偶函数, 且在(-∞, 0)上为减函数, 若 x1<0, 且 x1+x2>0, 则( A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)<f(x2) D.无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小 9.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 的解集为( ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

)

f?x?-f?-x? <0 x

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

10.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,若对所有的 x∈[-1,1]及 任意的 a∈[-1,1]都满足 f(x)≤t -2at+1,则 t 的取值范围是( A.-2≤t≤2 1 1 B.- ≤t≤ 2 2 C.t≥2,或 t≤-2,或 t=0 1 1 D.t≥ ,或 t≤- ,或 t=0 2 2 二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 5 分,共 2 0 分) 11.当 A,B 是非空集合,定义运算 A-B={x|x∈A,且 x?B},若 M={x|y= 1-x},N ={y|y=x ,-1≤x≤1},则 M-N=________. 12.已知 f(x)=ax +bx-4,其中 a,b 为常数,若 f(-2)=2,则 f(2)=________. 13.函数 f(x)=?
?2x-x ,0≤x≤3, ? ? ?x +6x,-2≤x≤0
2 2 3 2 2

)

的值域是________.

14.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则不 等式 f(x)<0 的解集为________. 三、 解答题(本大题共 4 小题, 共 50 分. 解答时应写出文字说明, 证明过程或运算步骤. ) 15.(12 分)设集合 A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实 数 m 的取值范围:
2

(1)A∩B=?; (2)A∪B=B.

16.(12 分)若 f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数, 且对一切 x, y>0,满足 f( )=f(x) -f(y). (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2. 3

x y

-x +2x,?x>0?, ? ? 17.(12 分)已知奇函数 f(x)=?0,?x=0?, ? ?x2+mx,?x<0?. (1)求实数 m 的值,并在给出的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图象;

2

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上是增函数,结合函数 f(x)的图象,求实数 a 的取 值范围; (3)结合图象,求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.

3

18.(14 分)已知函数 f(x)=x+ ,且此函数的图象过点(1,5). (1)求实数 m 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)讨论函数 f(x)在[2,+∞)上的 单调性,证明你的结论.

m x

4

答 案 阶段质量检测(一) 1.选 B ∵U={-1,0,1,2,3,4,5},B={0,1,2,3}, ∴?UA={-1,0,3,4}. ∴B∩(?UA)={0,3}. 2.选 A 由图可知阴影部分属于 A,不属于 B,故阴影部分为(?UB)∩A,所以选 A. 3.选 B ∵1< 2<6, ∴f( 2)= 2. 4.选 D 由于 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(- x)=f(x),g(-x)=-g(x), ∴A 中:f(-x)-f(x)=f(x)-f(x)=0; B 中:g(-x)-g(x)=-2g(x),与 0 大小不确定; C 中:g(-x)g(x)=-[g(x)] ≤0; D 中:f(-x)g(-x)+f(x)g(x) =-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0. ∴A、B、C 错,D 正确.故选 D.
2

? 1? ? 1?2 5.选 C ∵f?x- ?=?x- ? +2, ?
x? ? x?
∴f(3)=9+2=11. 6.选 D

f(5)= =f(1)=-5, f?3?
1 1 1

1

f(-5)= =f(-1)= =- . f?-3? f?1? 5
7.选 A 由于函数 y=f(x)·g(x)的定义域是函数 y=f(x)与 y=g(x)的定义域的交集 (-∞,0)∪(0,+∞),所以函数图象在 x=0 处是断开的,故可以排除 C,D; 由于当 x 为很小的正数时,f(x)>0 且 g(x)<0,故 f(x)·g(x)<0,可排除 B,故选 A. 8.选 C ∵x1<0 且 x1+x2>0,∴-x2<x1<0. 又 f(x)在(-∞,0)上为减函数, ∴f(-x2)>f(x1). 而 f(x)又是偶函数,∴f(-x2)=f(x2). ∴f(x1)<f(x2). 9.选 D 由 f(x)为奇函数可知,

f?x?-f?-x? 2f?x? = <0. x x

而 f(1)=0,则 f(-1)=-f(1)=0. 当 x>0 时,f(x)<0=f(1);
5

当 x<0 时,f(x)>0=f(-1). 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴奇函数 f(x)在(-∞,0)上为增函数. 所以,0<x<1,或-1<x<0. 10.选 C 由题意,得 f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴当 x∈[-1,1]时,有 f(x)≤f(1)=1. ∴t -2at+1≥1 在 a∈[-1,1]时恒成立. 得 t≥2,或 t≤-2,或 t=0. 11.解析:集合 M:{x|x≤1}, 集合 N:{y|0≤y≤1}, ∴M-N={x|x∈M 且 x?N} ={x|x<0}. 答案:{x |x<0} 12.解析:设 g(x)=ax +bx,显然 g(x)为奇函数,则 f(x)=ax +bx-4=g(x)-4, 于是 f(-2)=g(-2)-4=-g(2)-4=2,所以 g(2)=-6,所以 f(2)=g(2)-4=-6-4 =-10. 答案:-10 13.解析:设 g(x)=2x-x 0≤x≤3,结合二次函数的单调性可知:g(x)min=g(3)=- 3,g(x)max=g(1)=1; 同理,设 h(x)=x +6x,-2≤x≤0,则 h(x)min=h(-2)=-8,h(x)max=h(0)=0. 所以 f(x)max=g(1)=1,f(x)min=h(-2)=-8. 答案:[-8,1] 14.解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2)=0,所以 f(-2)=0. 又 f(x)在(-∞,0]上是减函数,故 f(x)在[0,+∞)上是增函数. 故满足 f(x)<0 的 x 的取值范围应为(-2,2),即 f(x)<0 的解集为{x|-2<x<2}. 答案:{x|-2<x<2} 15.解:因为 A={x|0<x-m<3},所以 A={x|m<x<m+3}, (1)当 A∩B=?时,有?
?m≥0, ? ?m+3≤3, ?
2 2, 3 3 2

解得 m=0.

(2)A∪B=B 时,有 A? B,所以 m≥3 或 m+3≤0,解得 m≥3 或 m≤-3. 16.解:(1)在 f( )=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, 则有 f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0.

x y

6

(2)∵f(6 )=1, 1 ∴f(x+3)-f( )<2=f(6)+f(6). 3 ∴f(3x+9)-f(6)<f(6), 即 f(

x+3
2

)<f(6).

∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

x+3>0, ? ? ∴?x+3 <6. ? ? 2

解得-3<x<9,

即不等式的解集为(-3,9). 17.解:(1)当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又函数 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=f(-x)=-(-x -2x)=x +2x. 又当 x<0 时,f(x)=x +mx, ∵对任意 x<0,总有 x +2x=x +mx,∴m =2. 函数 f(x)的图象如图所示.
2 2 2 2 2 2 2

-x +2x,x>0, ? ? (2)由(1)知 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+2x,x<0. 由图象可知,函数 f(x)的图象在区间[-1,1]上的图象是“上升的”, ∴函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数. 要使 f(x)在[-1,a-2]上是增函数, 需有?
? ?a-2>-1, ?a-2≤1, ?

2

解得 1<a≤3,

即实数 a 的取值范围是(1,3]. (3)由图象可知, 函数 f(x)的图象在区间[-2,2]上的最高点是(1, f(1)), 最低点是(- 1,f(-1)), 又 f(1)=-1+2=1,f(-1)=1-2=-1,
7

所以函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值是 1,最小值是-1. 18.解:(1)∵f(x)过点(1,5), ∴1+m=5? m=4. 4 (2)对于 f(x)=x+ ,∵x≠0,

x

∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, +∞),关于原点对称. 4 ∴f(-x)=-x+ =-f(x). -x ∴f(x)为奇函数. (3)证明:设 x1,x2∈[2,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) 4 4 =x1+ -x2-

x1

x2 x1x2

4?x2-x1? =(x1-x2)+ = ?x1-x2??x1x2-4? .

x1x2

∵x1,x2∈[2,+∞)且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增.

8


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