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2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式一(0207)学生

2015 年高中数学联赛及自主招生考试培优专题 第一讲 不等式的性质与证明
【例题精讲】 例 1. (2009 中科大)设 x, y ? R ,证明: x2 ? xy ? y2 ? 3? x ? y ?1? 。

例 2. (2011 安徽高考) (1) 设 x ? 1, y ? 1 ,证明: x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy ; xy x y

(2) 设 1 ? a ? b ? c ,证明: loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c 。

例 3. (2008 北大) 若正数 ai , bi ?i ? 1,2,3? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 , a1a2 ? a2a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 , 且 min ?a1, a2 , a3? ? min ?b1, b2 , b3? ,求证: max ?a1, a2 , a3? ? max ?b1, b2 , b3? 。

例 4. (2009 清华) (1) 设 x, y ? R, x ? y ? 1 ,证明:对任意正整数 n, x (2) 设 a, b, c ? 0 ,求证:
2n

? y 2n ?

1 2
2 n ?1



a b c ? ? ? 3 ,期中 x, y, z 为 a, b, c 的一个排列。 x y z

例 5. (2004 复旦)求证:

?
k ?1

n

1 k2

?3。

2 2 2 例 6. 试求出所有的正整数 k ,使得对任意满足不等式 k ? ab ? bc ? ca ? ? 5 a ? b ? c 的正整数

?

?

a, b, c ,一定存在以 a, b, c 为边长的三角形。

例 7. 求最小的实数 m ,使得对于满足 a ? b ? c ? 1 的任意正数 a, b, c ,都有

m ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 1。

例 8. 设 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? b ? c ? 3abc ? ab ? a ? b ? ? bc ?b ? c ? ? ca ?c ? a ? 。
3 3 3

例 9. 已知 a1, a2 , 个数小于 1.

, a8 ? R ? , a1 ? a2 ?

? a8 ? 20, a1a2

a8 ? 4 ,求证:a1 , a2 ,

, a8 中至少有一

例 10. 设正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1? a 1? b 1? c ?b c a? ? ? ? 2? ? ? ? 。 1? a 1? b 1? c ?a b c?

例 11. 有一个 m ? n ? p 的长方体盒子,另 有一个 ? m ? 2? ?? n ? 2? ? ? p ?2? 的盒子,其中 :

m, n, p ? N* , m ? n ? p ,若前者的体积是后者的一半,求 p 的最大值。

例 12. (2008 浙大)设 x ? 0, y ? 0, a ? x ? y, b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy , 问: 是否存在正整数 m ,

使得对于任意正数 x, y ,可使 a, b, c 为三角形的三边长?若存在,求出 m 的范围;若不存在,说明 理由。

【课堂练习】

A组
1. 已知 1 ? a ? b ? 2,13 ? 2 a ?

b b ? 20 ,则 3a ? 的取值范围是______________。 2 3

2. (2010 江苏)设 x, y 为实数, 且满足 3 ? xy 2 ? 8, 4 ?

x2 x3 则 4 的最大值是________________。 ?9, y y

3. a, b, c 为互不相等的正数,且 a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是 (
2 2

)

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. b ? a ? c

D. a ? c ? b

4. (2006 复旦)下列不等式中成立的是( A. 16 ?

)
120 120 1 1 1 ? 19 C. 20 ? ? ? 21 D. 22 ? ? ? 23 k k k k ?1 k ?1

?
k ?1

120

1 ? 17 k

B. 18 ?

?
k ?1

120

5. (2008 复旦 ) 已知 a, b, c 是不全相等的任意实数,若 x ? a ? bc, y ? b ? ac, z ? c ? ab ,则
2 2 2

x, y, z 的值(
A. 都大于 0

) B. 至少有一个大于 0 D. 都不小于 0

C. 至少有一个小于 0

6. (2008 复旦)设函数 f ? x ? ? x8 ? x5 ? x2 ? x ? 1,则 f ? x ? 有性质( A. 对任意实数 x, f ? x ? 总是大于 0 C. 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0

)

B. 对任意实数 x, f ? x ? 总是小于 0 D. 以上均不对

7. (2008 复旦)已知一个三角形的面积为 三边长,令 u ? A. u ? v

1 ,它的外接圆半径为 1。设 a, b, c 分别是这个三角形的 4
)

1 1 1 ? ? , v ? a ? b ? c ,则 u , v 的大小关系是( a b c
B. u ? v C. u ? v

D. 无法确定

8. (2009 复旦)若 x ? y ? 1,0 ? a ? b ? 1 ,则下列各式一定成立的是( A. x ? y
a b

)
x y

B. x ? y
a

b

C. a ? b
x

y

D. a ? b

9. (2009 复旦)设实数 abc ? 0, A. b ? ac
2

bc ac ab , , 成等差数列,则下列不等式中一定成立的是( a b c
C. a ? b ? c
2 2 2

)

B. b ? ac

D. b ?

a?c 2

10. (2010 复旦)比较 log24 25 与 log25 26 的大小,并说明理由。

11. 已知 a, b, c ? 0 ,证明: a b c

2 a 2b 2 c

? a b ? c bc ? a c a ?b 。

12. 已知 a ? b ? c ? 0, ab ? bc ? ca ? 0, abc ? 0 ,求证: a, b, c 都为正数。

B组
1. 已知 a, b, c ? ? ?1,1? ,求证: ab ? bc ? ca ? 1 ? 0 。

2. 已知 a, b ? R ,满足 a ? b ? 2 ,求证: a ? b ? 2 。
5 5

3. 已知实数 a, b, c 满足 0 ? a ? b ? c ?

1 2 1 1 ,求证: 。 ? ? 2 c ?1 ? c ? a ?1 ? b ? b ?1 ? a ?

4. 已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c
2 2

?

2 2

?

? 2 ? a 4 ? b4 ? c 4 ? , a ? b ? c, b ? c ? a, c ? a ? b 一 求证:

定同时成立。

5. 若正数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1时,恒有 x6 ? y6 ? cxy ,求实数 c 的最大值。

6. 设正实数 a, b, c, d 满足 abcd ? 1 ,求证:

?
cyc

1

?1 ? a ?

2

? 1。

7. 已知 a, b, c ? 0, a ? b ? c ? abc ,证明:下列三个不等式中,至少有两个成立:

2 3 6 2 3 6 2 3 6 ? ? ? 6, ? ? ? 6, ? ? ? 6 。 a b c b c a c a b


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