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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修五课时作业:第2章 等比数列(2)]


2.3.1

等比数列(二)

课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质,能用性质 灵活解决问题.

1.一般地,如果 m,n,k,l 为正整数,且 m+n=k+l,则有____________,特别地, 当 m+n=2k 时,am· an=______. 2.在等比数列{an}中,每隔 k 项(k∈N+)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍 为______数列. 1 bn 3.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为 q1,q2,那么数列{ },{an· bn},{ }, an an 1 q2 {|an|}仍是等比数列,且公比分别为 ,q1q2, ,|q1|. q1 q1

一、选择题 1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b,c),则 ad 等于( ) A.3 B.2 C .1 D.-2 a c 3. 若 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项, 则 + 等于( ) m n A.4 B.3 C .2 D.1 4.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( ) A.5 2 B.7 C .6 D.4 2 5.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值为 ( ) 4 4 3 A. B. C.2 D. 3 3 3 4 a5 6.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2· a8=6,a4+a6=5,则 等于( ) a7 5 6 2 3 A. B. C. D. 6 5 3 2 二、填空题 7.在等比数列{an}中,a1=1,a5=16,则 a3=________. 8.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=________. 9. 在 1 与 2 之间插入 6 个正数, 使这 8 个数成等比数列, 则插入的 6 个数的积为________. a2-a1 10.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 b2 的值是________. 三、解答题 11.有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为 21,中间两 项和为 18,求这四个数.

12.设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn, 证明数列{cn}不是等比数列.

能力提升 13.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a 等于( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 14.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差 数列,求这三个数排成的等差数列.

1. 等比数列的基本量是 a1 和 q, 依据题目条件建立关于 a1 和 q 的方程(组), 然后解方程(组), 求得 a1 和 q 的值,再解决其它问题. 2.如果证明数列不是等比数列,可以通过具有三个连续 项不成等比数列来证明,即存在 an0,an0+1,an0+2,使 a n0 +1≠an0· an0+2. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.
2

2.3.1

等比数列(二) 答案

知识梳理 1.am· an=ak· al a2 2.等比 k 作业设计 1.C [在等比数列{an}中,∵a1=1,

10 10 ∴am=a1a2a3a4a5=a5 1q =q . - - ∵am=a1qm 1=qm 1, ∴m-1=10,∴m=11.] 2.B [∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2.又∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc=2.]

3.C +

a+b b+c a c 2a 2c 2 [设等比数列公比为 q.由题意知:m= ,n= ,则 + = + = 2 2 m n a+b b+c 1+q

2q =2.] 1+q

1 3 3 3 4. A [∵a1a2a3=a3 ∴a2= 5.∵a7a8a9=a3 ∴a8= 10.∴a2 2=5, 8=10, 5=a2a8= 50=50 , 3 又∵数列{an}各项为正数,∴a5= 50 5. A
1 6

∴a4a5a6=a3 5=
1

50 =5 2.]

1 2

2 [∵a4a6=a2 ∴a4a5a6=a3 得 a5= 33 .∵a1a9=a2a8=a5 , ∴log3a1+log3a2+log3a8 5, 5=3,

+log3a9=log3(a1a2a8a9)=log3a4 5=log3 6.D

3 =3.]
6 2 a5 1 6 3 + 6q=5.解得 q= ,∴ = 2=( )2= .] q a q 2 2 7 6

4 3

4

[设公比为 q,则由等比数列{an}各项为正数且 an+1<an 知 0<q<1,

由 a2· a8=6,得 a2 5=6.∴a5= 6,a4+a6= 7.4

a5 解析 由题意知,q4= =16,∴q2=4,a3=a1q2=4. a1 8.-6 解析 由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6. ∵a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴a2 3=a1a4,∴(a1+4) =(a1+6)a1, 解得 a1=-8,∴a2=-6. 9.8 解析 设这 8 个数组成的等比数列为{an},则 a1=1,a8=2. 插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7=(a2a7)· (a3a6)· (a4a5)=(a1a8)3=23=8. 1 10. 2 解析 ∵-1,a1,a2,-4 成等差数列,设公差为 d, 1 则 a2-a1=d= [(-4)-(-1)]=-1, 3 ∵-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列, ∴b2 (-4)=4,∴b2=± 2. 2=(-1)× 2 若设公比为 q,则 b2=(-1)q ,∴b2<0. a2-a1 -1 1 ∴b2=-2,∴ = = . b2 -2 2 11.解 设这四个数分别为 x,y,18-y,21-x, 则由题意得?
? ? ?y2=x ?

-y

-y=y+ -x



?x=3 ? 解得? 或 ? ?y=6

?x= 4 , ? 45 ?y= 4

75

.

75 45 27 9 故所求的四个数为 3,6,12,18 或 , , , . 4 4 4 4 12.证明 设{an}、{bn}的公比分别为 p、q,p≠0,q≠0,p≠q, cn=an+bn. 要证{cn}不是等比数列, 只需证 c2 c3 成立即可. 2≠c1· 2 2 2 事实上,c2 = (a1p+b1q)2=a2 2 1p +b1q +2a1b1pq, 2 2 2 2 2 c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a2 1p +b1q +a1b1(p +q ). 2 2 由于 c1c3-c2 c3, 2=a1b1(p-q) ≠0,因此 c2≠c1· 故{cn}不是等比数列. 2b=a+c, ① ? ? 2 ② 13.D [依题意有?a =bc, ? ?a+3b+c=10, ③ ①代入③求得 b=2.
? ?a+c=4, 从而? 2 ?a =2c ?

a2+2a-8=0,

解得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,c=2,即 a=b=c 与已知不符,∴a=-4.] a 14.解 设三个数为 ,a,aq,∴a3=-8,即 a=-2, q 2 ∴三个数为- ,-2,-2q. q 2 2 (1)若-2 为- 和-2q 的等差中项,则 +2q=4, q q ∴q2-2q+1=0,q=1,与已知矛盾; 2 1 (2)若-2q 为- 与-2 的等差中项,则 +1=2q, q q 1 2q2-q-1=0,q=- 或 q=1(舍去), 2 ∴三个数为 4,1,-2; 2 2 (3)若- 为-2q 与-2 的等差中项,则 q+1= , q q ∴q2+q-2=0,∴q=-2 或 q=1(舍去), ∴三个数为 4,1,-2. 综合(1)(2)(3)可知,这三个数排成的等差数列为 4,1,-2 或-2,1,4.


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